Съдържание

BelPhO 2012, Заключителен етап — Задача 10-1. ЦУП

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts,63top-level and64terminal native requests. Complete available archive keys, figures, native English excerpts, photographs, article credit, response grids/maps and all63actual crops covering64native graphic scopes retained. Literal source numerical/sign/label discrepancies and distorted native equation blocks preserved with separately attributed notes. Crystal-energy answer for question3.3 absent; last key3.3 answersquestion3.4 and solution remains explicitly incomplete without invention.

Условие

В детстве юный физик Федя хотел стать космонавтом. Немного повзрослев, он начал изучать физику и понял, что гораздо интереснее запускать космические корабли и спутники, чем самому летать на них. Узнав о таком увлечении Феди, его учитель физики организовал экскурсию в Центр управления полетами (ЦУП).

Фотографировать там было запрещено (информация о полетах — секретная), но очень хотелось. Благодаря современным технологиям Феде все-таки удалось сделать несколько снимков.

Приехав домой, Федя обнаружил, что снимки получились в не очень хорошем качестве. Например, фотографии главного экрана, на котором отображались траектории полетов спутников, получились черно-белыми, а среди надписей были различимы только «экватор» и «гринвичский меридиан». Однако и такого материала было достаточно, чтобы поупражняться в вычислениях.

Примечание. На приведенных ниже рисунках одна клетка соответствует 20° вне зависимости от ее размеров. Рассматриваемые в задаче орбиты спутников являются круговыми.

Необходимые для решения задачи величины:

Радиус Земли: $R_{\text{З}}=6{,}4\cdot10^6\,\text{м}$ ; Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли: $g=9{,}8\,\text{м}/\text{с}^2$ ; Период обращения Земли $T_{\text{З}}=24\,\text{ч}$ .

Часть 1

На рис. 1 приведена фотография экрана ЦУП, на котором отчетливо видна траектория движения спутника. Из рисунка, например, видно, что расстояние между двумя точками последовательного пересечения экватора (выраженное в градусах), равно 140°.

Рис. 1. Фотография экрана с траекторией спутника

1.1 В какую сторону вращается спутник: в том же направлении, что и Земля или в противоположном?

1.2 Определите период обращения спутника по орбите, радиус орбиты, угловую и линейную скорость движения по орбите.

1.3 Как будет изменяться расстояние между точками последовательного пересечения экватора при уменьшении радиуса орбиты этого спутника? Чему равно максимально возможное расстояние между этими точками? Ответ выразите в градусах.

Часть 2

На второй фотографии (рис. 2) изображены траектории полетов двух спутников связи. Федя вспомнил (из рассказов главного инженера), что спутники одновременно пересекают линию экватора.

2.1 Определите радиусы орбит этих спутников и периоды обращения по орбитам.

2.2 Спутники обмениваются информацией не только с наземными пунктами, но и друг с другом. На какое время и с какой периодичностью прямая радиосвязь между ними прекращается?

Часть 3

«Надо и самому пофантазировать» — подумал Федя.

3.1 На предложенной вам карте (на отдельном бланке) изобразите траектории двух спутников, движущихся по орбитам одинакового радиуса в разных направлениях относительно Земли. Плоскости орбит спутников перпендикулярны друг другу и наклонены под углом 45° к экватору. Период обращения спутников в 1,5 раза меньше периода обращения Земли. Спутники (как и в предыдущей части задачи) одновременно пересекают экватор в момент встречи.

Бланк к задаче 10.1: обе напечатанные карты для построения траекторий

Решение

Часть 1

1.1 Пусть $\omega_{\text{З}}$ — угловая скорость вращения Земли вокруг оси, а $\omega$ — угловая скорость вращения спутника. И пусть в начальный момент времени спутник пересекает экватор. За время одного оборота спутника ( $T=\frac{2\pi}\omega\omega_{\text{З}}$ ) Земля повернется на угол $\frac{2\pi}\omega\omega_{\text{З}}$ .

Если движение спутника и Земли происходит в одном направлении, то следующее пересечение экватора произойдет на:

\Delta\varphi=2\pi-2\pi\frac{\omega_{\text{З}}}\omega=2\pi\left(1-\frac{\omega_{\text{З}}}\omega\right)\qquad (1)

восточнее (на рисунке — правее) предыдущего.

Если же спутник и Земля вращаются в разных направлениях, то за один оборот спутник сместится относительно Земли на:

\Delta\varphi=2\pi+2\pi\frac{\omega_{\text{З}}}\omega=2\pi\left(1+\frac{\omega_{\text{З}}}\omega\right)\qquad (2)

в западном (левом) направлении. Т.е. в любом случае больше, чем на 360°.

Согласно рисунку 1 условия задачи, спутник смещается на 14 клеток (280°), т. е. двигается по направлению вращения Земли.

1.2 Уравнение (1) позволяет найти угловую скорость вращения спутника:

280^\circ=\frac{14}9\pi=2\pi\left(1-\frac{\omega_{\text{З}}}\omega\right).\qquad (3)

Таким образом:

\omega=\frac92\omega_{\text{З}}=3{,}3\cdot10^{-4}\,\text{с}^{-1},\qquad (4)

T_{\text{С}}=\frac29T_{\text{З}}=5{,}3\,\text{ч}.\qquad (5)

Радиус орбиты определим, записав Второй закон Ньютона:

m\omega_2r=G\frac{Mm}{r^2},\qquad (6)

где $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника.

Подставив $\omega=2\pi/T$ и $GM=gR_{\text{З}}^2$ , получим:

\frac{4\pi^2}{T^2}r=g\frac{R_{\text{З}}^2}{r^2}.\qquad (7)

Тогда радиус орбиты:

r=\left(\frac{gR_{\text{З}}^2T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}=1{,}6\cdot10^7\,\text{м}.\qquad (8)

Линейная скорость движения спутника:

v=\frac{2\pi r}T=5{,}1\cdot10^3\,\text{м}/\text{с}.\qquad (9)

1.3 За половину периода, как следует из (1), спутник смещается относительно Земли на:

\Delta\varphi=\pi\left(1-\frac{\omega_{\text{З}}}\omega\right).\qquad (10)

Это и есть расстояние между двумя последовательными точками пересечения экватора. При уменьшении радиуса орбиты угловая скорость увеличивается. Следовательно, увеличивается и искомое расстояние.

Максимальное значение угловой скорости спутника достигается на орбите, проходящей в непосредственной близости к поверхности Земли. Записав Второй закон Ньютона:

m\omega_{\max}^2R_{\text{З}}=mg,\qquad (11)

получим:

\omega_{\max}=\sqrt{g/R_{\text{З}}}=1{,}2\cdot10^{-3}.\qquad (12)

Тогда максимальное расстояние между двумя точками последовательного пересечения экватора:

\Delta\varphi=\pi\left(1-\frac{\omega_{\text{З}}}{\omega_{\max}}\right)=3{,}0\,\text{рад}=169^\circ.\qquad (13)

Часть 2

2.1 Т.к. спутники одновременно пересекают линию экватора, то периоды их обращения по орбитам одинаковы, а значит, равны и радиусы орбит. Изображенные на рисунке 2 условия задачи траектории соответствуют спутникам, двигающимся по одной орбите в разных направлениях.

Если спутник двигается по направлению вращения Земли («сжатая» траектория), то расстояние, которое проходит спутник относительно Земли за один оборот, равно 180° (9 клеток). Согласно (1), угловая скорость вращения равна:

\omega=2\omega_{\text{З}}.\qquad (14)

Аналогично можно рассуждать, рассматривая движение второго спутника. Для него выражение (1) будет иметь вид:

\Delta\varphi=\pi\left(1+\frac{\omega_{\text{З}}}\omega\right).\qquad (15)

За один оборот этот спутник смещается относительно Земли на 27 клеток, т. е. на 540°. Подставляя это значение в (15), получим тот же ответ (14).

Таким образом, период обращения по орбите равен:

T=T_{\text{З}}/2=12\,\text{ч}.\qquad (16)

Радиус орбит спутников равен:

r=\left(\frac{gR_{\text{З}}^2}{\omega^2}\right)^{1/3}=2{,}7\cdot10^7\,\text{м}.\qquad (17)

2.2 Пусть спутники встретились в точке $A$ (рис. 1). Между ними будет возможна прямая связь, пока они не достигнут точек $B$ и $B'$ соответственно. В течение времени, необходимом для перемещения в точки $C$ и $C'$ , связь будет отсутствовать.

Рис. 1. Орбита и границы исчезновения прямой радиосвязи

Таким образом, связь исчезает на время:

\Delta t_1=\beta/\omega\qquad (18)

с периодичностью

\Delta t_2=T/2=6\,\text{ч}.\qquad (19)

Угол $\beta$ найдем из равнобедренного треугольника $OBC$ .

\sin\frac\beta2=\frac{R_{\text{З}}}r,\qquad (20)

\beta=0{,}48\,\text{рад}.\qquad (21)

Тогда время молчания:

\Delta t_1=\frac{T\cdot0{,}48}{2\pi}=0{,}92\,\text{ч}=55\,\text{мин}.\qquad (22)

Часть 3

Один из возможных траекторий изображены на рис. 2. Спутник двигающийся по направлению вращения Земли пересекает экватор через каждые 60°, а двигающийся против — через 300°. «Размах» траекторий в вертикальном направлении составляет 45°.

Рис. 2. Один вариант траекторий с наклоном 45 градусов

Reader note: complete obtainable source and archive authority

Nine whole tasks belong to grades9,10,11, three in each cohort. The native63top-level requests include connected1.4withtwolettered children:64terminal requests inall. The55native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. All printed response graphs/maps are included in the question PDF; no further theory response, equipment, grading or companion file is listed. Native source ordering, printed whole task and section boundaries are preserved.

Reader note: native source caveat for 9.1. «Отражение»

Electrical question graph peak is0.5A onQ2 and archiveK4, but its blank answer form onQ3 prints0.6A. Preserve both native graph/form values.

Reader note: native source caveat for 9-3. Праща.

Native title Праща differs from catalogue Праца. K10 eq9 is severely horizontally compressed with vertically stretched glyphs in both MuPDF and Poppler; surrounding Symbol alpha/omega recover in MuPDF. Preserve native eq9 crop, do not invent its missing glyphs. Key cross-references and numerical mu0.40 versus preceding0.42 remain literal.

Reader note: native source caveat for 10.1. ЦУП

Preserve native period parenthesis, printed omega subscript2 ineq6 (personally reopened and resolved), π factor ineq15 versus540-degree result, native figure captions and both repeated blank response maps.

Reader note: native source caveat for 10.2. Электронный газ и неоднородный проводник

Preserve K17 drift substitution denominator1, K18 first numeric equality with ambiguous printed I/l shape (retained as an exact native crop), E2 numeric expression and label3.4 versus question3.3, beta=30 resistivity definition without correction.

Reader note: native source caveat for 10.3. Опыты Жана Перрена.

All Perrin book images, original English excerpts, photograph and apparatus remain source crops. Question viscosity1.005e-6 Pa·s, repeated rho0, q1.4 reference1.2, key terminal-speed factor9 and literal numerical substitutions/duplicate1.3 are retained. Full exact exponential time alternative retained.

Reader note: native source caveat for 11.1. Притяжение

Preserve all center-of-mass and differential-equation alternatives, stretched nativeeq3, native scaled equations and Coulomb c coefficient; do not silently correct factors.

Reader note: native source caveat for 11.2. Система автоматического наведения

Preserve native lens diagrams and detector graphic, mistaken mirror wording,eq15 tag and references16/17, and full control algorithm.

Reader note: native source caveat for 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Question1.4 remains one connected request with native a/b children; question top-level requests13, terminal leafrequests14. Native μ parameter wording versus epsilon0, incomplete1.8 sentence, isotope/footnotes and original article graphs/captions remain literal. Key32 eq26 badly compressed: retain original crop. Key1.7 prints3.6e-6 despite epsilon0=7.2e-7 and preceding minus sign; last native3.3 gives lifetime requested byq3.4 and does not explicitly answer crystal epsilon0 inq3.3, so mark available solution incomplete at that boundary.

Reader note: incomplete crystal-energy answer

The archive key does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. Its last heading3.3 gives the lifetime requested by question3.4 instead. Every available answer is retained under its literal printed heading; the solution is explicitly incomplete at the absent crystal-energy answer, without invented text.

Reader note: native overlapping cable and current graph

The original PDF places the cable bitmap at y291.3–432.6pt and the current graph at y417.8–602.7pt, so their boundaries overlap. The later graph white background intrinsically covers the lower a/I(x) glyphs even on the native full page. One complete original-column crop faithfully retains both scientific graphics and this original overlap; no missing label is reconstructed. The native drift illustration K16 includes an isolated dash and extra Delta t outside the cylinder; these intrinsic source artifacts remain literal. Both full originals remain available.

Оригинал в Архива: 2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2012_theoretical_solutions.pdf