Съдържание

Условие Часть1. Поехали — старт и разгон Часть2. Приехали — торможение и остановка Решение

BelPhO 2012, Областен етап — Задача 10-1. Лихач (не задирай носа)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts and76lowest native requests. Complete available archive keys, tables, graphs, reference data and all52figures retained. Native printed signs, units, numerical/label discrepancies and source omissions preserved with separately attributed reader notes. Resonance question9 height-detuning graph absent from key; solution marked incomplete without invention. No further theoretical companion listed.

Республиканская физическая олимпиада (III этап), 2012 год — Теоретический тур

А.И. Слободянюк

А.А. Мищук

В.И. Анцулевич

Л.Г. Маркович

Условие

Автомобили бывают разные — большие и маленькие, красные и черные, дорогие и поддержанные. Но у всех их есть нечто общее, например, двигатель, кузов, колеса, подвеска.

Рассматриваемый в данной задаче автомобиль понравится не многим автолюбителям, поэтому будем его считать некоторой моделью — «идеальным автомобилем». Подобно тому как в модели идеального газа пренебрегают многими важными свойствами, например, запахом, так и в нашей модели мы оставим только наиболее существенные для нашей задачи характеристики.

Итак, рассматриваем следующую модель автомобиля:

автомобиль передвигается только по горизонтальной поверхности, трением качения можно пренебречь;
корпус автомобиля — однородный параллелепипед;
колеса соединены с корпусом посредством пружин подвески;
жесткость всех пружин одинакова и такова, что у неподвижного автомобиля на горизонтальной дороге их деформация равна $x_0=10\,\text{см}$ ;
центр масс корпуса находится на равных расстояниях от осей передних и задних колес;
расстояние между осями равно $l=3{,}5\,\text{м}$ ;
в состоянии покоя центр масс автомобиля находится на высоте $h=0{,}40\,\text{м}$ ;
масса колес, подвески и заднего моста пренебрежимо мала;
ведущими является задняя пара колес автомобиля (передняя пара колес не взаимодействует с двигателем);
коэффициент трения скольжения между колесами автомобиля и дорогой $\mu_\text{с}=0{,}80$ , максимальный коэффициент трения покоя между колесами автомобиля и дорогой $\mu_\text{п}=0{,}90$ (наверно, вы слышали, что коэффициент трения покоя превышает коэффициент трения скольжения).

Часть1. Поехали — старт и разгон

Разгоняться хочется быстро! Тщательно рассмотрите движение автомобиля при его разгоне — силы, моменты сил, ускорение, все так, как вас учили! Сначала рассмотрите «аккуратный» разгон, когда водитель бережет колеса и при старте колеса не проскальзывают.

1.1 Известно, что при разгоне автомобиля с задними ведущими колесами передок (передняя часть) автомобиля приподнимается. На какой угол $\alpha_1$ «задерет нос» автомобиль при старте с максимально возможным ускорением?

1.2 Определите модуль максимального ускорения $a_\text{max}$ , с которым автомобиль может начать движение.

1.3 Чему равен модуль скорости $v_1$ автомобиля через промежуток времени $\Delta t=5{,}0\,\text{с}$ после начала движения с максимально возможным ускорением?

1.4 Часто можно наблюдать, как водители «рвут с места», включая двигатель на максимальную мощность, при которой колеса прокручиваются при еще неподвижном автомобиле. Насколько эффективен такой старт? Чему равно максимальное ускорение при таком старте при заданных значениях коэффициентов трения? Нужные Вам дополнительные характеристики автомобиля задайте самостоятельно.

Часть2. Приехали — торможение и остановка

Тормозить тоже желательно аккуратно, но иногда возникает необходимость в резком торможении. Считайте, что при таком торможении вращение колес прекращается практически мгновенно.

2.1 Определите тормозной путь $s$ автомобиля, движущегося со скоростью $v=90\,\text{км/ч}$ , при резком торможении.

2.2 Известно, что при резком торможении, когда вращение всех колес резко прекращается, автомобиль «клюет носом». На какой угол $\alpha_2$ наклонится автомобиль при таком торможении?

2.3 Можно ли уменьшить тормозной путь, применяя другую стратегию торможения? Каким может быть минимальный тормозной путь $s'$ автомобиля, движущегося со скоростью $v=90\,\text{км/ч}$ , при торможении опытным водителем, знающим основы физики?

Решение

Часть1. Поехали — старт и разгон

1.1–1.3. На первый взгляд, ответы на первую часть задачи находятся элементарно: автомобиль разгоняет сила трения, которая на горизонтальной дороге равна $\mu mg$ . Однако, этот ответ не верен! Ведущими колесами являются только задние колеса, поэтому необходимо учитывать силу трения, действующую только на эти колеса. Это приводит к необходимости более подробного рассмотрения.

На рис.1 изображены внешние силы, действующие на автомобиль во время его разгона. Понятно, что единственной горизонтальной силой, сообщающей ускорение автомобилю, является сила трения $\vec F_\text{тр.}$ , действующая со стороны дороги на задние ведущие колеса автомобиля. По закону Кулона-Амонтона эта сила равна

F_\text{тр.}=\mu N_1,\qquad (1)

где $N_1$ — сила нормальной реакции, действующая на задние колеса.

Не смотря на то, что центр масс нашего автомобиля находится на его середине, нагрузка на дорогу во время ускоренного движения распределяется неравномерно между колесами. Для определения сил запишем уравнения: второго закона Ньютона для автомобиля в проекции на вертикальное направление:

N_1+N_2=mg,\qquad (2)

здесь $N_2$ — сила реакции, действующая на передние колеса; условие равенства нулю моментов сил относительно центра масс автомобиля:

F_\text{тр.}h'+N_2\frac l2-N_1\frac l2=0,\qquad (3)

где $h'$ — высота центра масс автомобиля над дорогой в процессе разгона. Так как корпус автомобиля при разгоне наклоняется, то не очевидно, что эта высота не изменяется. Возможное изменение высоты центра масс можно найти, рассматривая деформации пружин подвески (рис.2). Обозначим $\Delta x_1,\Delta x_2$ — дополнительные (к величине $x_0$ ) деформации задней и передней подвески. Так как в вертикальном направлении колеса не движутся, то силы упругости, действующие на колеса, уравновешиваются силами реакции со стороны дороги (массой колес пренебрегаем), поэтому с учетом закона Гука можно записать

\begin{aligned}N_1&=F_\text{упр.1}=k(x_0+\Delta x_1),\\N_2&=F_\text{упр.2}=k(x_0+\Delta x_2).\end{aligned}\qquad (4)

Рис.2. Деформации передней и задней подвески

Теперь с использованием уравнения (2) и очевидного соотношения для покоящегося автомобиля $mg=2kx_0$ , получим

k(x_0+\Delta x_1)+k(x_0+\Delta x_2)=2kx_0,\qquad (5)

откуда следует, что

\Delta x_2=-\Delta x_1,\qquad (6)

то есть, на сколько сожмется задняя подвеска, на столько же поднимется передняя. В этом случае, как следует из рис.2, высота центра масс автомобиля не изменяется, то есть

h'=h.\qquad (7)

Кроме того, угол наклона кузова автомобиля может быть выражен из деформации пружин посредством соотношения

\alpha_1=2\frac{\Delta x_1}{l},\qquad (8)

где величина деформации выражается из уравнений (4)

\Delta x_1=\frac{N_1-N_2}{2k}=x_0\frac{N_1-N_2}{mg}.\qquad (9)

Вернемся к системе уравнений (1)–(3), так как мы показали, что $h'=h$ , то эта система из трех уравнений содержит три неизвестных величины (сила трения и силы реакций), поэтому может быть решена. Перепишем уравнения (3) и (2) в виде

\begin{aligned}N_1-N_2&=F_\text{тр.}\frac{2h}{l},\\N_1+N_2&=mg,\end{aligned}\qquad (10)

и сложим их, в результате получим

N_1=\frac12\left(mg+F_\text{тр.}\frac{2h}{l}\right).\qquad (11)

Подставим это выражение в уравнение (1)

F_\text{тр.}=\mu\frac12\left(mg+F_\text{тр.}\frac{2h}{l}\right),

из которого находим

F_\text{тр.}=\frac{\mu mg}{2(1-\mu h/l)}.\qquad (12)

Ускорение автомобиля найдем с помощью второго закона Ньютона:

F_\text{тр.}=ma_1\quad\Rightarrow\quad\frac{\mu mgl}{2(l-\mu h)}=ma_1\quad\Rightarrow\quad a_1=\frac{\mu gl}{2(l-\mu h)}.\qquad (13)

Проведем вычисления. Если водитель стартует так, что колеса не проскальзывают, то максимальное ускорение достигается при максимальном коэффициенте трения покоя, $\mu=\mu_\text{п}$ . В результате:

a_{1,\text{п}}=\frac{0{,}90\cdot9{,}81\cdot3{,}5}{2(3{,}5-0{,}90\cdot0{,}40)}=4{,}9\,\text{м/с}^2.\qquad (14)

Модуль скорости, которой достигнет автомобиль при таком максимальном ускорении:

v_1=a_\text{max}\Delta t=4{,}9\cdot5{,}0=24{,}5\,\text{м/с}=89\,\text{км/ч}.\qquad (15)

Наконец, последовательно подставляя «снизу вверх» от формулы (12) в (10), (9), (8), находим угол наклона корпуса автомобиля

\alpha_1=\frac{2\mu x_0h}{l-\mu h}.\qquad (16)

Подстановка численных значений дает результат

\alpha_1=\frac{2\mu_\text{п}x_0h}{l(l-\mu_\text{п}h)}=\frac{2\cdot0{,}90\cdot0{,}10\cdot0{,}40}{3{,}5(3{,}5-0{,}90\cdot0{,}40)}=0{,}00655\,\text{рад}=0{,}38^\circ.

1.4. Если водитель «рвет с места», то коэффициент трения — это коэффициент трения скольжения, $\mu=\mu_\text{с}$ . В результате его ускорение оказывается меньше

a_{1,\text{с}}=\frac{0{,}80\cdot9{,}81\cdot3{,}5}{2(3{,}5-0{,}80\cdot0{,}40)}=4{,}3\,\text{м/с}^2.\qquad (13)

Однако, если учесть, что колеса и особенно задний мост имеют определенный момент инерции, то в такой ситуации момент сил будет отличным от нуля. В этом случае момент сил, действующей на корпус автомобиля со стороны двигателя, может стать таким, что весь вес автомобиля придется на задние колеса (передние колеса оторвутся от земли). В этом случае ускоряющая сила трения может достичь величины $\mu_\text{с}mg$ , а ускорение станет равным $\mu_\text{с}g=8{,}0\,\text{м/с}$ .

Примечание — пояснение. Задачу можно решать, рассматривая не весь автомобиль целиком, а только его корпус. На ведущие колеса автомобиля со стороны механизма, связанного с двигателем, действует момент сил $M_\text{к}$ , вращающий их по часовой стрелке вокруг оси $O_1$ колесной пары. Если пренебречь массой (моментом инерции) колес, то такой же по модулю, но противоположно направленный момент сил $M_\text{дв}=M_\text{к}$ действует на автомобиль, разворачивающий его против часовой стрелки.

Часть2. Приехали — торможение и остановка

2.1. При резком торможении, когда вращение колес прекращается, тормозящей силой является суммарная сила трения, действующая на колеса автомобиля. Так коэффициенты трения передних и задних колес одинаковы, то

F_\text{тр.1}+F_\text{тр.2}=\mu(N_1+N_2)=\mu mg.\qquad (18)

Поэтому модуль ускорения, с которым тормозит автомобиль, равен

a=\frac{F_\text{тр.1}+F_\text{тр.2}}m=\mu g.\qquad (19)

Тормозной путь автомобиля может быть рассчитан по кинематической формуле

S=\frac{v_0^2}{2a}=\frac{v_0^2}{2\mu g}.\qquad (20)

Подстановка численных значений (конечно, надо брать коэффициент трения скольжения) приводит к результату

s=\frac{v_0^2}{2\mu_\text{с}g}=\frac{25^2}{2\cdot0{,}80\cdot9{,}81}=40\,\text{м}.\qquad (21)

2.2. Так как «геометрия автомобиля» не изменилась, то для расчета его угла наклона можно воспользоваться ранее полученными формулами (8)–(9), с заменой индексов

\alpha_2=2\frac{\Delta x_2}{l}=2x_0\frac{N_2-N_1}{mgl}.\qquad (22)

Для определения разности сил реакций в данном случае также следует воспользоваться уравнением моментов относительно центра масс автомобиля

\left(F_\text{тр.1}+F_\text{тр.2}\right)h+N_1\frac l2-N_2\frac l2=0,\qquad (23)

из которого следует, что

N_2-N_1=(F_\text{тр.1}+F_\text{тр.2})\frac{2h}{l}=\mu mg\frac{2h}{l}.\qquad (24)

Таким образом, получаем, что угол наклона корпуса автомобиля при торможении рассчитывается по формуле

\alpha_2=2x_0\frac{N_2-N_1}{mgl}=4\mu\frac{hx_0}{l^2}.\qquad (25)

Подстановка численных значений дает

\alpha_2=\frac{4\mu_\text{с}x_0h}{l^2}=\frac{4\cdot0{,}80\cdot0{,}10\cdot0{,}40}{3{,}5^2}=0{,}010\,\text{рад}=0{,}60^\circ.\qquad (26)

2.3. Тормозной путь можно уменьшить так, чтобы колеса тормозили так, чтобы не было проскальзывания. В этом случае сила трения будет определяться коэффициентом трения покоя. Расчет по формуле (20) в этом случае приводит к результату

s'=\frac{v_x^2}{2\mu_\text{п}g}=\frac{25^2}{2\cdot0{,}90\cdot9{,}81}=35\,\text{м}.\qquad (27)

Возможно,5м спасут чью-то жизнь.

Reader note: complete obtainable source packet and archive authority

Nine whole assignments belong to grades9,10,11, three in each cohort; repeated printed11.1 belongs to the distinct Railgun assignment and is retained. The52native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. No separate theory response form, numerical grading rubric or further theory companion is listed. Cover artwork remains in the native PDF; all52scientific/illustrative question/key crops are retained. Catalogue74parts is provisional; actual lowest native requests total76. No causal claim about the catalogue count is made.

Reader note: resonance answer gap

The native question9 asks for the maximum-height graph against detuning. The obtainable key has no such graph: its heading9 estimates the height error requested by question10. The available y(t) key graph is retained for question6. No missing height-detuning graph was invented; the resonance solution is explicitly incomplete.

Примечание читателя: 9.1. Простая задача про простые механизмы

В условии буквально напечатано «проигрываешь в работе»; это не исправлено на расстояние. Формула массы лебедки в архивном ключе после $F_0L=mgh$ теряет деление на $g$ . В решении домкрата знак линейного члена в (2) расходится с (1), а переход (3) меняет отношение $x/y$ на $y/x$ . Все дальнейшие исходные формулы, численный результат, словесные единицы и график сохранены как напечатаны; эти замечания не являются исправленным решением.

Примечание читателя: 9.2. Убойная задача про убойные механизмы

В исходном рисунке условия подпись точки — $(x_1,y_1)$ , хотя текст использует $(x_1,z_1)$ ; в рисунке ключа вертикальная ось подписана $y$ . В первом произведении (12) ключа отсутствует деление на $g$ , которое присутствует в последующих членах. Номер (15) повторен, а ссылка (13) в обсуждении отклонения сохранена буквально.

Примечание читателя: 9.3. Большая теплая задача про тепловые большие механизмы

В справочных данных теплоемкость воды $4{,}2\cdot10^3$ , а в первом расчете ключа $4{,}21\cdot10^3$ ; оба значения оставлены. Исходная формула теплопроводности дана для единичного сечения, однако в ответе2.2.3 ключ не умножает ее на площадь данного стержня и печатает $2{,}7\cdot10^3\,\text{Вт}$ . Это исходное расхождение, а не исправленный расчет.

Примечание читателя: 10.1. Лихач (не задирай носа)

В ключе используется $g=9{,}81\,\text{м/с}^2$ . Формула (16) не содержит множителя $l$ в знаменателе, а следующая численная подстановка содержит. В обсуждении старта с пробуксовкой единица ускорения буквально $\text{м/с}$ ; нумерация (13) повторяется. Эти исходные расхождения сохранены.

Примечание читателя: 10.2. Две трубы, два поршня, две части…

Первое обозначение ключа «2.1.2.2» относится к воздушным вопросам1.1/1.2. Отрицательная формула изменения давления и положительное число $5{,}6\,\text{кПа}$ напечатаны вместе; в (8) стоит $p_2+\Delta p$ , в (10) $V/V_1$ . Число $4{,}5\,\text{кг}$ в (13) расходится с формулой и исходными данными. Во второй части сохраняются та же положительная сила $T$ и знаки сил, но текст называет стержень растянутым, тогда как первая часть — сжатым. Нумерация формул и замена заданной массы $m$ на $M$ в ключе оставлены. Эти замечания обозначают источник, без подмены напечатанного решения.

Примечание читателя: 10.3. В чем причина появления поверхностной энергии?

Заголовок ключа говорит о поверхностном натяжении, условие — об энергии. В (7) ключа смешаны $\varepsilon$ и $\delta$ . В таблице клетка $u_5$ буквально имеет показатель $-5$ и дополнительный конечный штрих, сохраненный как тире; эта клетка расходится с формулой коэффициента. В дополнительном выводе буквально $\delta=nr_0$ , суммирование «от нуля», а положительный линейный член квадратичной энергии расходится с указанным положительным положением минимума. В (12) стоит $F_{23}$ , на рисунке $F_{13}$ . В (15) вместо табличного $s_2$ подставлено $2{,}66\cdot10^{-2}$ , равное табличному $c_2$ . Положительные деформации (18)–(19) сопровождаются словом «сжатие»; арифметика (21) дает знак, противоположный напечатанному. Все исходные знаки, значения, слова, добавочные выводы и заключение сохранены без исправления.

Примечание читателя: 11.1. Новые Архимеды

В формуле (4) напечатано $T_0$ , тогда как график непрерывен после завершения погружения нижнего цилиндра и предыдущее значение — $T_1$ . В конусе ключ использует $\theta$ , условие $\alpha$ ; начало отсчета в формуле конуса отдельно не поясняется. Вопрос требует $r(z)$ , ключ печатает $r(x)$ без явного преобразования координат. Все исходные формулы и оба измеренных графика сохранены.

Примечание читателя: 11.2. Резонанс

Последний напечатанный пункт9 ключа является оценкой ошибки, запрошенной в вопросе10. Для вопроса9 отдельный график высоты от расстройки в полностью прочитанных страницах23–24 отсутствует; он не придуман. В вопросе7 напечатаны вместе количество ударов и слово «время»; ключ дает $k$ . Формулы моментов столкновений и график сохраняют исходную приблизительную нумерацию и значения.

Примечание читателя: 11.1 (третий вопрос). «Railgun»

Этот третий самостоятельный вопрос11класса исходно озаглавлен «Задача1», в ключе «11.1», как и предыдущие «Новые Архимеды»; два разных задания сохранены отдельно. В производной (5) ключ меняет степени знаменателя; в (21) второй переход вводит дополнительный множитель2, переносимый в (25). Исходные знаки силы, формулы скоростей, описание притяжения/отталкивания и объяснение энергетической оговорки сохранены буквально, без исправленного вывода.

Оригинал в Архива: 3_etap_2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2012_theoretical_solutions.pdf