Съдържание

BelPhO 2012, Областен етап — Задача 11-2. Резонанс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts and76lowest native requests. Complete available archive keys, tables, graphs, reference data and all52figures retained. Native printed signs, units, numerical/label discrepancies and source omissions preserved with separately attributed reader notes. Resonance question9 height-detuning graph absent from key; solution marked incomplete without invention. No further theoretical companion listed.

Республиканская физическая олимпиада (III этап), 2012 год — Теоретический тур

А.И. Слободянюк

А.А. Мищук

В.И. Анцулевич

Л.Г. Маркович

Условие

Внизу очень высокого цилиндра колеблется тяжелая платформа. Платформа движется вверх и вниз с постоянной по модулю скоростью $\pm u$ и с некоторым периодом $T$ . Время торможения и разгона платформы пренебрежимо малы, т.е. можно считать, что достигая нижнего или верхнего положения, платформа мгновенно изменяет скорость на противоположную.

На платформу с некоторой высоты $h$ падает маленький шарик. Непосредственно перед столкновением с платформой шарик движется вниз с некоторой скоростью $v$ , а сам поршень находится в крайнем нижнем положении и движется вверх (см.рис.).

Возможна ситуация, при которой шарик в процессе движения всегда ударяется о платформу, находящуюся в одном и том же (описанном выше) положении, и при этом всегда приобретает дополнительную скорость.

11.2. Резонанс

1 Покажите, что при заданной скорости $u$ такая ситуация возможна, только если период колебаний платформы и скорость, с которой шарик подлетает к платформе, удовлетворяют следующим условиям:

T=A/m\quad\text{и}\quad v=B\frac nm,\qquad n,m\in\mathbb N.

2 Пусть $u=0{,}5\,\text{м/с}$ , а $g=10\,\text{м/с}^2$ . Найдите численные значения $A$ и $B$ .

3 В задаче рассматривается только случай, когда скорость шарика гораздо больше скорости платформы $v\gg u$ ( $v\ge10u$ ) и высота, на которую поднимается шарик, намного больше амплитуды колебаний платформы. Последнее условие сформулируем следующим образом: $uT\ll h$ ( $uT\le h/10$ ). Как должны быть связаны числа $n$ и $m$ , чтобы эти условия выполнялись?

4 Определите значение наименьшей «резонансной» скорости $v_0$ , которой может обладать подлетающий к платформе шарик, а также интервал $\Delta v$ между двумя резонансными скоростями для $m=1,m=2$ и $m=10$ .

5 Рассмотрим более подробно поведение шарика, подлетающего к платформе с резонансной скоростью $v_0$ при $m=1$ . Определите моменты времени $i$ -го касания шарика и платформы, а также максимальную высоту подъема шарика после $i$ -го касания.

6 Изобразите схематически зависимость координаты шарика от времени (обозначьте характерные точки: моменты удара, максимальные высоты).

7 Пусть скорость $v$ шарика отличается от резонансной на величину $\delta v$ ( $v=v_0+\delta v$ ). Рассмотрите только случай, когда $v_0<v<v_0+\Delta v/2$ . Через какое количество ударов процесс увеличения высоты подъема сменится уменьшением? Выразите это время через отношение $\delta v/\Delta v$ .

8 Какое время будет продолжаться разгон и на какую максимальную высоту $h(\delta v/\Delta v)$ сможет подняться этот шарик?

9 Нарисуйте качественный график зависимости $h(\delta v/\Delta v)$ .

10 Полученное в п.8 значение высоты является несколько заниженным, т.к. сама платформа находится в различных положениях при каждом следующем ударе. Оцените ошибку $\Delta h(\delta v/\Delta v)$ определения максимальной высоты подъема.

Решение

Внимание: Непълно решение

Вопрос9 требует график высоты от относительной расстройки. В полностью прочитанном архивном ключе23–24 этот график отсутствует; ключевой пункт9 отвечает исходному вопросу10. Новый график не придуман.

1. После столкновения шарик получает дополнительную скорость $2u$ . Следующее соударение произойдет через:

\Delta t=2\frac{v+2u}{g}=\frac{2v}{g}+\frac{4u}{g}.\qquad (1)

И это время должно быть кратным периоду после любого количества соударений. Это может быть, только если каждое из слагаемых выражения (1) кратно периоду:

\frac{4u}{g}=Tm,\qquad (2)

\frac{2v}{g}=Tn.\qquad (3)

Из равенства (2) следует:

T=\frac{4u/g}{m}=A/m.\qquad (4)

Подставляя значение периода в выражение (3), получим:

v=2u\frac nm=B\frac nm.\qquad (5)

2. Численные значения $A$ и $B$ :

A=0{,}2\,\text{с},\qquad (6)

B=1\,\text{м/с}.\qquad (7)

3. Подставляя значения периода и скорости (4), (5) в условия $v\ge10u$ и $uT\le h/10$ , запишем в виде ( $h=v^2/(2g)$ ):

\frac nm\ge5,\qquad (8)

\frac{0{,}1}{m}\le\frac1{10}\frac1{2\cdot10}\frac{n^2}{m^2}.\qquad (9)

Последнее условие можно записать в виде:

n\ge\sqrt{20}\sqrt m.\qquad (10)

Т.к. $\sqrt{20}<5$ , то последнее условие автоматически выполняется при условии (8). Таким образом, числа $n$ и $m$ должны быть связаны условием:

n\ge5m.\qquad (11)

4. При $m=1$ скорость (с учетом условия(11)) может принимать значения:

v=5\,\text{м/с};6\,\text{м/с};7\,\text{м/с};\ldots\qquad (12)

Для $m=2$ и $m=10$ аналогично:

v=5\,\text{м/с};5{,}5\,\text{м/с};6\,\text{м/с};\ldots\qquad (13)

v=5\,\text{м/с};5{,}1\,\text{м/с};5{,}2\,\text{м/с};\ldots\qquad (14)

Таким образом, минимальная резонансная скорость во всех случаях равна:

v_0=5\,\text{м/с}.\qquad (15)

А интервал между резонансными скоростями уменьшается и становится равным:

\Delta v=\frac1m\,\text{м/с}.\qquad (16)

5. После $i$ столкновений скорость шарика будет равна:

v_i=v_0+2ui.\qquad (17)

Тогда высота подъема равна:

h_i=\frac{(v_0+2ui)^2}{2g}=\frac{(5+i)^2}{20}.\qquad (18)

Промежуток времени между последовательными столкновениями:

\Delta t_i=2\frac{v_0+2ui}{g}.\qquad (19)

Тогда время $i$ -го соударения:

t_i=\frac{2v_0}{g}i+\frac{2u}{g}i^2=i+0{,}1i^2.\qquad (20)

6. Схематический график зависимости изображен на рисунке.

Исходный график координаты шарика от времени

7. За время между ударами будет появляться сдвиг по времени, равный $2\delta v/g$ . Процесс увеличения высоты подъема сменится уменьшением, когда сдвиг по времени станет равным половине периода, т.е. после

k=\frac{Tg}{4\delta v}\qquad (21)

ударов. Подставляя значение $T=0{,}2/m=0{,}2\Delta v$ , получим:

k=\frac{0{,}5}{\delta v/\Delta v}.\qquad (22)

8. Подставляя (22) в выражение (20), получим:

t_i=k+0{,}1k^2=\frac{0{,}5}{\delta v/\Delta v}+0{,}1\left(\frac{0{,}5}{\delta v/\Delta v}\right)^2,\qquad (23)

h_i=\frac{(5+k)^2}{20}=\frac{\left(5+\frac{0{,}5}{\delta v/\Delta v}\right)^2}{20}.\qquad (24)

9. Для оценки, можно считать, что при каждом ударе платформа находится на высоте равной амплитуде. Тогда за $k$ ударов ошибка составит:

\Delta h=ak=\frac T2u\frac{0{,}5}{\delta v/\Delta v}=\frac{0{,}025}{\delta v/\Delta v}.\qquad (25)

Reader note: complete obtainable source packet and archive authority

Nine whole assignments belong to grades9,10,11, three in each cohort; repeated printed11.1 belongs to the distinct Railgun assignment and is retained. The52native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. No separate theory response form, numerical grading rubric or further theory companion is listed. Cover artwork remains in the native PDF; all52scientific/illustrative question/key crops are retained. Catalogue74parts is provisional; actual lowest native requests total76. No causal claim about the catalogue count is made.

Reader note: resonance answer gap

The native question9 asks for the maximum-height graph against detuning. The obtainable key has no such graph: its heading9 estimates the height error requested by question10. The available y(t) key graph is retained for question6. No missing height-detuning graph was invented; the resonance solution is explicitly incomplete.

Примечание читателя: 9.1. Простая задача про простые механизмы

В условии буквально напечатано «проигрываешь в работе»; это не исправлено на расстояние. Формула массы лебедки в архивном ключе после $F_0L=mgh$ теряет деление на $g$ . В решении домкрата знак линейного члена в (2) расходится с (1), а переход (3) меняет отношение $x/y$ на $y/x$ . Все дальнейшие исходные формулы, численный результат, словесные единицы и график сохранены как напечатаны; эти замечания не являются исправленным решением.

Примечание читателя: 9.2. Убойная задача про убойные механизмы

В исходном рисунке условия подпись точки — $(x_1,y_1)$ , хотя текст использует $(x_1,z_1)$ ; в рисунке ключа вертикальная ось подписана $y$ . В первом произведении (12) ключа отсутствует деление на $g$ , которое присутствует в последующих членах. Номер (15) повторен, а ссылка (13) в обсуждении отклонения сохранена буквально.

Примечание читателя: 9.3. Большая теплая задача про тепловые большие механизмы

В справочных данных теплоемкость воды $4{,}2\cdot10^3$ , а в первом расчете ключа $4{,}21\cdot10^3$ ; оба значения оставлены. Исходная формула теплопроводности дана для единичного сечения, однако в ответе2.2.3 ключ не умножает ее на площадь данного стержня и печатает $2{,}7\cdot10^3\,\text{Вт}$ . Это исходное расхождение, а не исправленный расчет.

Примечание читателя: 10.1. Лихач (не задирай носа)

В ключе используется $g=9{,}81\,\text{м/с}^2$ . Формула (16) не содержит множителя $l$ в знаменателе, а следующая численная подстановка содержит. В обсуждении старта с пробуксовкой единица ускорения буквально $\text{м/с}$ ; нумерация (13) повторяется. Эти исходные расхождения сохранены.

Примечание читателя: 10.2. Две трубы, два поршня, две части…

Первое обозначение ключа «2.1.2.2» относится к воздушным вопросам1.1/1.2. Отрицательная формула изменения давления и положительное число $5{,}6\,\text{кПа}$ напечатаны вместе; в (8) стоит $p_2+\Delta p$ , в (10) $V/V_1$ . Число $4{,}5\,\text{кг}$ в (13) расходится с формулой и исходными данными. Во второй части сохраняются та же положительная сила $T$ и знаки сил, но текст называет стержень растянутым, тогда как первая часть — сжатым. Нумерация формул и замена заданной массы $m$ на $M$ в ключе оставлены. Эти замечания обозначают источник, без подмены напечатанного решения.

Примечание читателя: 10.3. В чем причина появления поверхностной энергии?

Заголовок ключа говорит о поверхностном натяжении, условие — об энергии. В (7) ключа смешаны $\varepsilon$ и $\delta$ . В таблице клетка $u_5$ буквально имеет показатель $-5$ и дополнительный конечный штрих, сохраненный как тире; эта клетка расходится с формулой коэффициента. В дополнительном выводе буквально $\delta=nr_0$ , суммирование «от нуля», а положительный линейный член квадратичной энергии расходится с указанным положительным положением минимума. В (12) стоит $F_{23}$ , на рисунке $F_{13}$ . В (15) вместо табличного $s_2$ подставлено $2{,}66\cdot10^{-2}$ , равное табличному $c_2$ . Положительные деформации (18)–(19) сопровождаются словом «сжатие»; арифметика (21) дает знак, противоположный напечатанному. Все исходные знаки, значения, слова, добавочные выводы и заключение сохранены без исправления.

Примечание читателя: 11.1. Новые Архимеды

В формуле (4) напечатано $T_0$ , тогда как график непрерывен после завершения погружения нижнего цилиндра и предыдущее значение — $T_1$ . В конусе ключ использует $\theta$ , условие $\alpha$ ; начало отсчета в формуле конуса отдельно не поясняется. Вопрос требует $r(z)$ , ключ печатает $r(x)$ без явного преобразования координат. Все исходные формулы и оба измеренных графика сохранены.

Примечание читателя: 11.2. Резонанс

Последний напечатанный пункт9 ключа является оценкой ошибки, запрошенной в вопросе10. Для вопроса9 отдельный график высоты от расстройки в полностью прочитанных страницах23–24 отсутствует; он не придуман. В вопросе7 напечатаны вместе количество ударов и слово «время»; ключ дает $k$ . Формулы моментов столкновений и график сохраняют исходную приблизительную нумерацию и значения.

Примечание читателя: 11.1 (третий вопрос). «Railgun»

Этот третий самостоятельный вопрос11класса исходно озаглавлен «Задача1», в ключе «11.1», как и предыдущие «Новые Архимеды»; два разных задания сохранены отдельно. В производной (5) ключ меняет степени знаменателя; в (21) второй переход вводит дополнительный множитель2, переносимый в (25). Исходные знаки силы, формулы скоростей, описание притяжения/отталкивания и объяснение энергетической оговорки сохранены буквально, без исправленного вывода.

Оригинал в Архива: 3_etap_2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2012_theoretical_solutions.pdf