Съдържание

Условие Часть1. Что мы имеем?Часть2. Можно ли сэкономить?Справочные материалы Решение

BelPhO 2012, Областен етап — Задача 9-3. Большая теплая задача про тепловые большие механизмы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts and76lowest native requests. Complete available archive keys, tables, graphs, reference data and all52figures retained. Native printed signs, units, numerical/label discrepancies and source omissions preserved with separately attributed reader notes. Resonance question9 height-detuning graph absent from key; solution marked incomplete without invention. No further theoretical companion listed.

Республиканская физическая олимпиада (III этап), 2012 год — Теоретический тур

А.И. Слободянюк

А.А. Мищук

В.И. Анцулевич

Л.Г. Маркович

Условие

По сообщению Министерства энергетики Республики Беларусь ежегодно в стране производится 36 млн. Гкал тепловой энергии. Эту энергию мало произвести — ее еще надо доставить потребителю — например, Вам, для обогрева квартиры! В данной задаче необходимо провести некоторые расчеты, связанные с производством и передачей тепловой энергии, а также рассмотреть альтернативные возможности ее передачи.

Во всех пунктах задач обязательно приведите расчетные формулы, а затем результаты численных расчетов. Обратите внимание — в конце задачи приведены необходимые справочные данные!

Часть1. Что мы имеем?

Традиционно производство тепловой энергии осуществляется посредством нагревания воды при сжигании топлива и ее последующей транспортировки по теплотрассам к потребителю.

1.1 Рассчитайте сколь тонн воды, которую необходимо нагреть от температуры $t_0=20^\circ\text{C}$ до температуры $t_1=90^\circ\text{C}$ , чтобы произвести всю тепловую энергию за год в нашей стране.

1.2 Сколько тонн нефти необходимо сжечь, что бы произвести это количество тепловой энергии? Считайте, что КПД нагревательной установки составляет $\eta=80\%$ .

1.3 Допустим, что вся нагретая вода поставляется по трубам, причем средняя скорость течения воды в трубе составляет $v=10\,\text{м/с}$ . Какую работу должны совершить насосы, что разогнать всю нагретую в республике горячую воду до этой скорости? Вязким трением воды в трубах пренебрегайте.

1.4 Сколько нефти необходимо дополнительно сжечь, что обеспечить работу всех насосных станций? КПД насоса примите равным $\eta=40\%$ .

1.5 Чему равна стоимость (в долларах США) всей этой нефти (и на нагрев воды, и на работу насосных станций)? Среднюю стоимость нефти примите равной150долларов/баррель.

1.6 Оцените площадь поперечного сечения всех труб теплотрасс, по которым горячая вода поставляется потребителю?

Часть2. Можно ли сэкономить?

В данной части задачи мы мысленно переместимся в исследовательскую лабораторию, чтобы от громадных чисел республиканских масштабов перейти к более скромным и осязаемым величинам. Вы знаете, что теплоперенос может осуществляться различными способами, в том числе без переноса массы. Вам необходимо провести сравнительный анализ этих способов.

2.1 Рассмотрим традиционный способ передачи теплоты — посредством перекачки горячей воды. Пусть горячая вода ( $t_1=90^\circ\text{C}$ ) перекачивается из котла нагревателя по трубе диаметром $d=5{,}0\,\text{см}$ и длиной $l=10\,\text{м}$ со скоростью $v=10\,\text{м/с}$ к холодильнику, где остывает до температуры $t_0=20^\circ\text{C}$ . Считайте, что потерями теплоты при движении жидкости по трубе можно пренебречь. Найдите поток теплоты, переносимой в этих условиях.

2.2.1 2.2. Теплоперенос может осуществляться посредством теплопередачи по неподвижному стержню. Для исследования этого способа передачи создана следующая установка. Медный стержень диаметром $d=5{,}0\,\text{см}$ и длиной $l=10\,\text{м}$ одним концом соединен с нагревателем, поддерживающим постоянную температуру $t_1=90^\circ\text{C}$ , а вторым с холодильником, поддерживающим постоянную температуре $t_0=20^\circ\text{C}$ . Боковая поверхность стержня теплоизолирована.

При каком распределении температуры вдоль стержня поток теплоты по нему будет постоянным? Запишите формулу, описывающую зависимость температуры стержня от расстояния до его горячего конца.

2.2.2 Какое количество теплоты потребуется, что нагреть стержень, до такого распределения температур, при котором поток теплоты по нему будет постоянным?

2.2.3 Найдите поток теплоты по стержню в установившемся режиме теплопередачи (т.е. когда этот поток постоянен).

2.3 В природе теплоперенос в больших масштабах осуществляется посредством испарения и конденсации воды. Попытайтесь оценить возможности такого способа теплопередачи. Пусть в теплоизолированную трубу диаметром $d=5{,}0\,\text{см}$ и длиной $l=10\,\text{м}$ поступает водяной пар при температуре $t_1=90^\circ\text{C}$ , движется по ней со средней скоростью $v=50\,\text{м/с}$ и конденсируется на другом конце трубы. Найдите поток теплоты, переносимой паром в этой установке. Считайте, что сконденсировавшаяся вода остывает до температуры $t_0=20^\circ\text{C}$ .

Справочные материалы

Гкал — гигокалория;

приставка Гига- означает $10^9$ .
калория единица теплоты (или тепловой энергии), $1\,\text{кал}=4{,}21\,\text{Дж}$ .

Удельная теплота сгорания нефти — $q=4{,}0\cdot10^7\,\text{Дж/кг}$ .

Плотность воды $\rho=1{,}0\cdot10^3\,\text{кг/м}^3$ .

Плотность водяного пара (при условиях, рассматриваемых в данной задаче) считать равной $\rho=0{,}70\,\text{кг/м}^3$ .

Плотность меди — $\rho=8{,}9\cdot10^3\,\text{кг/м}^3$ .

Удельная теплоемкость воды $c=4{,}2\cdot10^3\,\text{Дж/(кг}\cdot\text{град)}$ .

Удельная теплоемкость меди $c=0{,}39\cdot10^3\,\text{Дж/(кг}\cdot\text{град)}$ .

Удельная теплота испарения воды $L=2{,}25\cdot10^6\,\text{Дж/кг}$ .

1 нефтяной баррель равен158,988литров.

Стандартная плотность нефти марки Urals (в основном поставляемой в Республику Беларусь) принимается равной $\rho=0{,}864\cdot10^3\,\text{кг/м}^3$ .

Поток теплоты — количество теплоты, переносимой в единицу времени $q=\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}$ , где $\Delta Q$ — количество перенесенной теплоты за промежуток времени $\Delta\tau$ .

Если разность температур концов однородного теплоизолированного стержня длиной $l$ равна $\Delta t$ , тогда в единицу времени через площадку единичной площади поперечного сечения в единицу времени протекает количество теплоты, равное

q=\lambda\frac{\Delta t}{l}.\qquad (1)

где $\lambda$ — коэффициент теплопроводности — величина, зависящая от материала, из которого изготовлен стержень.

Коэффициент теплопроводности меди $\lambda=390\,\text{Вт/(м}\cdot\text{град)}$ .

Решение

Часть1. Что мы имеем?

1.1. Расчет массы $m_1$ нагреваемой воды производим по известной формуле для теплообмена

Q_0=cm_1(t_1-t_0)\quad\Rightarrow\quad m_1=\frac{Q_0}{c(t_1-t_0)}=\frac{3{,}6\cdot10^{16}\cdot4{,}21}{4{,}21\cdot10^3\cdot(90-20)}\,\text{кг}=5{,}1\cdot10^{11}\,\text{кг}=5{,}1\cdot10^8\,\text{т},

где $Q_0=3{,}6\cdot10^{16}\,\text{кал}=1{,}5\cdot10^{17}\,\text{Дж}$ — количество теплоты (энергии), произведенное в нашей стране за год.

1.2. Для производства этого же количества энергии $Q_0$ необходимо сжечь массу нефти $m_2$ . С учетом КПД нагревательной установки имеем

Q_0=qm_2\eta\quad\Rightarrow\quad m_2=\frac{Q_0}{q\eta}=\frac{3{,}6\cdot10^{16}\cdot4{,}21}{4{,}0\cdot10^7\cdot0{,}80}\,\text{кг}=4{,}7\cdot10^9\,\text{кг}=4{,}7\cdot10^6\,\text{т}.

1.3. При разгоне нагретой воды насосы совершают работу $A$ по увеличению кинетической энергии воды, следовательно (работой сил вязкого трения воды в трубах пренебрегаем)

A=\frac{m_1v^2}{2}=\frac{5{,}1\cdot10^{11}\cdot(10)^2}{2}\,\text{Дж}=2{,}6\cdot10^{13}\,\text{Дж}.

1.4. С учетом результата, полученного в пункте1.3, найдем массу нефти, которую (с учетом коэффициента полезного действия) необходимо дополнительно сжечь для обеспечения работы насосных станций

qm_3\eta=A\quad\Rightarrow\quad m_3=\frac A{q\eta}=\frac{2{,}6\cdot10^{13}}{4{,}0\cdot10^7\cdot0{,}40}\,\text{кг}=1{,}6\cdot10^6\,\text{кг}=1{,}6\cdot10^3\,\text{т}.

1.5. Суммарная стоимость всей нефти (и на нагрев воды, и на работу насосных станций), если ее объем выразить в баррелях ( $b$ ), будет равна

\begin{aligned}C&=c_0\cdot b=150\cdot\frac{m_2+m_3}{\rho}\cdot\frac1{V_0}\\&=150\frac{4{,}7\cdot10^9+1{,}6\cdot10^6}{0{,}864\cdot10^3}\cdot\frac1{159\cdot10^{-3}}\,\text{долларов}\\&=5{,}1\cdot10^9\,\text{долларов}=5{,}1\,\text{млрд.долл.},\end{aligned}

где $c_0=150\,\text{USD/баррель}$ .

1.6. Пусть горячая вода массой $m_1$ проходит к потребителю по трубам (за год $t=365\cdot24\cdot3600\,\text{с}=3{,}15\cdot10^7\,\text{с}$ ) со скоростью $v$ , тогда

m_1=\rho vSt\quad\Rightarrow\quad S=\frac{m_1}{\rho vt}=\frac{5{,}1\cdot10^{11}}{1{,}0\cdot10^3\cdot10\cdot365\cdot24\cdot3600}\,\text{м}^2=1{,}6\,\text{м}^2.

Часть2. Можно ли сэкономить?

2.1. Поток теплоты при перекачке воды «традиционным» способом по трубам считаем по определению

\begin{aligned}q&=\frac{cm\Delta t}{\Delta\tau}=\frac{c\rho vS\Delta t\Delta\tau}{\Delta\tau}=c\rho vS\Delta t\\&=4{,}2\cdot10^3\cdot1{,}0\cdot10^3\cdot10\cdot3{,}14\cdot(2{,}5\cdot10^{-2})^2\cdot70\,\text{Дж/с}\\&=5{,}8\cdot10^6\,\text{Вт}.\end{aligned}

2.2.1. Согласно формуле (1), приведенной в справочных материалах, для обеспечения постоянного потока теплоты вдоль стержня температура стержня должна уменьшаться на постоянную величину $\Delta t$ при смещении на фиксированное расстояние $l$ по стержню. Это соответствует линейной зависимости $t(x)$ , следовательно

t(x)=t_1-\frac{t_1-t_0}{l}x.

Линейное распределение температуры t(x) вдоль стержня

2.2.2. Для расчета количества теплоты, необходимой для нагрева стержня необходимо учесть, что температуры различных участков стержня различны. В данном случае (при линейном распределении температур) можно использовать среднюю температуру

Q_1=cm\frac{t_1-t_0}{2}=0{,}39\cdot10^3\cdot8{,}9\cdot10^3\cdot3{,}14\cdot(2{,}5\cdot10^{-2})^2\cdot10\cdot\frac{90-20}{2}\,\text{Дж}=2{,}4\cdot10^6\,\text{Дж}.

2.2.3. В установившемся режиме поток теплоты по стержню найдем, используя формулу (1) из справочных материалов

q=\lambda\frac{t_1-t_0}{l}=390\cdot\frac{90-20}{10}\,\text{Дж/с}=2{,}7\cdot10^3\,\text{Вт}.

2.3. При теплопереносе посредством испарения и конденсации воды следует учесть теплоту конденсации пара и остывания получившейся затем воды от температуры $t_1=90^\circ\text{C}$ до температуры $t_0=20^\circ\text{C}$ . При этом количество выделившейся теплоты

Q=m(L+c\Delta t)=\rho Sv\Delta\tau(L+c\Delta t).

Соответственно, поток теплоты, переносимый паром в такой установке (кинетической энергией пара пренебрежем в силу ее малости по сравнению с энергией $Q$ )

\begin{aligned}q&=\frac Q{\Delta\tau}=\rho Sv(L+c\Delta t)\\&=0{,}70\cdot3{,}14\cdot(2{,}5\cdot10^{-2})^2\cdot50\cdot(2{,}25\cdot10^6+4{,}2\cdot10^3\cdot70)\,\text{Дж/с}\\&=1{,}7\cdot10^5\,\text{Вт}.\end{aligned}

Reader note: complete obtainable source packet and archive authority

Nine whole assignments belong to grades9,10,11, three in each cohort; repeated printed11.1 belongs to the distinct Railgun assignment and is retained. The52native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. No separate theory response form, numerical grading rubric or further theory companion is listed. Cover artwork remains in the native PDF; all52scientific/illustrative question/key crops are retained. Catalogue74parts is provisional; actual lowest native requests total76. No causal claim about the catalogue count is made.

Reader note: resonance answer gap

The native question9 asks for the maximum-height graph against detuning. The obtainable key has no such graph: its heading9 estimates the height error requested by question10. The available y(t) key graph is retained for question6. No missing height-detuning graph was invented; the resonance solution is explicitly incomplete.

Примечание читателя: 9.1. Простая задача про простые механизмы

В условии буквально напечатано «проигрываешь в работе»; это не исправлено на расстояние. Формула массы лебедки в архивном ключе после $F_0L=mgh$ теряет деление на $g$ . В решении домкрата знак линейного члена в (2) расходится с (1), а переход (3) меняет отношение $x/y$ на $y/x$ . Все дальнейшие исходные формулы, численный результат, словесные единицы и график сохранены как напечатаны; эти замечания не являются исправленным решением.

Примечание читателя: 9.2. Убойная задача про убойные механизмы

В исходном рисунке условия подпись точки — $(x_1,y_1)$ , хотя текст использует $(x_1,z_1)$ ; в рисунке ключа вертикальная ось подписана $y$ . В первом произведении (12) ключа отсутствует деление на $g$ , которое присутствует в последующих членах. Номер (15) повторен, а ссылка (13) в обсуждении отклонения сохранена буквально.

Примечание читателя: 9.3. Большая теплая задача про тепловые большие механизмы

В справочных данных теплоемкость воды $4{,}2\cdot10^3$ , а в первом расчете ключа $4{,}21\cdot10^3$ ; оба значения оставлены. Исходная формула теплопроводности дана для единичного сечения, однако в ответе2.2.3 ключ не умножает ее на площадь данного стержня и печатает $2{,}7\cdot10^3\,\text{Вт}$ . Это исходное расхождение, а не исправленный расчет.

Примечание читателя: 10.1. Лихач (не задирай носа)

В ключе используется $g=9{,}81\,\text{м/с}^2$ . Формула (16) не содержит множителя $l$ в знаменателе, а следующая численная подстановка содержит. В обсуждении старта с пробуксовкой единица ускорения буквально $\text{м/с}$ ; нумерация (13) повторяется. Эти исходные расхождения сохранены.

Примечание читателя: 10.2. Две трубы, два поршня, две части…

Первое обозначение ключа «2.1.2.2» относится к воздушным вопросам1.1/1.2. Отрицательная формула изменения давления и положительное число $5{,}6\,\text{кПа}$ напечатаны вместе; в (8) стоит $p_2+\Delta p$ , в (10) $V/V_1$ . Число $4{,}5\,\text{кг}$ в (13) расходится с формулой и исходными данными. Во второй части сохраняются та же положительная сила $T$ и знаки сил, но текст называет стержень растянутым, тогда как первая часть — сжатым. Нумерация формул и замена заданной массы $m$ на $M$ в ключе оставлены. Эти замечания обозначают источник, без подмены напечатанного решения.

Примечание читателя: 10.3. В чем причина появления поверхностной энергии?

Заголовок ключа говорит о поверхностном натяжении, условие — об энергии. В (7) ключа смешаны $\varepsilon$ и $\delta$ . В таблице клетка $u_5$ буквально имеет показатель $-5$ и дополнительный конечный штрих, сохраненный как тире; эта клетка расходится с формулой коэффициента. В дополнительном выводе буквально $\delta=nr_0$ , суммирование «от нуля», а положительный линейный член квадратичной энергии расходится с указанным положительным положением минимума. В (12) стоит $F_{23}$ , на рисунке $F_{13}$ . В (15) вместо табличного $s_2$ подставлено $2{,}66\cdot10^{-2}$ , равное табличному $c_2$ . Положительные деформации (18)–(19) сопровождаются словом «сжатие»; арифметика (21) дает знак, противоположный напечатанному. Все исходные знаки, значения, слова, добавочные выводы и заключение сохранены без исправления.

Примечание читателя: 11.1. Новые Архимеды

В формуле (4) напечатано $T_0$ , тогда как график непрерывен после завершения погружения нижнего цилиндра и предыдущее значение — $T_1$ . В конусе ключ использует $\theta$ , условие $\alpha$ ; начало отсчета в формуле конуса отдельно не поясняется. Вопрос требует $r(z)$ , ключ печатает $r(x)$ без явного преобразования координат. Все исходные формулы и оба измеренных графика сохранены.

Примечание читателя: 11.2. Резонанс

Последний напечатанный пункт9 ключа является оценкой ошибки, запрошенной в вопросе10. Для вопроса9 отдельный график высоты от расстройки в полностью прочитанных страницах23–24 отсутствует; он не придуман. В вопросе7 напечатаны вместе количество ударов и слово «время»; ключ дает $k$ . Формулы моментов столкновений и график сохраняют исходную приблизительную нумерацию и значения.

Примечание читателя: 11.1 (третий вопрос). «Railgun»

Этот третий самостоятельный вопрос11класса исходно озаглавлен «Задача1», в ключе «11.1», как и предыдущие «Новые Архимеды»; два разных задания сохранены отдельно. В производной (5) ключ меняет степени знаменателя; в (21) второй переход вводит дополнительный множитель2, переносимый в (25). Исходные знаки силы, формулы скоростей, описание притяжения/отталкивания и объяснение энергетической оговорки сохранены буквально, без исправленного вывода.

Оригинал в Архива: 3_etap_2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2012_theoretical_solutions.pdf