Съдържание

Условие Часть 1. Общие характеристики Часть 2. Электрический ток.Часть 3. Неоднородный проводник Решение

BelPhO 2012, Заключителен етап — Задача 10-2. Электронный газ и неоднородный проводник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts,63top-level and64terminal native requests. Complete available archive keys, figures, native English excerpts, photographs, article credit, response grids/maps and all63actual crops covering64native graphic scopes retained. Literal source numerical/sign/label discrepancies and distorted native equation blocks preserved with separately attributed notes. Crystal-energy answer for question3.3 absent; last key3.3 answersquestion3.4 and solution remains explicitly incomplete without invention.

Условие

В классической электронной теории металлов предполагается, что движение электронов подчиняется законам классической теории. В этой теории электроны проводимости рассматривают как идеальный газ, такой же как идеальный атомарный газ в молекулярной физике, и подчиняющий тому же уравнению состояния идеального газа.

В учебных пособиях утверждается, что такая модель хорошо качественно описывает законы постоянного тока.

В данной задаче Вам предлагается получить некоторые из известных законов постоянного тока в рамках модели идеального электронного газа и оценить количественно величины, используемые в этой модели. В качестве исследуемого металла выберем медный провод постоянного сечения.

Справочные данные

Постоянная Авогадро $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}$ ; постоянная Больцмана $k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\text{Дж}/\text{К}$ ;

элементарный заряд $e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{Кл}$ ; масса электрона $m=9{,}1\cdot10^{-31}\,\text{кг}$ ;

плотность меди $D=8{,}9\cdot10^3\,\text{кг}/\text{м}^3$ ; удельное сопротивление меди $\rho_1=1{,}7\cdot10^{-8}\,\text{Ом}\cdot\text{м}$ ;

удельное сопротивление константана $\rho_2=5{,}1\cdot10^{-7}\,\text{Ом}\cdot\text{м}$ ;

молярная масса меди $M=6{,}4\cdot10^{-2}\,\text{кг}/\text{моль}$ .

Часть 1. Общие характеристики

Большинство электронов в атоме крепко привязаны к ядру. Однако в металлах один или два внешних электрона могут свободно странствовать по всему веществу, в то время как тяжелые ионы остаются около фиксированных мест в кристаллической решетке. В меди в среднем на один атом приходится один свободный электрон.

1.1 Определите концентрацию $n_0$ свободных электронов в медном проводнике.

1.2 Предположим, что электроны находятся в тепловом равновесии с ионами решетки. Определите среднюю квадратичную скорость $\langle v_{\text{кв.}}\rangle$ хаотического движения электронов при температуре $T=300\,\text{К}$ .

1.3 В действительности, из-за квантовых ограничений средняя скорость движения свободных электронов составляет $\langle v\rangle=2{,}0\cdot10^6\,\text{м}/\text{с}$ , т.е. тепловое равновесие свободных электронов с ионами решетки является плохим приближением. Независимо от значения, которое Вы получили в п. 1.2, примите $\langle v_{\text{кв.}}\rangle=2{,}0\cdot10^6\,\text{м}/\text{с}$ и определите, какой температуре $T_e$ она соответствует.

1.4 Определите давление $p$ электронного газа при этой температуре.

Часть 2. Электрический ток.

Рассмотрим медный прямолинейный проводник постоянного сечения $S=1{,}0\,\text{мм}^2$ , через сечение которого течет ток силой $I=1{,}0\,\text{А}$ .

2.1 Определите среднюю скорость направленного движения (скорость дрейфа $\langle v_{\text{др.}}\rangle$ ) электронов в проводнике.

2.2 Постоянная разность потенциалов $U$ между концами проводника обеспечивает существование стационарного электрического поля внутри проводника. Определите модуль напряженности $E$ этого поля для проводника длиной $L=1{,}0\,\text{м}$ при напряжении между его концами $U=1{,}0\,\text{В}$ .

2.3 Существование стационарного электрического поля означает, что на электроны внутри проводника действует постоянная сила, под действием которой электроны должны двигаться равноускоренно. Однако скорость их дрейфа постоянна. Обычно это объясняют тем, что электроны испытывают многократные столкновения с ионами решетки, теряя при этом скорость до нуля, снова разгоняются, сталкиваются, теряют скорость и т.д. В рамках этой модели получите закон Ома для участка цепи и определите среднее время $\tau$ между двумя последовательными столкновениями, считая известным удельное сопротивление меди.

Часть 3. Неоднородный проводник

3.1 Участок цепи состоит из двух проводников одинаковых сечений из разных металлов. Проводники соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения $U=220\,\text{В}$ . Первый проводник длиной $l_1$ изготовлен из меди, второй проводник длиной $l_2$ — из константана (сплав 60% меди и 40% никеля). Не нарушая общности решения, будем считать потенциал отрицательного полюса равным нулю, а потенциал положительного $\varphi_0=U$ . Определите потенциал $\varphi_1$ в месте соединения проводников в случае $l_1=l_2=L/2$ .

Два материала, длины l₁/l₂, потенциалы U и 0

3.2 Найдите зависимости потенциала $\varphi$ и модуля напряженности $E$ стационарного электрического поля внутри проводника от расстояния от начала медного проводника в случае $l_1=l_2=L/2$ .

3.3 Рассмотрите проводник длиной $L$ , удельное сопротивление материала которого линейно возрастает по длине проводника от $\rho_1$ на положительном конце до $\rho_2$ на отрицательном. Как изменяется модуль напряженности электрического поля в проводнике в зависимости от расстояния от положительного конца проводника? Найдите распределение потенциала $\varphi$ по длине проводника. Постройте график этого распределения.

Решение

1.1 Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов меди, следовательно:

n_0=\frac NV=\frac D{m_{\text{Cu}}};\qquad m_{\text{Cu}}=\frac M{N_A}\quad\Rightarrow\quad n_0=\frac{DN_A}M;\qquad (1)

n_0=\frac{8{,}9\cdot10^3\cdot6{,}02\cdot10^{23}}{6{,}4\cdot10^{-2}}=8{,}4\cdot10^{28}\,\text{м}^{-3}.\qquad (1')

1.2. Тепловое равновесие означает, что электронному газу можно присвоить температуру, равную температуре меди. В результате:

\langle v_{\text{кв.}}\rangle=\sqrt{\frac{3kT}m};\qquad (2)

\langle v_{\text{кв.}}\rangle=\sqrt{\frac{3\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=1{,}2\cdot10^5\,\text{м}/\text{с}.\qquad (2')

1.3.

\langle v_{\text{кв.}}\rangle=\sqrt{\frac{3kT_e}m}\quad\Rightarrow\quad T_e=\frac{m\langle v_{\text{кв.}}\rangle^2}{3k};\qquad (3)

T_e=\frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(2\cdot10^6)^2}{3\cdot1{,}38\cdot10^{-23}}=8{,}8\cdot10^4\,\text{К}.\qquad (3')

1.4.

p=n_0kT_e;\qquad (4)

p=8{,}4\cdot10^{28}\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot8{,}8\cdot10^4=1{,}0\cdot10^{11}\,\text{Па}.\qquad (4')

Это очень большое давление. Однако при его выводе не учитывались положительные ионы кристаллической решетки, взаимодействие с которыми уменьшает давление электронного газа. Полученное значение является парциальным давлением электронного газа, к которому необходимо добавить давление электрического поля, создаваемого положительным зарядом, которое противоположно по знаку.

Часть 2.

2.1. По определению сила тока: $I=\Delta q/\Delta t$ ; $\Delta q=\Delta Ne$ , где $\Delta N$ — количество электронов, способных за промежуток времени $\Delta t$ пересечь поперечное сечение проводника. $\Delta N=n_0\Delta V$ , $\Delta V=S\Delta l=S\langle v_{\text{др.}}\rangle\Delta t$ (см. рисунок). В итоге:

\Delta q=n_0eS\langle v_{\text{др.}}\rangle\Delta t\quad\Rightarrow\quad I=n_0eS\langle v_{\text{др.}}\rangle\quad\Rightarrow\quad\langle v_{\text{др.}}\rangle=\frac I{n_0eS};\qquad (5)

\langle v_{\text{др.}}\rangle=\frac1{8{,}4\cdot10^{28}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1}=7{,}4\cdot10^{-5}\,\text{м}/\text{с}.\qquad (5')

Это очень малая скорость, особенно по сравнению со скоростью хаотического движения электронов. Тем не менее, с такой скоростью дрейфует много электронов, в результате этого получается заметный ток.

2.2. Для однородного поля:

E=\frac UL;\qquad E=1{,}0\,\text{В}/\text{м}.\qquad (6)

2.3. Средняя скорость равноускоренного движения из состояния покоя равна $v_{\max}/2$ и совпадает со средней скоростью дрейфа: $v_{\max}/2=\langle v_{\text{др.}}\rangle\quad\Rightarrow$ (учитывая (5)):

v_{\max}=\frac{2I}{n_0eS}.\qquad (7)

С другой стороны: $v_{\max}=a\tau$ , где ускорение: $a=eE/m=eU/(mL)\quad\Rightarrow$

\frac{eU}{mL}\tau=\frac{2I}{n_0eS}\quad\Rightarrow\quad I=\frac{n_0e^2\tau S}{2mL}U.\qquad (8)

Сила тока пропорциональна напряжению, это и есть закон Ома. Сопротивление:

R=\frac UI\quad\Rightarrow\quad R=\frac{2mL}{n_0e^2\tau S}.\qquad (9)

Сравнивая полученное выражение с формулой $R=\rho_1L/S$ , получим:

\rho_1=\frac{2m}{n_0e^2\tau}\quad\Rightarrow\quad\tau=\frac{2m}{n_0e^2\rho_1};\qquad (10)

\tau=\frac{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}}{8{,}4\cdot10^{28}\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^2\cdot1{,}7\cdot10^{-8}}=5{,}0\cdot10^{-14}\,\text{с}.\qquad (10')

3.1. Сопротивление первого проводника: $R_1=\rho_1l_1/S$ , второго — $R_2=\rho_2l_2/S$ . Сила тока в проводниках:

I_1=\frac{\varphi_0-\varphi_1}{R_1}=\frac{\varphi_0-\varphi_1}{\rho_1l_1}S;\qquad I_2=\frac{\varphi_1-0}{R_2}=\frac{\varphi_1}{\rho_2l_2}S.

Поскольку при последовательном соединении сила тока в проводниках одинакова,

I_1=I_2\quad\Rightarrow\quad\frac{\varphi_0-\varphi_1}{\rho_1l_1}S=\frac{\varphi_1}{\rho_2l_2}S\quad\Rightarrow\quad\varphi_1=\varphi_0\frac{\rho_2l_2}{\rho_1l_1+\rho_2l_2}.\qquad (12)

Исходная численная строка потенциала на границе двух проводников

3.2. Закон Ома: $I=(\varphi_0-\varphi)/R\quad\Rightarrow\quad\varphi=\varphi_0-I\rho l/S$ . Зависимость потенциала $\varphi$ от длины проводника $l$ линейная, $\varphi$ равномерно убывает в медном проводнике от $\varphi_0$ до $\varphi_1$ , а в проводнике из константана от $\varphi_1$ до 0.

Напряженность поля в каждом проводнике постоянная, однако, на границе соединения проводников претерпевает разрыв, в результате в проводнике из меди $E_1=(\varphi_0-\varphi_1)/l=(7{,}0/l)(\text{В}/\text{м})$ , а в проводнике из константана

E_2=\frac{\varphi_1}l=\frac{213}{\phantom{l}}\left(\frac{\text{В}}{\text{м}}\right).

3.4. Совместим ось $Ox$ с осью проводника, поместив начало оси на положительный конец. Удельное сопротивление материала проводника изменяется по закону:

\rho=\rho_1\left(1+\beta\frac xL\right),\qquad\text{где }\beta=\frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{5{,}1\cdot10^{-7}}{1{,}7\cdot10^{-8}}=30.\qquad (14)

Так как сила тока постоянна в любом сечении проводника, то для плотности тока (которая также постоянна) можно записать

j=\frac1\rho E=\mathrm{const}.\qquad (15)

Откуда следует, что напряженность электрического поля изменяется по закону

E=j\rho=j\rho_1\left(1+\beta\frac xL\right).\qquad (16)

В этой зависимости нам не известна плотность тока, которую можно найти, зная значения потенциалов на концах проводника. Построим график зависимости модуля напряженности от координаты. Площадь под графиком от точки $x=0$ до некоторого значения $x$ численно равна разности потенциалов между этими точками. Поэтому потенциал в точке с координатой $x$ равен

Линейная напряженность и площадь под графиком

\varphi(x)=U-\frac12(E(0)+E(x))\cdot x=U-\frac12j\rho_1\left(2+\beta\frac xL\right)x.\qquad (17)

Эта функция при $x=L$ должна обращаться в нуль, что и дает возможность определить неизвестную постоянную:

U-\frac12j\rho_1(2+\beta)L=0\quad\Rightarrow\quad j=\frac U{\frac12\rho_1(2+\beta)L}.\qquad (18)

Таким образом, получаем окончательное выражение для распределения потенциала

\varphi(x)=U-\frac12j\rho_1\left(2+\beta\frac xL\right)x=U-U\frac{\left(2+\beta\frac xL\right)x}{(2+\beta)L}.\qquad (19)

Если обозначить $\xi=x/L$ , то эта функция приобретает вполне удобоваримый вид банальной параболы (с учетом $\beta=30$ ):

\varphi(x)=U\left(1-\frac{(2+\beta\xi)\xi}{2+\beta}\right)=U\left(1-\frac{(2+30\xi)\xi}{32}\right).

График этой функции показан на следующем рисунке.

Reader note: complete obtainable source and archive authority

Nine whole tasks belong to grades9,10,11, three in each cohort. The native63top-level requests include connected1.4withtwolettered children:64terminal requests inall. The55native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. All printed response graphs/maps are included in the question PDF; no further theory response, equipment, grading or companion file is listed. Native source ordering, printed whole task and section boundaries are preserved.

Reader note: native source caveat for 9.1. «Отражение»

Electrical question graph peak is0.5A onQ2 and archiveK4, but its blank answer form onQ3 prints0.6A. Preserve both native graph/form values.

Reader note: native source caveat for 9-3. Праща.

Native title Праща differs from catalogue Праца. K10 eq9 is severely horizontally compressed with vertically stretched glyphs in both MuPDF and Poppler; surrounding Symbol alpha/omega recover in MuPDF. Preserve native eq9 crop, do not invent its missing glyphs. Key cross-references and numerical mu0.40 versus preceding0.42 remain literal.

Reader note: native source caveat for 10.1. ЦУП

Preserve native period parenthesis, printed omega subscript2 ineq6 (personally reopened and resolved), π factor ineq15 versus540-degree result, native figure captions and both repeated blank response maps.

Reader note: native source caveat for 10.2. Электронный газ и неоднородный проводник

Preserve K17 drift substitution denominator1, K18 first numeric equality with ambiguous printed I/l shape (retained as an exact native crop), E2 numeric expression and label3.4 versus question3.3, beta=30 resistivity definition without correction.

Reader note: native source caveat for 10.3. Опыты Жана Перрена.

All Perrin book images, original English excerpts, photograph and apparatus remain source crops. Question viscosity1.005e-6 Pa·s, repeated rho0, q1.4 reference1.2, key terminal-speed factor9 and literal numerical substitutions/duplicate1.3 are retained. Full exact exponential time alternative retained.

Reader note: native source caveat for 11.1. Притяжение

Preserve all center-of-mass and differential-equation alternatives, stretched nativeeq3, native scaled equations and Coulomb c coefficient; do not silently correct factors.

Reader note: native source caveat for 11.2. Система автоматического наведения

Preserve native lens diagrams and detector graphic, mistaken mirror wording,eq15 tag and references16/17, and full control algorithm.

Reader note: native source caveat for 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Question1.4 remains one connected request with native a/b children; question top-level requests13, terminal leafrequests14. Native μ parameter wording versus epsilon0, incomplete1.8 sentence, isotope/footnotes and original article graphs/captions remain literal. Key32 eq26 badly compressed: retain original crop. Key1.7 prints3.6e-6 despite epsilon0=7.2e-7 and preceding minus sign; last native3.3 gives lifetime requested byq3.4 and does not explicitly answer crystal epsilon0 inq3.3, so mark available solution incomplete at that boundary.

Reader note: incomplete crystal-energy answer

The archive key does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. Its last heading3.3 gives the lifetime requested by question3.4 instead. Every available answer is retained under its literal printed heading; the solution is explicitly incomplete at the absent crystal-energy answer, without invented text.

Reader note: native overlapping cable and current graph

The original PDF places the cable bitmap at y291.3–432.6pt and the current graph at y417.8–602.7pt, so their boundaries overlap. The later graph white background intrinsically covers the lower a/I(x) glyphs even on the native full page. One complete original-column crop faithfully retains both scientific graphics and this original overlap; no missing label is reconstructed. The native drift illustration K16 includes an isolated dash and extra Delta t outside the cylinder; these intrinsic source artifacts remain literal. Both full originals remain available.

Оригинал в Архива: 2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2012_theoretical_solutions.pdf