Съдържание

Условие Часть 1. Изучение вольтамперной характеристики таблетки.Часть 2. Зависимость сопротивления таблетки от нагрузки.Часть 3. Конструирование весов.Решение

BelPhO 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1 (повтор). Задание 9.1 Электронные весы.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Республиканская физическая олимпиада 2012 года (заключительный этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Прочитаны все 43 исходные страницы: 13 условий и 30 архивного ключа. Шесть целых экспериментов для 9, 10 и 11 классов. Пятьдесят напечатанных нумерованных или буквенных запросов, включая оцениваемый вопрос 0, и целая ненумерованная вторая часть электронного секундомера. Два различных задания 9 класса буквально обозначены 9.1. Сохранены всё оборудование, инструкции, методы, формулы, измерения, таблицы, графики и конечные объяснения. Баллы и подробные рубрики не напечатаны. Ключ не содержит отдельных измерений с обеими гирями для 9.1 (электронные весы), запроса 3.3, и отдельного опыта с неизменной суммой высот для 10-2, запроса 2.4. Пробелы не заполнены догадкой. Печатные научные противоречия, испорченные обозначения единиц и перекрытие графиков сохранены с отдельными примечаниями читателя. Не встроенный шрифт Symbol прочитан по точному MuPDF-рендеру оригиналов; старые рендеры сохранены. Ключ атрибутирован архиву.

Титульный лист условий

А.И. Слободянюк, В.В. Барашков, Н.В. Козловский. Республиканская физическая олимпиада 2012 года (заключительный этап). Экспериментальный тур. Гомель 2012.

Условие

Оказывается, что сопротивление таблетки активированного угля зависит от приложенной к ней механической нагрузки. Поэтому такая таблетка может послужить основным элементом электронных весов. Однако к конструированию таких весов следует подходить с научной, то есть физической точки зрения. Для этого необходимо тщательно изучить ее физические свойства, а затем заняться конструкторской разработкой.

Ускорение свободного падения считайте равным $g=10\text{м}/\text{с}^2$ .

Приборы и оборудование: таблетка, гири из набора 100 и 50 г, линейка деревянная 40 см, доска деревянная со скобой и углублением для таблетки, источник тока ИПП, мультиметр, резистор 100 Ом, реостат 6,0 Ом, соединительные провода, электрические контакты.

Для выполнения работы используется следующая установка. Угольная таблетка помещается между двумя контактами (проводящие пластинки) в специальную выемку в массивной доске, к контактам подключены проволочные выводы, к которым можно подключать измерительные электрические схемы. Для создания давления на таблетку используется деревянная линейка, конец которой удерживается с помощью скобы (для удобства измерений совмещайте нуль шкалы линейки со скобой), на линейку в произвольном месте можно класть гирьку.

Установка электронных весов: линейка, скоба, гирька, доска, таблетка с контактами и выводы.

Часть 1. Изучение вольтамперной характеристики таблетки.

1.1 Измерьте массу линейки. Оцените погрешность вашего измерения. Считайте, что относительная приборная погрешность массы гирь равна 4%.

1.2 Измерьте зависимость силы тока через таблетку, когда к ней приложена сила давления $F$ , от напряжения на ней. Измерения проведите для двух значений силы давления $F=5\text{Н}$ и $F=10\text{Н}$ .

Укажите, какие гирьки вы использовали для создания нужной силы давления и где вы их располагали.

Для электрических измерений рекомендуем использовать следующую схему, на которой: $R_x$ — изучаемый элемент (таблетка), $R_0$ — известное постоянной сопротивление (100 Ом), $R_1$ — реостат. Мультиметр используйте только для измерения напряжения. Учтите, что напряжение источника может изменяться.

Укажите, какие напряжения вы измеряли, приведите расчетные формулы, которые вы использовали.

1.3 Постройте графики полученных зависимостей. Можно ли считать, что для таблетки выполняется закон Ома?

1.4 Рассчитайте электрическое сопротивление таблетки при использованных значениях силы давления. Приборная погрешность сопротивления резистора равна 5%.

Часть 2. Зависимость сопротивления таблетки от нагрузки.

В дальнейших пунктах погрешности оценивать не требуется.

В данной части вам необходимо исследовать зависимость сопротивления таблетки от приложенной силы давления. Измерения следует проводить при большом напряжении на таблетке, поэтому в данной части реостат является излишним рекомендуем проводить измерения с помощью следующей схемы (еще одним достоинством этой схемы является малый потребляемый ток).

R0, Rx и источник без реостата; исходный знак минус рядом сохранён.

Укажите, какие напряжения вы измеряли, приведите расчетные формулы, которые вы использовали.

Для измерения силы давления на таблетку рекомендуем передвигать гирьку по линейке. Для упрощения и ускорения расчетов рекомендуем располагать ее на расстояниях $l$ , кратным расстоянию $a$ от скобы до центра таблетки (т.е. $l=na$ , $n=0,1,2,3\ldots$ ).

Плечи a от скобы до таблетки, l от скобы до гирьки.

Приведите формулу, по которой вы будете рассчитывать силу давления на таблетку.

2.1 Измерьте зависимость сопротивления таблетки положения гирьки $l$ . Измерения проведите для гирьки массой $m=100\text{г}$ в «двух направлениях»: сначала при нагрузке (постепенно увеличивая расстояние $l$ ), а затем при разгрузке (постепенно уменьшая расстояние $l$ ). Постройте графики зависимости сопротивления таблетки от приложенной к ней силы (при нагрузке и при разгрузке). Можно ли считать, что полученные зависимости совпадают (т.е. можно ли пренебречь гистерезисом при деформации таблетки)?

2.2 Проведите измерения зависимости сопротивления таблетки от положения гирьки $l$ для гирьки массой $m=50\text{г}$ (достаточно в одном направлении). На том же бланке (на котором вы построили графики в п. 2.1) постройте график полученной зависимости. Можно ли считать, что полученные данные согласуются друг с другом?

2.3 Используя полученные в п. 2.1 и 2.2 данные (из п.2.1 используйте средние значения сопротивления), постройте график зависимости проводимости таблетки от приложенной силы давления.

Проводимостью называется величина, обратная электрическому сопротивлению $G=\frac1R$ . Единица проводимости называется Сименс ( $\text{См}=\text{Ом}^{-1}$ ), в данной задаче удобно использовать ее тысячную долю милиСименс (мСм). Если сопротивление измерять в килоОмах, то обратная величина будет измерена в мСм.

2.4 С помощью полученного графика предложите простую формулу (она может быть приближенной), описывающую полученную зависимость проводимости от силы давления на таблетку. Определите численные значения параметров этой формулы.

Часть 3. Конструирование весов.

Весы должны быть просты в использовании, доступны любому продавцу на любом базаре. Показания ваших электронных весов (то есть напряжение на каком-либо элементе) должны линейно зависеть от массы положенного на них груза.

3.1 Предложите такую электрическую схему измерений, чтобы измеряемое напряжение линейно зависело от массы груза, положенного на линейку (или подвешенного к ней). Получите формулы для расчета коэффициентов этой линейной зависимости.

3.2 Подберите такие значения параметров вашей установки, что бы формула для расчета зависимости напряжения (в милливольтах) от массы груза (в граммах) имела простейший вид

U=m_0+m,

где $m_0$ — некоторая постоянная величина («масса тары»). Рассчитайте численное значение этой величины.

3.3 Проверьте экспериментально вашу конструкторскую разработку. Укажите значения всех параметров вашей установки, приведите значения измеренных напряжений для обоих имеющихся у вас гирь.

Решение

Часть 1. Изучение вольтамперной характеристики таблетки.

1.1 Для измерения массы линейки можно использовать правило рычага. Для этого на конец линейки следует поместить гирьку массой $m_1=50\text{г}$ и уравновесить линейку на упоре (в качестве которого можно использовать край стола).

Равновесие линейки; исходные подписи плеч l1 и L−l1/2.

Условие равновесия линейки с гирькой имеет вид

m_1l_1=m_0\left(L-\frac{l_1}{2}\right),\qquad (1)

где $l_1$ — расстояния от центра гирьки до упора, $L,m_0$ — длина и масса линейки. Из уравнения (1) следует, что масса линейки рассчитывается по формуле

m_0=m_1\frac{l_1}{L-\frac{l_1}{2}}.\qquad (2)

По результатам измерений: $L=(40{,}8\pm0{,}2)\text{см}$ , $l_1=(4{,}6\pm0{,}3)\text{см}$ , $m_1=(50\pm2)\text{г}$ . По этим данным масса линейки равна

m_1=(14\pm2)\text{г}.\qquad (3)

Погрешность определена по методу границ.

1.2 Рассчитаем на каком расстоянии следует расположить гирьку массы $m$ , чтобы на таблетку со стороны линейки действовала сила давления $F$ . Здесь и далее будем использовать следующие обозначения:

$a$ — расстояние от скобы до центра таблетки;

$l$ — расстояние от скобы до центра гирьки.

По третьему закону Ньютона на линейку со стороны таблетки действует сила $F'$ равная по модулю силе давления на таблетку $F$ . Поэтому условие равновесия линейки имеет вид

Fa=m_0g\frac L2+mgl.\qquad (4)

Откуда следует, что место гирьки можно рассчитать по формуле

l=\frac{Fa-m_0g\frac L2}{mg}.\qquad (5)

Для измерений необходимо использовать гирьку массой $m=100\text{г}$ . Для создания нагрузки $F=5\text{Н}$ гирька должна располагаться на расстоянии $l=15\text{см}$ , а для нагрузки $F=10\text{Н}$ на расстоянии $l=35\text{см}$ .

Для измерения вольтамперной характеристики следует измерить: напряжение $U_0$ на резисторе с известным сопротивлением $R_0=100\text{Ом}$ и напряжение $U_x$ на таблетке. Сила тока рассчитывается по формуле

I=\frac{U_0}{R_0}.\qquad (6)

Измерение U0 на R0 и Ux на Rx с реостатом R1.

Результаты измерений, а также результаты расчетов силы тока приведены в Таблицах 1 и 2 (для различных сил давления).

Таблица 1. $F=5\text{Н}$ .

Величина	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$U_0$ , В	0,00	0,20	0,40	0,60	0,80	1,00	1,20	1,40	1,60
$U_x$ , В	0,00	0,28	0,58	0,83	1,11	1,38	1,64	1,93	2,17
$I$ , мА	0,0	2,0	4,0	6,0	8,0	10,0	12,0	14,0	16,0

Таблица 2. $F=10\text{Н}$ .

Величина	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$U_0$ , В	0,00	0,20	0,41	0,62	0,81	1,00	1,21	1,41	1,60	1,80	1,92
$U_x$ , В	0,00	0,19	0,39	0,59	0,77	0,95	1,13	1,32	1,49	1,64	1,80
$I$ , мА	0,0	2,0	4,1	6,2	8,1	10,0	12,1	14,1	16,0	18,0	19,2

Графики полученных зависимостей показаны ниже.

Графики показывают, что с высокой точностью сила тока пропорциональна напряжению, то есть закон Ома выполняется.

Сопротивления таблетки при разных нагрузках следует определять по наклону графиков

R_x=\frac{\Delta U}{\Delta I}.\qquad (7)

Понятно, что основную погрешность в определении сопротивления вносит приборная погрешность известного сопротивления, поэтому относительная погрешность измеренных сопротивлений также будет равна 5%.

Из построенных графиков находим:

при нагрузке $F=5\text{Н}$ $R_x=(137\pm7)\text{Ом}$ ;

при нагрузке $F=10\text{Н}$ $R_x=(94\pm5)\text{Ом}$ .

Часть 2. Зависимость сопротивления таблетки от нагрузки.

Для расчета силы давления на таблетку можно воспользоваться уравнением (4), из которого следует расчетная формула

F=m_0g\frac{L}{2a}+mg\frac la.\qquad (7)

Если воспользоваться «подсказкой» ( $l=na$ , $n=0,1,2,3\ldots$ ) и подставить численные значения, то получится формула для расчета «в уме»:

для груза массы 100 г: $F=(0{,}9+n)\text{Н}$ ; для груза массы 50 г: $F=(0{,}9+0{,}5n)\text{Н}$ .

Для измерения сопротивления по-прежнему необходимо измерять напряжения на резисторе и на таблетке. Формула для расчета сопротивления таблетки очевидна:

R_x=R_0\frac{U_x}{U_0}.\qquad (8)

Таблица 3. Зависимость сопротивления от нагрузки ( $m=100\text{г}$ ).

$l$ , см	$F$ , Н	$U_r$ , В (нагрузка)	$U_x$ , В (нагрузка)	$R$ , Ом (нагрузка)	$U_r$ , В (разгрузка)	$U_x$ , В (разгрузка)	$R$ , Ом (разгрузка)	$\langle R\rangle$ , Ом (среднее)	$G$ , мСм (среднее)
3,5	1,90	1,59	3,09	194,3	1,63	3,05	187,1	190,7	5,24
7,0	2,90	1,82	2,86	157,1	1,87	2,81	150,3	153,7	6,51
10,5	3,90	2,00	2,68	134,0	2,00	2,68	134,0	134,0	7,46
14,0	4,90	2,08	2,60	125,0	2,11	2,57	121,8	123,4	8,10
17,5	5,90	2,12	2,56	120,8	2,18	2,50	114,7	117,7	8,49
20,0	6,61	2,16	2,52	116,7	2,37	2,31	97,5	107,1	9,34
23,5	7,61	2,31	2,37	102,6	2,50	2,18	87,2	94,9	10,54
27,0	8,61	2,50	2,18	87,2	2,60	2,08	80,0	83,6	11,96
30,5	9,61	2,65	2,03	76,6	2,68	2,00	74,6	75,6	13,22
34,0	10,61	2,70	1,98	73,3	2,74	1,94	70,8	72,1	13,88
37,5	11,61	2,77	1,91	69,0	2,77	1,91	69,0	69,0	14,50
40,0	12,33	2,82	1,86	66,0	2,82	1,86	66,0	66,0	15,16

Таблица 4. Зависимость сопротивления от нагрузки ( $m=50\text{г}$ ).

$l$ , см	$F$ , Н	$U_r$ , В (нагрузка)	$U_x$ , В (нагрузка)	$R$ , Ом (нагрузка)	$U_r$ , В (разгрузка)	$U_x$ , В (разгрузка)	$R$ , Ом (разгрузка)	$\langle R\rangle$ , Ом (среднее)	$G$ , мСм (среднее)
3,5	1,40	1,45	3,23	222,8	1,52	3,16	207,9	215,3	4,64
7,0	1,90	1,54	3,14	203,9	1,61	3,07	190,7	197,3	5,07
10,5	2,40	1,60	3,08	192,5	1,68	3,00	178,6	185,5	5,39
14,0	2,90	1,73	2,95	170,5	1,80	2,88	160,0	165,3	6,05
17,5	3,40	1,81	2,87	158,6	1,91	2,77	145,0	151,8	6,59
20,0	3,76	1,88	2,80	148,9	2,00	2,68	134,0	141,5	7,07
23,5	4,26	1,95	2,73	140,0	2,05	2,63	128,3	134,1	7,45
27,0	4,76	2,00	2,68	134,0	2,09	2,59	123,9	129,0	7,75
30,5	5,26	2,05	2,63	128,3	2,13	2,55	119,7	124,0	8,06
34,0	5,76	2,15	2,53	117,7	2,15	2,53	117,7	117,7	8,50
37,5	6,26	2,17	2,51	115,7	2,17	2,51	115,7	115,7	8,65
40,0	6,61	2,28	2,40	105,3	2,28	2,40	105,3	105,3	9,50

Результаты измерений и последующих расчетов приведены в таблицах 3 и 4. (Отметим, что по условию задачи для груза $m=50\text{г}$ достаточно было провести измерения только при нагрузке).

Ниже показаны графики зависимостей сопротивления от силы давления на таблетку.

График 2. Зависимость сопротивления от силы; нагрузка, разгрузка, среднее, m=100 и 50 г.

Из графиков видно, что незначительный гистерезис деформации наблюдается, однако им можно пренебречь, так как различия не превышают 10%. Более убедительно согласование данных видно на графике 3, где представлена зависимость проводимости таблетки от приложенной к ней силе.

График 3. G=3,2+0,98F, проводимость в мСм.

Полученная зависимость очень близка к линейной

G=cF+b.\qquad (9)

Параметры этой зависимости, найденные по методу наименьших квадратов (напомним, ученикам погрешности рассчитывать не обязательно) равны

c=(0{,}98\pm0{,}04)\frac{\text{мСм}}{\text{Н}};\qquad b=(3{,}2\pm0{,}3)\text{мСм}.\qquad (10)

Часть 3. Конструирование весов.

Согласно полученным данным проводимость таблетки линейно зависит от силы давления, следовательно, при постоянном напряжении сила тока (!) через таблетку линейно зависит от силы давления. Поэтому, необходимо подключить таблетку к источнику постоянного напряжения и измерять силу тока. Для ее измерения можно в цепь последовательно включить малый резистор (сопротивление которого значительно меньше сопротивления таблетки) и измерять напряжение на нем. Роль такого резистора может сыграть реостат, причем, изменяя его сопротивление $r$ можно подобрать необходимые параметры установки. Таким образом, мы приходим к следующей схеме измерений.

Конструирование весов: Rx, малый реостат r, источник U0, вольтметр U.

Расчет напряжения на резисторе (при условии, что $r\ll R_x$ ) не представляет труда и с учетом полученных ранее формул, приводит к результату

\begin{aligned}U&=I\cdot r=U_0Gr=U_0(cF+b)r=U_0\left(c\left(F_0+mg\frac la\right)+b\right)r\\&=U_0r(cF_0+b)+U_0crmg\frac la.\end{aligned}\qquad (11)

Осталось только подобрать необходимые параметры. Для повышения чувствительности весов примем $\frac la=10$ (т.е. $l=35\text{см}$ ). Тогда слагаемое в формуле (11), зависящее от измеряемой массы груза (в граммах) равно

U_0crmg\frac la=4{,}68\cdot0{,}98\cdot10\cdot10\cdot\frac{m}{1000}r\approx m,

если $r\approx2{,}2\text{Ом}$ . При этом значении сопротивление постоянное слагаемое в формуле (11) оказывается равным

m_0=U_0(cF_0+b)r\approx40\text{мВ}.

Настраивать установку можно следующим образом: собираем цепь, не помещая груза, с помощью движка реостата выводим напряжение до 40 мВ, после этого на расстоянии 35 см устанавливаем измеряемый груз.

Происхождение архивного ключа

Архивный PDF содержит совпадающие задачи и их решения. Отдельное подтверждение официального статуса ключа организаторами не напечатано; решения атрибутированы архивному источнику.

Примечание читателя: ссылка на теоретический тур

Условие сохраняет ссылку на вторую задачу теоретического тура, часть 3. В архивной папке есть отдельные теоретические условия и ключ; они не подставлены в данный экспериментальный тур. Все 13 страниц экспериментальных условий и все 30 страниц совпадающего экспериментального ключа прочитаны. Дополнительные экспериментальные формы или схемы в папке не перечислены.

Примечание читателя: 9 класс · Задание 9.1 Скатывание по склону.

• В условии h=15см, в ключе пример h=130мм.

• Ключ ссылается на таблицы2–3, но обе таблицы на странице4 подписаны «Таблица2».

• График5 перекрывает график4 в оригинале; закрытые данные не дорисованы.

• В ключе b=-0,64м·с^-2, хотя график и таблицы используют мм/с²; единица сохранена буквально.

Примечание читателя: 9 класс · Задание 9.1 Электронные весы.

• Второе отличное задание9класса также напечатано9.1, в условии и ключе; не перенумеровано молча.

• В формулах1–2 и рисунке напечатано L−l1/2; значение массы линейки в формуле3 названо m1. Сохранено буквально, исправление на L/2−l1 или m0 не подставлено.

• Номер формулы7 использован дважды.

• В ключе m0≈40мВ, тогда как условие определяет m0 как численную массу тары в граммах; единица оригинала сохранена.

• Ключ объясняет настройку, но не приводит измеренных напряжений для обеих гирь из запроса3.3; значения не выдуманы.

• В таблицах1–2 номера колонок1–9/1–11 добавлены только как технические заголовки цифровых рядов; исходные данные сохранены.

Примечание читателя: 10 класс · Задание 10.1 Удержание, или как быть точнее!

• В формуле10 ключа коэффициент трения записан как arctg(h/sqrt(L²−h²)); не заменён на отношение безarctg.

• Напечатанные приближенные погрешности0,09/0,12 и40% сохранены, арифметическая поправка не внедрена.

• В начале части3 ключа phi=arcsin(h/L)≈0,305; h относится к ранее приведенному порогу15см, но это не уточнено в оригинальной строке.

• Нумерация формул перескакивает11→22; обе разные диаграммы подписаны график1, а текст упоминает рисунок2 перед графиком3. Все исходные подписи сохранены.

Примечание читателя: 10 класс · Задание 10-2 Закон Ома для … жидкости.

• Условие и ключ меняют абсолютное давление P и водяной напор p; исходные обозначения и множители rho*g сохранены, нормировка единиц не исправлена молча.

• В вертикальном ключе при R2=16R1 напечатано14/17, хотя предшествующая дробь (R2−R1)/(R2+R1) даёт15/17; сохранены текст и исходный график.

• Нумерация ключа5→16 и20→22; номер17 повторён.

• Таблица3 исследованияh2 имеет заголовокh1; сохранён буквально.

• Формула27 заканчивается знаменателемR2, тогда как предыдущие переходы и формула24 содержат2R2; коэффициент2 не добавлен молча.

• Таблица2 приh1=450,h2=315даётQ0,438, а опыт2.1 при техже высотахQ0,383; оба исходных значения сохранены.

• В ключе отсутствует отдельный опыт2.4 с неизменной суммой высот; итоговый эмпирический график и вся доступная формула сохранены, данные/ответ не выдуманы.

Примечание читателя: 11 класс · Задача 11-1 Что больше и кто быстрее?

• Часть2условия — единый ненумерованный запрос электронного секундомера; сохранена целиком, не раздроблена.

• В исходных формулах метки Ом/с/Д местами уже испорчены как Îì/ñ/Ä. MuPDF и старый Poppler показывают теже испорченныебуквы; это дефект оригинала, а не потеряSymbol. Литералы и точные исходныеформулы сохранены. Остальные корректные заголовки таблиц Ом/Д не изменены.

• Фраза «десятки тысяч» сохранена буквально, хотя крайние табличные прямые сопротивления20 и100000дают другой коэффициент.

• Число0,1170в конечной формуле сохранено буквально, расчёт не исправлен молча.

• Временно введенные технические заголовки колонок не являются дополнительными экспериментальными измерениями.

Примечание читателя: 11 класс · Задание 11-2. Градуировка фотометра и изучение отражения света.

• Оцениваемый вопрос0 сохранён отдельным родным подпунктом; портрет необходимый исходный рисунок.

• Название части2 повторяет «расходящийся пучок», хотя текст использует нейтральные фильтры; сохранено.

• В части4 условия буквально повторены вопросы от стеклянной пластинки, хотя заголовок/вводный абзац говорят два зеркала; сохранено.

• Ключ называет gamma поглощением, использует I=I0gamma^n, затем минус nln(gamma), и получает tau0.42 после gamma0.58. Напечатанные определения, знак, формулы, данные и итог сохранены без подмены.

• Ключ part4 ссылается на Table4, но напечатана Table5; при30° текст70–80%, а таблица0.89/0.41; обе версии сохранены.

Оригинал в Архива: 2012_experimental_problems.pdf · решение от архива: 2012_experimental_solutions.pdf