Съдържание

Условие Часть0. Тоже оценивается!Часть1. Снаряд — постоянный магнит Часть2. Снаряд — магнетик Часть3. Снаряд — катушка индуктивности Решение

BelPhO 2012, Областен етап — Задача 11-1 (повтор). «Railgun»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts and76lowest native requests. Complete available archive keys, tables, graphs, reference data and all52figures retained. Native printed signs, units, numerical/label discrepancies and source omissions preserved with separately attributed reader notes. Resonance question9 height-detuning graph absent from key; solution marked incomplete without invention. No further theoretical companion listed.

Республиканская физическая олимпиада (III этап), 2012 год — Теоретический тур

А.И. Слободянюк

А.А. Мищук

В.И. Анцулевич

Л.Г. Маркович

Условие

Программа СОИ США сосредоточила публичное внимание на электромагнитных пушках… М.Леффлер

Иллюстрация электромагнитной пушки из исходного условия

Электромагнитные пушки давно заполонили компьютерные игры, боевики… и даже являются объектами серьезных научных и инженерных исследований. Нам не кажется, что за отведенное Вам время, Вы сможете предложить принципиально новые принципы создания такого оружия. Но, Вы обязаны продемонстрировать свои знания и способности в объяснении и описании основных принципов устройства такого оружия.

Основная идея разгона снарядов заключается во взаимодействии снаряда с магнитным полем, создаваемым системой катушек, по которым пропускаются сильные импульсы электрического тока.

Вам предстоит рассмотреть простейший вариант — система катушек заменяется на одну, которая, в свою очередь, рассматривается как круговой виток радиуса $R$ с током, силу которого будем обозначать $I_0$ . Для производства выстрела кольцо подключают к батарее конденсаторов суммарной емкостью $C$ , заряженной до напряжения $U_0$ . Электрическое сопротивление кольца обозначим $Y$ (чтобы не путать с его радиусом), индуктивностью кольца можно пренебречь. Излучением электромагнитных волн во всех случаях следует пренебрегать.

Кольцо с конденсатором и снаряд на оси Z

Вдоль оси витка расположен тонкий, длинный, гладкий, непроводящий и немагнитный стержень. Со стержнем совместим ось координат $Oz$ , начало которой находится в центре кольца. Вдоль стержня может скользить без трения цилиндрический снаряд массы $m$ . Размеры снаряда — его радиус $r$ и длина $l$ , значительно меньше радиуса витка $R$ . Во всех случаях, электромагнитные свойства снаряда моделируются проводящим круговым витком, в котором протекает, или может протекать электрический ток, силу которого будем обозначать $i$ . Магнитные свойства снаряда будут варьироваться по ходу задачи.

Магнитное поле, создаваемым круговым током $I_0$ , описывается достаточно сложно. Однако, на оси кольца вектор индукции магнитного поля направлен вдоль этой оси, а его модуль на расстоянии $z$ от центра кольца определяется по формуле

B_z=\frac{\mu_0I_0}{2}\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}.\qquad (1)

Часть0. Тоже оценивается!

0.1 Покажите, что в осесимметичном магнитном поле при изменении осевой компоненты индукции поля $B_z(z)$ неизбежно существование радиальной компоненты поля, которая на малом расстоянии $r$ от оси может быть рассчитана по формуле

B_r=-\frac r2\frac{dB_z}{dz},\qquad (2)

где $dB_z/dz$ — производная от осевой компоненты по координате.

Радиальная и осевая компоненты поля Br Bz

0.2 Найдите зависимость радиальной компоненты поля кругового тока в зависимости от координаты $z$ и расстояния до оси $B_r(z,r)$ .

Часть1. Снаряд — постоянный магнит

Снаряд пушки представляет собой постоянный магнит (в состоянии полной намагниченности). Это значит, что его магнитные свойства моделируются постоянным круговым током силой $i$ , протекающим по его боковой поверхности. Сила этого тока не зависит от индукции внешнего магнитного поля.

1.1 Пусть снаряд покоится и находится на расстоянии $z_0$ от центра кольца, по которому протекает постоянный ток силой $I_0$ . Найдите силу, действующую на снаряд со стороны магнитного поля. Постройте график зависимости этой силы от расстояния до центра кольца.

1.2 Какую максимальную скорость может приобрести снаряд при выстреле в описанных выше условиях при разрядке конденсатора? Считайте, что смещением снаряда за время прохождения тока по кольцу можно пренебречь.

1.3 В какую сторону полетит снаряд и как изменится его направление полета, если не изменяя первоначального положения снаряда, изменить полярность подключения батареи?

Часть2. Снаряд — магнетик

Рассмотрим теперь поведение снаряда из магнитномягкого железа. В этом случае в магнитном поле снаряд намагничивается, причем можно считать, что его намагниченность пропорциональна индукции внешнего поля (то есть можно пренебречь эффектами насыщения и остаточной намагниченности). Иными словами, магнитные свойства снаряда моделируются круговым током, текущим по боковой поверхности, сила которого пропорциональная индукции внешнего поля $B_0$ , направленного по оси снаряда

i=\chi B_0.\qquad (3)

Считайте, что $\chi$ — известная константа.

2.1 Пусть снаряд покоится и находится на расстоянии $z_0$ от центра кольца, по которому протекает постоянный ток силой $I_0$ . Найдите силу, действующую на снаряд со стороны магнитного поля.

2.2 Рассчитайте, какую максимальную скорость может приобрести снаряд в этом случае.

2.3 В какую сторону полетит снаряд и как изменится его направление полета, если не изменяя первоначального положения снаряда, изменить полярность подключения батареи?

Часть3. Снаряд — катушка индуктивности

Рассмотрим теперь снаряд, изготовленный из немагнитного материала, на внешнюю поверхность которого намотана закороченная на себя катушка, индуктивность которой равна $L$ . Электрическим сопротивлением катушки можно пренебречь.

3.1 Рассчитайте, какую максимальную скорость может приобрести снаряд в этом случае.

3.2 В какую сторону полетит снаряд и как изменится его направление полета, если не изменяя первоначального положения снаряда, изменить полярность подключения батареи?

Решение

Часть0

0.1. Для расчета радиальной компоненты магнитного поля можно воспользоваться теоремой о магнитном потоке (или свойством замкнутости силовых линий магнитного поля), из которой следует, что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Выделим тонкий цилиндр толщиной $\Delta z$ и радиуса $r$ , нижнее основание которого находится на расстоянии $z$ от центра кольца, соосный с кольцом и применим теорему о магнитном потоке к поверхности этого цилиндра. Магнитный поток через нижнее основание равен (учтите, что вектора индукции и нормали здесь противоположны)

\Phi_1=-B_z(z)\pi r^2,

где $B_z(z)$ — значение вертикальной компоненты вектора индукции на высоте $z$ ; поток через верхнее основание равен

\Phi_2=B_z(z+\Delta z)\pi r^2,

где $B_z(z+\Delta z)$ — значение вертикальной компоненты вектора индукции на высоте $z+\Delta z$ ; поток через боковую поверхность (из осевой симметрии следует, что модуль радиальной составляющей вектора индукции $B_r$ на этой поверхности постоянен):

\Phi_3=B_r\cdot2\pi r\Delta z.

Замкнутая цилиндрическая поверхность и нормали магнитного потока

Сумма этих потоков равна нулю, поэтому справедливо уравнение

\Phi_1+\Phi_2+\Phi_3=-B_z(z)\pi r^2+B_z(z+\Delta z)\pi r^2+B_r\cdot2\pi r\Delta z=0,

из которого определим искомую величину

B_r=-\frac r2\frac{B_z(z+\Delta z)-B_z(z)}{\Delta z}=-\frac r2\frac{dB_z(z)}{dz}.\qquad (1)

0.2. Так как вид зависимости радиальной компоненты вектора индукции задан в условии задачи, то для расчета радиальной компоненты достаточно вычислить производную от этой функции

B_r=-\frac r2\frac{dB_z(z)}{dz}=-\frac r2\frac d{dz}\left(\frac{\mu_0I_0}{2}\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\right)=\frac{3\mu_0I_0R^2r}{4}\frac z{(R^2+z^2)^{5/2}}.\qquad (2)

Часть1. Снаряд — постоянный магнит

1.1. Понятно, что сила, действующая на снаряд, определяется радиальной компонентой поля и по закону Ампера равна

F=2\pi riB_r=\frac{3\pi\mu_0I_0R^2r^2i}{2}\frac z{(R^2+z^2)^{5/2}}.\qquad (3)

Для построения графика зависимость (3) удобно представить в виде

F=2\pi riB_r=\frac{3\pi\mu_0I_0r^2i}{2R^2}\frac{z/R}{(1+z^2/R^2)^{5/2}}=F_1\frac\xi{(1+\xi^2)^{5/2}},\qquad (4)

где обозначено $F_1=3\pi\mu_0I_0r^2i/(2R^2)$ . График этой функции теперь можно представить в относительных единицах, он показан на рисунке. Так как функция нечетная, то приведен график только для положительных значений $z$ .

Максимум этой функции можно найти обычным способом. Найдем производную от функции (4) и приравняем ее нулю

\left(\frac\xi{(1+\xi^2)^{5/2}}\right)'=\frac{(1+\xi^2)^{5/2}-\xi\frac52(1+\xi^2)^{3/2}\cdot2\xi}{(1+\xi^2)^{5/2}}=\frac{1-4\xi^2}{1+\xi^2}=0.\qquad (5)

Из этого уравнения следует, что функция имеет экстремумы при $\xi^*=\pm1/2$ , ее значение в максимуме равно

\left(\frac F{F_1}\right)_\text{max}=\frac{1/2}{(1+(1/2)^2)^{5/2}}=\frac{16}{25\sqrt5}\approx0{,}29.\qquad (6)

1.2. Для того, чтобы скорость снаряда была максимальна, его надо поместить в точку, где сила магнитного поля максимальна, то есть т.е. при $z_0=R/2$ . В этом случае эта сила пропорциональна току в кольце и равна

F=2\pi riB_r=\frac{48\pi\mu_0r^2i}{50\sqrt5R^2}I_0=A_1I_0.\qquad (7)

Запишем уравнение второго закона Ньютона для снаряда

m\frac{\Delta v}{\Delta t}=A_1I_0=A_1\frac{\Delta q}{\Delta t}.\qquad (8)

Здесь сила тока представлена через величину электрического заряда, протекающего по катушке. С учетом того, что в начальный момент снаряд покоился, из уравнения (8) следует, что скорость снаряда пропорциональна заряду, протекшему по кольцу (причем она не зависит от временной зависимости силы тока):

v_\text{max}=\frac{A_1}{m}q.\qquad (9)

При разрядке батареи по кольцу пробежит весь заряд, накопленный в ней $q=CU_0$ , поэтому

v_\text{max}=\frac{A_1}{m}q=\frac{48\pi\mu_0r^2i}{50\sqrt5R^2m}CU_0.\qquad (10)

1.3. Как следует из полученной формулы, при изменении полярности батареи (изменении направления тока) направление полета снаряда изменяется на противоположное.

Часть2. Снаряд — магнетик

Если снаряд находится на расстоянии $z$ от центра кольца, то его намагниченность равносильна силе поверхностного тока

i=\chi B_z.\qquad (11)

Следовательно, на снаряд действует сила, модуль которой равен

\begin{aligned}F&=2\pi riB_r=\frac{3\pi\mu_0I_0R^2r^2}{2}\frac z{(R^2+z^2)^{5/2}}i\\&=\frac{3\pi\mu_0I_0R^2r^2}{2}\frac z{(R^2+z^2)^{5/2}}\chi\left(\frac{\mu_0I_0}{2}\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\right)\\&=\frac{3\pi\mu_0^2I_0^2R^4r^2}{4}\chi\frac z{(R^2+z^2)^4}\\&=\frac{3\pi\mu_0^2I_0^2r^2}{4R^3}\chi\frac{z/R}{(1+(z/R)^2)^4}=\frac{3\pi\mu_0^2I_0^2r^2}{4R^3}\chi\frac\xi{(1+\xi^2)^4}.\end{aligned}\qquad (12)

Заметим, что эту силу можно представить в виде

F=2\pi rB_ri=2\pi rB_r\chi B_z=2\pi r\chi B_z\left(-\frac r2\frac{dB_z}{dz}\right)=-\pi r^2\chi\frac{d(B_z^2)}{dz}.\qquad (13)

Так как снаряд намагничивается по направлению внешнего поля, то между кольцом и снарядом всегда будет действовать сила притяжения, то есть снаряд будет двигаться к центру кольца.

Найдем расстояние $z_0$ , при котором сила притяжения будет максимальна. Для этого вычислим производную от функции (12) и приравняем ее нулю

\left(\frac\xi{(1+\xi^2)^4}\right)'=\frac{(1+\xi^2)^4-\xi\cdot4(1+\xi^2)^3\cdot2\xi}{(1+\xi^2)^8}=\frac{1-7\xi^2}{(1+\xi^2)^5}=0.\qquad (14)

Таким образом, максимум этой функции достигается при $\xi^*=\pm1/\sqrt7$ и равен

\left(\frac\xi{(1+\xi^2)^4}\right)_\text{max}=\frac{1/\sqrt7}{(1+(1/\sqrt7)^2)^4}=\frac1{\sqrt7}\left(\frac78\right)^4\approx0{,}22.\qquad (15)

Следовательно, максимальная сила, действующая на железный снаряд равна

F=\frac3{4\sqrt7}\left(\frac78\right)^4\frac{\pi\mu_0^2I_0^2r^2}{R^3}\chi=A_2I_0^2.\qquad (16)

В данном случае сила, действующая на снаряд, пропорциональна квадрату силы тока, поэтому воспользоваться ранее полученным результатом (9) нельзя. Запишем уравнение второго закона Ньютона для рассматриваемого снаряда

m\frac{\Delta v}{\Delta t}=A_2I_0^2.\qquad (17)

Из этого уравнения следует, что за малый промежуток времени $\Delta t$ скорость снаряда увеличивается на величину

\Delta v=\frac{A_2}{m}I_0^2\Delta t.\qquad (18)

Теперь заметим, что величина $I_0^2\Delta t$ входит в выражение для количества теплоты, выделяющейся в кольце. Действительно, по закону Джоуля-Ленца это количество теплоты равно

\delta Q=I_0^2Y\Delta t.\qquad (19)

Теперь уравнение (18) можно переписать в виде

\Delta v=\frac{A_2}{mY}\delta Q.\qquad (20)

Таким образом, скорость, которую приобретет снаряд, пропорциональна количеству теплоты, выделившейся в кольце за время прохождения тока, которое в свою очередь, равно энергии запасенной в конденсаторе $Q=CU_0^2/2$ . Поэтому скорость снаряда рассчитывается по формуле

v_\text{max}=\frac{A_2}{mY}Q=\frac3{4\sqrt7}\left(\frac78\right)^4\frac{\pi\mu_0^2r^2\chi}{R^3}\frac{CU_0^2}{2mY}=\frac3{8\sqrt7}\left(\frac78\right)^4\frac{\pi\mu_0^2r^2\chi}{R^3}\frac{CU_0^2}{2mY}.\qquad (21)

На первый взгляд, в данном рассмотрении где-то содержится ошибка — если энергия конденсатора все перейдет в тепловую, то откуда возьмется кинетическая энергия у снаряда? Разрешение сделанного парадокса заключается в сделанной оговорке — «индуктивностью кольца пренебречь». В реальной ситуации при строгом расчете необходимо учитывать обратное влияние силы тока в снаряде на кольцо. Так как этот ток изменяется, то в кольце будет возникать ЭДС индукции, которая будет влиять на силу тока в нем. Именно благодаря этому явлению, ток в кольце совершит большую работу, которая и пойдет на увеличение кинетической энергии снаряда. Мы же считаем, что эта энергия мала по сравнению с начальной энергией конденсатора.

2.3. Не зависимо от направления силы тока в кольце снаряд полетит в сторону центра кольца.

Часть3. Снаряд — катушка индуктивности

3.1. Сначала найдем, какой ток индуцируется в катушке снаряда. Так электрическим сопротивлением катушки можно пренебречь, то в любой момент времени сумма ЭДС самоиндукции и ЭДС индукции, возникающей благодаря изменению внешнего поля равна нулю

-L\frac{\Delta i}{\Delta t}-\pi r^2\frac{\Delta B_z}{\Delta t}=0.\qquad (22)

Из этого уравнения следует, что сила тока в катушке снаряда пропорциональна индукции магнитного поля кольца

L\frac{\Delta i}{\Delta t}=-\pi r^2\frac{\Delta B_z}{\Delta t}\quad\Rightarrow\quad i(t)=-\frac{\pi r^2}{L}B_z(t).\qquad (23)

Знак минус указывает, что ток в катушке направлен противоположно току в кольце (что также следует из правила Ленца). Следовательно, снаряд будет отталкиваться от кольца. В остальном, решение этой части задачи полностью совпадает с решением предыдущей. Достаточно заметить, что в данной части коэффициент пропорциональности $\chi$ равен

\chi=-\frac{\pi r^2}{L},\qquad (24)

и подставить его в окончательный результат. Поэтому модуль максимальной скорости снаряда равен

v_\text{max}=\frac3{8\sqrt7}\left(\frac78\right)^4\frac{\pi\mu_0^2r^2}{R^3}\frac{CU_0^2}{2mY}\frac{\pi r^2}{L}=\frac3{8\sqrt7}\left(\frac78\right)^4\frac{\pi^2\mu_0^2r^4}{R^3}\frac{CU_0^2}{2mYL}.\qquad (25)

3.2. При любом подключении батареи конденсаторов снаряд будет двигаться от центра катушки, убегать от нее!

Reader note: complete obtainable source packet and archive authority

Nine whole assignments belong to grades9,10,11, three in each cohort; repeated printed11.1 belongs to the distinct Railgun assignment and is retained. The52native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. No separate theory response form, numerical grading rubric or further theory companion is listed. Cover artwork remains in the native PDF; all52scientific/illustrative question/key crops are retained. Catalogue74parts is provisional; actual lowest native requests total76. No causal claim about the catalogue count is made.

Reader note: resonance answer gap

The native question9 asks for the maximum-height graph against detuning. The obtainable key has no such graph: its heading9 estimates the height error requested by question10. The available y(t) key graph is retained for question6. No missing height-detuning graph was invented; the resonance solution is explicitly incomplete.

Примечание читателя: 9.1. Простая задача про простые механизмы

В условии буквально напечатано «проигрываешь в работе»; это не исправлено на расстояние. Формула массы лебедки в архивном ключе после $F_0L=mgh$ теряет деление на $g$ . В решении домкрата знак линейного члена в (2) расходится с (1), а переход (3) меняет отношение $x/y$ на $y/x$ . Все дальнейшие исходные формулы, численный результат, словесные единицы и график сохранены как напечатаны; эти замечания не являются исправленным решением.

Примечание читателя: 9.2. Убойная задача про убойные механизмы

В исходном рисунке условия подпись точки — $(x_1,y_1)$ , хотя текст использует $(x_1,z_1)$ ; в рисунке ключа вертикальная ось подписана $y$ . В первом произведении (12) ключа отсутствует деление на $g$ , которое присутствует в последующих членах. Номер (15) повторен, а ссылка (13) в обсуждении отклонения сохранена буквально.

Примечание читателя: 9.3. Большая теплая задача про тепловые большие механизмы

В справочных данных теплоемкость воды $4{,}2\cdot10^3$ , а в первом расчете ключа $4{,}21\cdot10^3$ ; оба значения оставлены. Исходная формула теплопроводности дана для единичного сечения, однако в ответе2.2.3 ключ не умножает ее на площадь данного стержня и печатает $2{,}7\cdot10^3\,\text{Вт}$ . Это исходное расхождение, а не исправленный расчет.

Примечание читателя: 10.1. Лихач (не задирай носа)

В ключе используется $g=9{,}81\,\text{м/с}^2$ . Формула (16) не содержит множителя $l$ в знаменателе, а следующая численная подстановка содержит. В обсуждении старта с пробуксовкой единица ускорения буквально $\text{м/с}$ ; нумерация (13) повторяется. Эти исходные расхождения сохранены.

Примечание читателя: 10.2. Две трубы, два поршня, две части…

Первое обозначение ключа «2.1.2.2» относится к воздушным вопросам1.1/1.2. Отрицательная формула изменения давления и положительное число $5{,}6\,\text{кПа}$ напечатаны вместе; в (8) стоит $p_2+\Delta p$ , в (10) $V/V_1$ . Число $4{,}5\,\text{кг}$ в (13) расходится с формулой и исходными данными. Во второй части сохраняются та же положительная сила $T$ и знаки сил, но текст называет стержень растянутым, тогда как первая часть — сжатым. Нумерация формул и замена заданной массы $m$ на $M$ в ключе оставлены. Эти замечания обозначают источник, без подмены напечатанного решения.

Примечание читателя: 10.3. В чем причина появления поверхностной энергии?

Заголовок ключа говорит о поверхностном натяжении, условие — об энергии. В (7) ключа смешаны $\varepsilon$ и $\delta$ . В таблице клетка $u_5$ буквально имеет показатель $-5$ и дополнительный конечный штрих, сохраненный как тире; эта клетка расходится с формулой коэффициента. В дополнительном выводе буквально $\delta=nr_0$ , суммирование «от нуля», а положительный линейный член квадратичной энергии расходится с указанным положительным положением минимума. В (12) стоит $F_{23}$ , на рисунке $F_{13}$ . В (15) вместо табличного $s_2$ подставлено $2{,}66\cdot10^{-2}$ , равное табличному $c_2$ . Положительные деформации (18)–(19) сопровождаются словом «сжатие»; арифметика (21) дает знак, противоположный напечатанному. Все исходные знаки, значения, слова, добавочные выводы и заключение сохранены без исправления.

Примечание читателя: 11.1. Новые Архимеды

В формуле (4) напечатано $T_0$ , тогда как график непрерывен после завершения погружения нижнего цилиндра и предыдущее значение — $T_1$ . В конусе ключ использует $\theta$ , условие $\alpha$ ; начало отсчета в формуле конуса отдельно не поясняется. Вопрос требует $r(z)$ , ключ печатает $r(x)$ без явного преобразования координат. Все исходные формулы и оба измеренных графика сохранены.

Примечание читателя: 11.2. Резонанс

Последний напечатанный пункт9 ключа является оценкой ошибки, запрошенной в вопросе10. Для вопроса9 отдельный график высоты от расстройки в полностью прочитанных страницах23–24 отсутствует; он не придуман. В вопросе7 напечатаны вместе количество ударов и слово «время»; ключ дает $k$ . Формулы моментов столкновений и график сохраняют исходную приблизительную нумерацию и значения.

Примечание читателя: 11.1 (третий вопрос). «Railgun»

Этот третий самостоятельный вопрос11класса исходно озаглавлен «Задача1», в ключе «11.1», как и предыдущие «Новые Архимеды»; два разных задания сохранены отдельно. В производной (5) ключ меняет степени знаменателя; в (21) второй переход вводит дополнительный множитель2, переносимый в (25). Исходные знаки силы, формулы скоростей, описание притяжения/отталкивания и объяснение энергетической оговорки сохранены буквально, без исправленного вывода.

Оригинал в Архива: 3_etap_2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2012_theoretical_solutions.pdf