Съдържание

Условие Часть 1. Один предохранитель.Часть 2. Два предохранителя.Решение

BelPhO 2012, Заключителен етап — Задача 9-2. Предохранитель

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts,63top-level and64terminal native requests. Complete available archive keys, figures, native English excerpts, photographs, article credit, response grids/maps and all63actual crops covering64native graphic scopes retained. Literal source numerical/sign/label discrepancies and distorted native equation blocks preserved with separately attributed notes. Crystal-energy answer for question3.3 absent; last key3.3 answersquestion3.4 and solution remains explicitly incomplete without invention.

Условие

Плавкий предохранитель представляет собой резистор некоторой длины $l$ и радиуса $a=0{,}10\,\text{мм}$ , изготовленный из материала с плотностью¹ $\gamma=8{,}9\cdot10^3\,\text{кг}/\text{м}^3$ , удельной теплоемкостью $c=0{,}38\,\text{кДж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\text{С})$ , с удельным сопротивлением $\rho=1{,}5\cdot10^{-8}\,\text{Ом}\cdot\text{м}$ и температурой плавления $t_{\text{пл}}=2{,}3\cdot10^2\,{}^\circ\text{С}$ .

Примем, что теплообмен предохранителя с окружающей средой происходит в основном через его боковую поверхность, а количество теплоты $\Delta Q$ , отдаваемое за промежуток времени $\Delta\tau$ , пропорционально площади $S$ теплообмена и разности температур $\Delta t=t-t_0$ предохранителя $t$ и окружающей среды $t_0$ ( $t_0=0{,}0\,{}^\circ\text{С}$ ):

\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}=\alpha S(t-t_0),

где $\alpha=8{,}5\cdot10^2\,\text{Вт}/(\text{м}^2\cdot{}^\circ\text{С})$ — постоянный коэффициент теплоотдачи. Изменением сопротивления предохранителя при увеличении температуры пренебречь.

¹ Традиционные обозначения физических величин «перекрываются», поэтому мы вынуждены использовать свои «не традиционные»: $\rho$ — удельное электрическое сопротивление, $\gamma$ — плотность; $t$ — температура, $\tau$ — время, $R$ — сопротивление, $a$ — радиус.

Часть 1. Один предохранитель.

При включении предохранителя в цепь его температура начинает увеличиваться со временем по некоторой зависимости, достигая предельного значения $t_{\max}$ . Поскольку описать зависимость $t(\tau)$ достаточно сложно, то примем упрощенную модель данной функции — будем считать, что температура $t$ растет с постоянной скоростью, равной скорости роста в начальный момент времени (отрезок $AB$ на рисунке), достигает максимального значения $t=t_{\max}$ и температура предохранителя остается постоянной (участок $BC$ на рисунке). Промежуток времени $\tau_1$ назовем временем разогрева предохранителя до максимальной температуры $t_{\max}$ .

Кривая нагревания, начальная касательная AB и участок BC

1.1 До какой предельной температуры $t_{\max}$ нагреется предохранитель при прохождении по нему электрического тока силой $I_1=10\,\text{А}$ ? Найдите время разогрева $\tau_1$ предохранителя, за которое он нагреется до температуры $t_1$ .

1.2 При какой силе тока $I_{\max1}$ предохранитель перегорит? При какой силе тока $I_{\max2}$ перегорит предохранитель, если его радиус увеличить в два раза?

Часть 2. Два предохранителя.

2.1 Два предохранителя одинаковой длины и радиусами $a_1=a$ и $a_2=2a$ включены в цепь последовательно.

Два последовательно соединенных предохранителя

Силу тока в цепи медленно (по сравнению со временем разогрева) увеличивают. При какой силе тока в цепи $I_{\max3}$ перегорит такой составной предохранитель? Определите, какой из резисторов перегорит первым при условии, что в цепи мгновенно устанавливается ток силой $5I_{\max3}$ .

2.2 Два предохранителя одинаковой длины радиусами $a_1=a$ и $a_2=2a$ включены в цепь параллельно. Силу тока в цепи медленно (по сравнению со временем разогрева) увеличивают. При какой силе тока $I_{\max4}$ перегорит такой составной предохранитель? Определите, какой из предохранителей перегорит первым при условии, что в цепи мгновенно устанавливается ток, сила которого равна $5I_{\max4}$ .

Два параллельно соединенных предохранителя

2.3 В ходе ремонта составного предохранителя, описанного в п.2.2, длину проволоки первого (более тонкого) предохранителя укоротили на 10%. Определите, какой из предохранителей перегорит первым, при условии, что в цепи мгновенно устанавливается ток силой $I_0=100\,\text{А}$ .

Решение

Часть 1. Один предохранитель.

1.1 После замыкания цепи на предохранителе (резисторе) согласно закону Джоуля–Ленца начнет выделяться теплота, которая будет постепенно разогревать предохранитель до предельной температуры. График зависимости температуры предохранителя от времени $t(\tau)$ приведен в условии.

Кривая температуры и начальная касательная в архивном ключе

В переходном режиме температура предохранителя увеличивается. При этом часть теплоты идет на нагревание предохранителя ( $Q_1=cm\Delta t$ ), а часть ( $Q_2$ ) «уходит» через боковую поверхность предохранителя в окружающую среду.

В стационарном режиме температура предохранителя установится, достигнув предельного значения $t_{\max}$ , и далее перестанет нарастать, т.е. можно также назвать равновесной температурой. Действительно, по мере роста температуры резистора будет увеличиваться поток теплоты в окружающее пространство через его боковую поверхность, тогда как мощность тепловыделения будет оставаться постоянной. В этом режиме часть теплоты, идущая на нагревание предохранителя, равна нулю ( $Q_1=0$ ).

Таким образом, в стационарном (установившемся) режиме количество теплоты, выделяемой в резисторе за промежуток времени, должно быть равно количеству теплоты $Q_2$ , отдаваемому за этот же промежуток времени в окружающую среду (равенство мощностей)

I^2R=\alpha S\Delta t=\alpha St,\qquad (1)

где $R=\rho l/(\pi a^2)$ — сопротивление резистора, $S=2\pi al$ — площадь его боковой поверхности, $\alpha$ — коэффициент теплоотдачи.

Используя (1), найдем искомую температуру $t_{\max}$

t_{\max}=\frac{\rho I^2}{2\alpha\pi^2a^3}.\qquad (2)

Отметим, что максимальная температура, до которой может разогреться предохранитель, обратно пропорциональна кубу его радиуса и пропорциональная квадрату силы тока. Расчет для рассматриваемого предохранителя дает следующее значение

t_{\max}=\left(\frac{1{,}5\cdot10^{-8}\cdot10^2}{2\cdot8{,}5\cdot10^2\cdot3{,}14^2\cdot(1{,}0\cdot10^{-4})^3}\right){}^\circ\text{С}=89\,{}^\circ\text{С}.\qquad (3)

Для оценки времени $\tau_1$ разогрева предохранителя до предельной температуры запишем уравнение теплового баланса в некоторый момент времени $\tau$ , когда его температура равна $t$

c\gamma\pi a^2l\frac{\Delta t}{\Delta\tau}=I^2\rho\frac l{\pi a^2}-\alpha2\pi lat=I^2\rho\frac l{\pi a^2}-\alpha2\pi lat,\qquad (4)

где $\Delta t$ — приращение температуры предохранителя за малый промежуток времени $\Delta\tau$ . Заметим, что на графике зависимости $t(\tau)$ величина $\Delta t/\Delta\tau$ соответствует скорости нарастания температуры со временем в рассматриваемой точке.

Скорость нарастания температуры в начальный момент времени ( $t=0$ ) равна

\left(\frac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_0=I^2\frac\rho{\pi^2c\gamma a^4},\qquad (5)

тогда точка пересечения прямой $AB$ с горизонтальной прямой $t=t_{\max}$ будет соответствовать искомому значению $\tau_1$ (см. рис. в условии). Таким образом,

\tau_1=\frac{t_{\max}}{(\Delta t/\Delta\tau)_0}=\frac{c\gamma a}{2\alpha}.\qquad (6)

Запомним, время разогрева пропорционально радиусу предохранителя. Подстановка численных значений для рассматриваемого предохранителя дает $\tau_1=0{,}40\,\text{с}$ .

1.2 Плавление предохранителя происходит в том случае, если максимальная температура, которой может достичь предохранитель, превысит его температуру плавления $t_{\text{пл}}=2{,}3\cdot10^2\,{}^\circ\text{С}$ .

Таким образом

t_{\max}=t_{\text{пл}}=\frac{\rho I_{\max1}^2}{2\alpha\pi^2a^3}\quad\Rightarrow\quad I_{\max1}=\sqrt{\frac{2\alpha\pi^2a^3t_{\text{пл}}}\rho}.\qquad (7)

Расчет

I_{\max1}=\sqrt{\frac{2\cdot8{,}5\cdot10^2\cdot3{,}14^2\cdot(1{,}0\cdot10^{-4})^3\cdot230}{1{,}5\cdot10^{-8}}}\,\text{А}=16\,\text{А}.\qquad (8)

Как следует из (7), максимальная сила тока $I_{\max}$ возрастает пропорционально радиусу в степени $3/2$ , $I\propto a^{3/2}$ — при заданной силе тока у предохранителя меньшего радиуса и сопротивление больше, и теплоотдача меньше!

Следовательно, при увеличении радиуса предохранителя в два раза сила тока, при которой он перегорит, возрастет в $\sqrt8=2{,}83$ раза и станет равным $I_{\max2}=45\,\text{А}$ .

Часть 2. Два предохранителя.

2.1 При последовательном включении предохранителей сила тока в них одинакова. При медленном увеличении силы тока температура каждого из предохранителей в любой момент будет равна равновесной температуре. Так как у меньшего проводника эта температура выше, то он и перегорит первым.

Последовательное соединение в архивном ключе

Если же сила тока в цепи устанавливается очень быстро, то для того, чтобы определить какой предохранитель перегорит быстрее необходимо проанализировать зависимости температур обоих предохранителей от времени. Время разогрева у меньшего предохранителя меньше, поэтому зависимости температур от времени имеют вид, показанный на рисунке: 1 — предохранитель меньшего радиуса, 2 — предохранитель большего радиуса. Из рисунка видно, в любом случае температура первого предохранителя в любой момент больше, поэтому он всегда перегорит первым. После того, как он перегорит, цепь разорвется.

Температуры двух последовательных предохранителей

Таким образом, в этом случае составной резистор перегорит при силе тока в цепи

I_{\max3}=I_{\max1}=16\,\text{А}.\qquad (9)

2.2 При параллельном соединении напряжения на предохранителях равны. Поэтому в данном случае удобно выразить предельную (равновесную) температуру через напряжение на предохранителе. Из условия теплового равновесия, которое в данном случае имеет вид

\frac{U^2}R=\alpha2\pi al\,t,\qquad (10)

следует, что эта температура равна

t_{\max}=\frac{U^2}{R\cdot2\alpha\pi al}=\frac{U^2}{\frac{\rho l}{\pi a^2}\cdot2\alpha\pi al}=\frac{U^2a}{2\pi\alpha l^2\rho},\qquad (11)

и пропорциональна радиусу предохранителя.

Следовательно, при медленном увеличении силы тока в цепи первым перегорит более толстый предохранитель. Это произойдет при токе через него силой $I_{\max2}=45\,\text{А}$ . Сила тока в общей цепи в этом случае должна быть равной $I_{\max4}=(1+1/4)I_{\max2}=56\,\text{А}$ . После перегорания второго предохранителя весь ток пойдет через первый, и его достаточно, чтобы сжечь и этот предохранитель!

Параллельная цепь с отмеченным перегоранием второго предохранителя

Если в цепи мгновенно устанавливается некоторое значение силы тока, то необходимо анализировать зависимости температур резисторов от времени.

Из уравнения теплового баланса (4) следует, что время разогрева не зависит ни от силы тока, ни от напряжения на предохранителе и определяется формулой (6)., которая утверждает, что время разогрева пропорциональна радиусу предохранителя.

Таким образом, в данных условиях реализуется неожиданная ситуация: и максимальная температура и время разогрева одинаково зависят от радиуса предохранителя. Поэтому графики зависимостей температуры от времени будут совпадать до достижения одним из них предельной температуры.

Совпадающие начальные прямые в приближенной модели параллельного соединения

При токе в цепи равном $I_0=5I_{\max4}=280\,\text{А}$ , сила тока через первый предохранитель будет равна $I=I_0/5=56\,\text{А}$ . При такой силе тока, этот предохранитель также расплавится, поэтому в рамках данной модели оба предохранителя должны расплавиться одновременно! Однако, в рамках более точной модели, которая показана на графике в условии задачи, следует, что в этом случае температура более толстого предохранителя все время будет немного выше, поэтому первым перегорит именно он!

Температурный график параллельных предохранителей в архивном ключе

2.3 Если укоротить длину первого предохранителя то его максимальная (равновесная) температура в соответствии с формулой (11) повысится, а время разогрева не изменится, поэтому схематические графики зависимостей температур от времени приобретут вид, показанный на рисунке. Максимальная температура первого предохранителя также превысит температуру плавления. Поэтому в соответствии с графиком, в этом случае первым расплавится предохранитель меньшего радиуса.

Заметим, что и при точном расчете данный вывод подтверждается, что иллюстрируют графики точной зависимости предохранителей от времени.

Точные температурные кривые после укорачивания тонкого предохранителя

Reader note: complete obtainable source and archive authority

Nine whole tasks belong to grades9,10,11, three in each cohort. The native63top-level requests include connected1.4withtwolettered children:64terminal requests inall. The55native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. All printed response graphs/maps are included in the question PDF; no further theory response, equipment, grading or companion file is listed. Native source ordering, printed whole task and section boundaries are preserved.

Reader note: native source caveat for 9.1. «Отражение»

Electrical question graph peak is0.5A onQ2 and archiveK4, but its blank answer form onQ3 prints0.6A. Preserve both native graph/form values.

Reader note: native source caveat for 9-3. Праща.

Native title Праща differs from catalogue Праца. K10 eq9 is severely horizontally compressed with vertically stretched glyphs in both MuPDF and Poppler; surrounding Symbol alpha/omega recover in MuPDF. Preserve native eq9 crop, do not invent its missing glyphs. Key cross-references and numerical mu0.40 versus preceding0.42 remain literal.

Reader note: native source caveat for 10.1. ЦУП

Preserve native period parenthesis, printed omega subscript2 ineq6 (personally reopened and resolved), π factor ineq15 versus540-degree result, native figure captions and both repeated blank response maps.

Reader note: native source caveat for 10.2. Электронный газ и неоднородный проводник

Preserve K17 drift substitution denominator1, K18 first numeric equality with ambiguous printed I/l shape (retained as an exact native crop), E2 numeric expression and label3.4 versus question3.3, beta=30 resistivity definition without correction.

Reader note: native source caveat for 10.3. Опыты Жана Перрена.

All Perrin book images, original English excerpts, photograph and apparatus remain source crops. Question viscosity1.005e-6 Pa·s, repeated rho0, q1.4 reference1.2, key terminal-speed factor9 and literal numerical substitutions/duplicate1.3 are retained. Full exact exponential time alternative retained.

Reader note: native source caveat for 11.1. Притяжение

Preserve all center-of-mass and differential-equation alternatives, stretched nativeeq3, native scaled equations and Coulomb c coefficient; do not silently correct factors.

Reader note: native source caveat for 11.2. Система автоматического наведения

Preserve native lens diagrams and detector graphic, mistaken mirror wording,eq15 tag and references16/17, and full control algorithm.

Reader note: native source caveat for 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Question1.4 remains one connected request with native a/b children; question top-level requests13, terminal leafrequests14. Native μ parameter wording versus epsilon0, incomplete1.8 sentence, isotope/footnotes and original article graphs/captions remain literal. Key32 eq26 badly compressed: retain original crop. Key1.7 prints3.6e-6 despite epsilon0=7.2e-7 and preceding minus sign; last native3.3 gives lifetime requested byq3.4 and does not explicitly answer crystal epsilon0 inq3.3, so mark available solution incomplete at that boundary.

Reader note: incomplete crystal-energy answer

The archive key does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. Its last heading3.3 gives the lifetime requested by question3.4 instead. Every available answer is retained under its literal printed heading; the solution is explicitly incomplete at the absent crystal-energy answer, without invented text.

Reader note: native overlapping cable and current graph

The original PDF places the cable bitmap at y291.3–432.6pt and the current graph at y417.8–602.7pt, so their boundaries overlap. The later graph white background intrinsically covers the lower a/I(x) glyphs even on the native full page. One complete original-column crop faithfully retains both scientific graphics and this original overlap; no missing label is reconstructed. The native drift illustration K16 includes an isolated dash and extra Delta t outside the cylinder; these intrinsic source artifacts remain literal. Both full originals remain available.

Оригинал в Архива: 2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2012_theoretical_solutions.pdf