Съдържание

Условие Часть 1. Во всем виновато сопротивление воздуха!Часть 2. Во всем виновата сила трения.Решение

BelPhO 2012, Заключителен етап — Задача 9-3. Праща.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts,63top-level and64terminal native requests. Complete available archive keys, figures, native English excerpts, photographs, article credit, response grids/maps and all63actual crops covering64native graphic scopes retained. Literal source numerical/sign/label discrepancies and distorted native equation blocks preserved with separately attributed notes. Crystal-energy answer for question3.3 absent; last key3.3 answersquestion3.4 and solution remains explicitly incomplete without invention.

Условие

С помощью пращи Давид победил Голиафа! А вам надо рассмотреть динамику этого примитивного, но эффективного устройства.

Для описания движения камня в праще рассмотрим упрощенную схему. На горизонтальной поверхности расположен твердый сплошной диск радиуса $R=1{,}0\,\text{м}$ , который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\omega$ . К боковой поверхности диска в некоторой точке $A$ прикреплена легкая нерастяжимая нить, длина которой равна радиусу диска. К концу веревки привязана небольшая шайба массы $m$ , которая скользит по столу.

Диск моделирует вращающуюся руку, а шайба камень в праще.

Объемная схема пращи и вид сверху с углом γ

Во всех пунктах данной задачи рассматривайте только установившийся режим: после некоторого этапа разгона движение шайбы будет происходить с постоянной по модулю скоростью.

Ускорение свободного падения считайте равным $g=10\,\text{м}/\text{с}^2$ .

Во всех пунктах задачи желательно получить ответ в виде формулы и только после этого подставлять численные значения параметров. Однако, в тех случаях, когда вам необходимо использовать различные тригонометрические формулы (которые Вы не знаете), рекомендуем по возможности сразу находить численные значения различных углов и затем подставлять их последующие выражения.

Часть 1. Во всем виновато сопротивление воздуха!

В этой части задачи будем считать, что в процессе движения на шайбу действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости шайбы

\vec F=-\beta\vec V,\qquad (1)

а силой трения шайбы о поверхность стола модно пренебречь. Силой сопротивления воздуха действующей на нить также можно пренебречь.

Для определения коэффициента пропорциональности $\beta$ в формуле (1) шайбу сбросили с большой высоты. Оказалось, что после некоторого разгона шайба стала падать с постоянной скоростью $v_0=50\,\text{м}/\text{с}$ .

1.1 В описанной установке диск вращается, с частотой $n=1{,}0\,\text{об.}/\text{с}$ . Определите угол отклонения нити от радиального направления $\gamma$ и модуль скорости установившегося движения шайбы.

1.2 До какой максимальной скорости можно разогнать шайбу в данных условиях, если нить выдерживает максимальную нагрузку $T_{\max}=Kmg$ , где $m$ — масса шайбы, $K=10$ .

Часть 2. Во всем виновата сила трения.

В этой части задачи будем считать, что на шайбу действует постоянная по модулю сила трения о стол, а силой сопротивления воздуха можно пренебречь.

2.1 Для определения коэффициента трения шайбы о поверхность шайбе сообщили горизонтально направленную скорость $v_1=1{,}0\,\text{м}/\text{с}$ . При этом до полной остановки она прошла путь $S=12\,\text{см}$ . Рассчитайте по этим данным численное значение коэффициента трения $\mu$ . В дальнейших расчетах используйте найденное численное значение этого коэффициента.

2.2 Диск вращается с постоянной частотой $n$ . Определите модуль скорости установившегося движения шайбы при $n=0{,}30\,\text{об.}/\text{с}$ .

2.3 Определите модуль скорости установившегося движения шайбы при $n=0{,}25\,\text{об.}/\text{с}$ .

2.4 Определите модуль скорости установившегося движения шайбы при $n=0{,}20\,\text{об.}/\text{с}$ .

Решение

Часть 1. Во всем виновато сопротивление воздуха!

1.1 Так как на шайбу действует сила сопротивления воздуха, то веревка должна отклониться от радиального направления на некоторый угол $\gamma$ . В этом случае шайба будет двигаться по окружности некоторого радиуса $r$ (отрезок $OB$ ), а ее вектор скорости направлен перпендикулярно этому отрезку. Обозначим угол между нитью и отрезком $OB$ $\alpha$ . Так как длина нити равна радиусу диска, треугольник $OAB$ является равнобедренным. Поэтому

\gamma=2\alpha,\qquad (1)

r=2R\cos\alpha.\qquad (2)

Воздушное сопротивление, скорость и составляющие натяжения

Силу натяжения нити удобно разложить на две составляющих: радиальную $\vec T_n$ (сообщающую шайбе центростремительное ускорение) и касательную к траектории $\vec T_\tau$ (которая компенсирует силу сопротивления воздуха).

На основании второго закона Ньютона запишем уравнения движения для этих двух составляющих

\begin{cases}T\cos\alpha=m\omega^2r,\\T\sin\alpha=\beta\omega r.\end{cases}\qquad (3)

Неизвестный параметр $\beta$ можно определить из известной скорости установившегося падения шайбы (в этом режиме сила тяжести уравновешивается силой сопротивления воздуха):

\beta v_0=mg\quad\Rightarrow\quad\beta=\frac{mg}{v_0}.\qquad (4)

Разделив второе уравнение системы (2) на первое получим формулу для тангенса угла

\tan\alpha=\frac\beta{m\omega}=\frac g{\omega v_0}.\qquad (5)

Подстановка численных значений (с учетом $\omega=2\pi n$ ) приводит к результату

\tan\alpha=\frac g{\omega v_0}=\frac{10}{2\pi\cdot1\cdot50}\approx0{,}032\quad\Rightarrow\quad\alpha=1{,}8^\circ.\qquad (6)

Следовательно, искомый угол отклонения нити равен

\gamma=2\alpha=3{,}6^\circ.\qquad (7)

Скорость движения шайбы равна

v=r\omega=4\pi Rn\cos\alpha=13\,\text{м}/\text{с}.\qquad (8)

Заметим, что при таком угле отклонения $r=2R\cos\alpha\approx2{,}0\,\text{м}$ , что в пределах точности исходных данных совпадает с удвоенным радиусом диска. То есть при таком угле для расчета скорости шайбы можно пренебречь отклонением нити от радиального направления.

1.2 Максимальная скорость шайбы будет достигнута, когда сила натяжения нити достигнет максимального значения. В этом случае в систему уравнений (4) подставим максимальное значение силы натяжения и формулу (2) для радиуса траектории:

Исходный искаженный набор системы уравнений (9), сохраненный из оригинального PDF

По-прежнему, справедливо (5), кроме того, из второго уравнения этой системы следует, что

\tan\alpha=\frac{2R\omega}{Kv_0}.\qquad (10)

Приравнивая эти два выражения для тангенса угла $\alpha$ , получим формулу для максимальной угловой скорости вращения диска

\frac{2R\omega}{Kv_0}=\frac g{v_0\omega}\quad\Rightarrow\quad\omega_{\max}=\sqrt{\frac{Kg}{2R}}=7{,}1\,\text{с}^{-1}.\qquad (11)

При этой угловой скорости угол отклонения нити будет еще меньшим, поэтому можно считать, что радиус траектории шайбы равен $r=2R$ . Следовательно, максимально возможная скорость шайбы равна

v_{\max}=2R\omega_{\max}=\sqrt{2KRg}=14\,\text{м}/\text{с}.\qquad (12)

Часть 2. Во всем виновата сила трения.

2.1 Коэффициент трения можно найти из уравнения закона сохранения энергии (начальная кинетическая энергия шайбы равна работе силы трения):

\frac{mv_1^2}2=\mu mgS.\qquad (13)

Из которого следует

\mu=\frac{v_1^2}{2gS}=\frac1{2\cdot10\cdot0{,}12}=0{,}42.\qquad (14)

Этот же результат следует и из кинематических соотношений для равнозамедленного движения шайбы.

2.2 Главное отличие решения данной части задачи от предыдущей — в другом выражении для силы сопротивления, сейчас это постоянная по модулю сила трения. В остальном, решение принципиально не отличается от предыдущего.

Рисунок действующих на шайбу сил отличается от рассмотренного ранее только обозначением силы сопротивления. Уравнения второго закона Ньютона для шайбы в прежних проекциях будут иметь вид

\begin{cases}T\cos\alpha=m\omega^2r,\\T\sin\alpha=\mu mg.\end{cases}\qquad (15)

Здесь $F_{\text{тр.}}=\mu mg$ — сила трения, действующая на шайбу. Подставляя выражение (2) для радиуса траектории в первое уравнение этой системы, получим формулу для силы натяжения нити

T\cos\alpha=2m\omega^2R\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad T=2m\omega^2R.\qquad (16)

Теперь из второго уравнения системы (15) найдем значение угла $\alpha$

2m\omega^2R\sin\alpha=\mu mg\quad\Rightarrow\quad\sin\alpha=\frac{\mu g}{2\omega^2R}=\frac{\mu g}{8\pi^2n^2R}.\qquad (17)

Подстановка численных значений приводит к следующему значению угла $\alpha$ .

\sin\alpha=\frac{\mu g}{8\pi^2n^2R}=\frac{0{,}42\cdot10}{8\pi^2\cdot0{,}30^2\cdot1{,}0}=0{,}59\quad\Rightarrow\quad\alpha=36^\circ.\qquad (18)

Следовательно, скорость шайбы будет равна

v=2\pi n\cdot2R\cos\alpha=4\pi nR\cos\alpha=3{,}0\,\text{м}/\text{с}.\qquad (19)

Можно, конечно, подставить в формулу выражения для косинуса (выразив его через синус):

v=4\pi nR\cos\alpha=4\pi nR\sqrt{1-\sin^2\alpha}=4\pi nR\sqrt{1-\left(\frac{\mu g}{8\pi^2n^2R}\right)^2}.

2.3 Расчет угла $\alpha$ при $n=0{,}25\,\text{об.}/\text{с}$ приводит к результату

\sin\alpha=\frac{\mu g}{8\pi^2n^2R}=\frac{0{,}42\cdot10}{8\pi^2\cdot0{,}25^2\cdot1{,}0}=0{,}85\quad\Rightarrow\quad\alpha=58^\circ.\qquad (20)

Этот угол превышает $45^\circ$ , а угол отклонения нити $\gamma=2\alpha$ становится больше $90^\circ$ ! Чего быть не может — следовательно, нить будет частично намотана на диск.

Положение нити при угле, превышающем 90 градусов

Это приведет к иному решению. Рисунок действующих сил и расстояний в этом случае имеет иной вид. Система уравнений (15) остается неизменной, но формула для радиуса траектории (2) в данном случае неприменима.

Частичное наматывание нити: прямоугольный треугольник и силы

Из системы уравнений (15) выразим тангенс угла $\alpha$

\tan\alpha=\frac{\mu g}{\omega^2r},\qquad (21)

и приравняем его к выражению, следующему из прямоугольного (в данном случае) треугольника $OAB$

\tan\alpha=\frac R{\sqrt{r^2-R^2}}.\qquad (22)

Из полученного уравнения можно определить радиус траектории

\frac R{\sqrt{r^2-R^2}}=\frac{\mu g}{\omega^2r}\quad\Rightarrow\quad r^2=\left(\frac{\mu g}{\omega^2R}\right)^2(r^2-R^2)\quad\Rightarrow\quad r=R\sqrt{\frac{\left(\frac{\mu g}{\omega^2R}\right)^2}{\left(\frac{\mu g}{\omega^2R}\right)^2-1}}.\qquad (23)

Отметим, что формулы для радиусов траектории (23) и (2) стыкуются при $\alpha=45^\circ$ . В этом случае $\sin\alpha=\mu g/(2\omega^2R)=\sqrt2/2\quad\Rightarrow\quad\mu g/(\omega^2R)=\sqrt2$ и тогда из формулы (23) следует, что $r=R\sqrt2$ .

При заданном значении частоты вращения $n=0{,}25\,\text{об.}/\text{с}$ радиус траектории равен

\frac{\mu g}{\omega^2R}=\frac{0{,}40\cdot10}{(2\pi\cdot0{,}25)^2\cdot1{,}0}=1{,}62\quad\Rightarrow\quad r=R\sqrt{\frac{\left(\frac{\mu g}{\omega^2R}\right)^2}{\left(\frac{\mu g}{\omega^2R}\right)^2-1}}=1{,}0\sqrt{\frac{1{,}62^2}{1{,}62^2-1}}=1{,}27\,\text{м}.

Соответственно, скорость шайбы равна

v=2\pi nr=2{,}0\,\text{м}/\text{с}.\qquad (24)

2.4 Если не заметить «подвоха» в пункте 2.3 и упрямо подставлять значения частоты вращения в формулу (17), то при заданном значении угловой скорости получим абсурдный результат:

\sin\alpha=\frac{\mu g}{8\pi^2n^2R}=\frac{0{,}40\cdot10}{8\pi^2\cdot0{,}20^2\cdot1{,}0}=1{,}25\quad\Rightarrow\quad\alpha=???\qquad (25)

Фактически этот пункт задачи является «подсказкой» и к предыдущему пункту. Поэтому расчет следует вести по формулам (23)–(24):

\frac{\mu g}{\omega^2R}=\frac{0{,}40\cdot10}{(2\pi\cdot0{,}20)^2\cdot1{,}0}=2{,}53\quad\Rightarrow\quad r=R\sqrt{\frac{\left(\frac{\mu g}{\omega^2R}\right)^2}{\left(\frac{\mu g}{\omega^2R}\right)^2-1}}=1{,}0\sqrt{\frac{2{,}53^2}{2{,}53^2-1}}=1{,}09\,\text{м},

v=2\pi nr=1{,}4\,\text{м}/\text{с}.\qquad (26)

Reader note: complete obtainable source and archive authority

Nine whole tasks belong to grades9,10,11, three in each cohort. The native63top-level requests include connected1.4withtwolettered children:64terminal requests inall. The55native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. All printed response graphs/maps are included in the question PDF; no further theory response, equipment, grading or companion file is listed. Native source ordering, printed whole task and section boundaries are preserved.

Reader note: native source caveat for 9.1. «Отражение»

Electrical question graph peak is0.5A onQ2 and archiveK4, but its blank answer form onQ3 prints0.6A. Preserve both native graph/form values.

Reader note: native source caveat for 9-3. Праща.

Native title Праща differs from catalogue Праца. K10 eq9 is severely horizontally compressed with vertically stretched glyphs in both MuPDF and Poppler; surrounding Symbol alpha/omega recover in MuPDF. Preserve native eq9 crop, do not invent its missing glyphs. Key cross-references and numerical mu0.40 versus preceding0.42 remain literal.

Reader note: native source caveat for 10.1. ЦУП

Preserve native period parenthesis, printed omega subscript2 ineq6 (personally reopened and resolved), π factor ineq15 versus540-degree result, native figure captions and both repeated blank response maps.

Reader note: native source caveat for 10.2. Электронный газ и неоднородный проводник

Preserve K17 drift substitution denominator1, K18 first numeric equality with ambiguous printed I/l shape (retained as an exact native crop), E2 numeric expression and label3.4 versus question3.3, beta=30 resistivity definition without correction.

Reader note: native source caveat for 10.3. Опыты Жана Перрена.

All Perrin book images, original English excerpts, photograph and apparatus remain source crops. Question viscosity1.005e-6 Pa·s, repeated rho0, q1.4 reference1.2, key terminal-speed factor9 and literal numerical substitutions/duplicate1.3 are retained. Full exact exponential time alternative retained.

Reader note: native source caveat for 11.1. Притяжение

Preserve all center-of-mass and differential-equation alternatives, stretched nativeeq3, native scaled equations and Coulomb c coefficient; do not silently correct factors.

Reader note: native source caveat for 11.2. Система автоматического наведения

Preserve native lens diagrams and detector graphic, mistaken mirror wording,eq15 tag and references16/17, and full control algorithm.

Reader note: native source caveat for 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Question1.4 remains one connected request with native a/b children; question top-level requests13, terminal leafrequests14. Native μ parameter wording versus epsilon0, incomplete1.8 sentence, isotope/footnotes and original article graphs/captions remain literal. Key32 eq26 badly compressed: retain original crop. Key1.7 prints3.6e-6 despite epsilon0=7.2e-7 and preceding minus sign; last native3.3 gives lifetime requested byq3.4 and does not explicitly answer crystal epsilon0 inq3.3, so mark available solution incomplete at that boundary.

Reader note: incomplete crystal-energy answer

The archive key does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. Its last heading3.3 gives the lifetime requested by question3.4 instead. Every available answer is retained under its literal printed heading; the solution is explicitly incomplete at the absent crystal-energy answer, without invented text.

Reader note: native overlapping cable and current graph

The original PDF places the cable bitmap at y291.3–432.6pt and the current graph at y417.8–602.7pt, so their boundaries overlap. The later graph white background intrinsically covers the lower a/I(x) glyphs even on the native full page. One complete original-column crop faithfully retains both scientific graphics and this original overlap; no missing label is reconstructed. The native drift illustration K16 includes an isolated dash and extra Delta t outside the cylinder; these intrinsic source artifacts remain literal. Both full originals remain available.

Оригинал в Архива: 2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2012_theoretical_solutions.pdf