Съдържание

Условие Часть 1. Получение однородной эмульсии².Часть 2. Определение размеров частиц.Часть 3. Распределение частиц по высоте.Решение

BelPhO 2012, Заключителен етап — Задача 10-3. Опыты Жана Перрена.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts,63top-level and64terminal native requests. Complete available archive keys, figures, native English excerpts, photographs, article credit, response grids/maps and all63actual crops covering64native graphic scopes retained. Literal source numerical/sign/label discrepancies and distorted native equation blocks preserved with separately attributed notes. Crystal-energy answer for question3.3 absent; last key3.3 answersquestion3.4 and solution remains explicitly incomplete without invention.

Условие

Броуновское движение было открыто английским ботаником Р. Броуном в 1827 году, когда он проводил исследования пыльцы растений. В 1905 году Альбертом Эйнштейном была создана молекулярно-кинетическая теория для количественного описания броуновского движения. Формула Эйнштейна была подтверждена опытами Жана Перрена и его студентов в 1908–1909 гг. В качестве броуновских частиц они использовали зёрнышки смолы мастикового дерева и гуммигута — густого млечного сока деревьев рода гарциния.

В 1926 г. Ж. Перрен получил Нобелевскую премию по физике.

В данной задаче вам предстоит разобраться в сущности одного из экспериментов, проведенных Ж. Перреном.

Задача написана на основе книги Ж. Перрена «Атомы» 1916 г. Все численные данные взяты из этой книги. В качестве иллюстраций использованы выдержки из указанного издания. Информация, содержащаяся в этих вырезках, полностью содержится в тексте задачи, поэтому переводить тексты из указанной книги нет необходимости.

Титульная страница исходного издания Atoms

Справка для любопытных:

gamboge [gæm'bəuʤ] — гуммигут (млечный сок некоторых тропических растений).

Справочные данные.

Плотность воды $\rho_0=0{,}998\cdot10^3\,\text{кг}/\text{м}^3$ .

Плотность гуммигута $\rho_0=1{,}194\cdot10^3\,\text{кг}/\text{м}^3$ .

Вязкость воды $\eta=1{,}005\cdot10^{-6}\,\text{Па}\cdot\text{с}$ .

Ускорение свободного падения $g=9{,}81\,\text{м}/\text{с}^2$ .

Универсальная газовая постоянная $R_G=8{,}314\,\text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$ .

Молярная масса кислорода $M=32\cdot10^{-3}\,\text{кг}/\text{моль}$ .

Часть 1. Получение однородной эмульсии².

Для получения эмульсии Ж. Перрен растирал гуммигут пальцами под водой. При этом образовывалась краска ярко желтого цвета. Однако, образовавшиеся шарики гуммигута имели различные размеры, а для проведения измерений требовалась эмульсия, частички которой одинаковы. Для разделения частиц Ж. Перрен использовал центрифугу — быстровращающийся цилиндрический сосуд, в котором содержалась исходная эмульсия.

Исходная английская выдержка о получении однородных частиц

² Эмульсия — в данном случае, жидкая среда, в которой находятся шарики смолы.

1.1 Сферическая частица радиуса $R$ (из материала плотности $\rho$ ) находится в жидкости (плотности $\rho_0$ ) на расстоянии $r$ от оси вертикального сосуда, вращающегося вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\omega$ . Найдите зависимость скорости радиального движения частицы $V$ от расстояния до оси вращения.

Вертикальный вращающийся сосуд и частица на расстоянии r

На частицу сферической формы в жидкости действует сила вязкого трения, определяемая формулой Стокса

F=6\pi\eta RV,\qquad (1)

где $\eta$ — так называемый, коэффициент вязкости жидкости (считайте эту величину известной).

1.2 Во сколько раз изменится скорость частицы, если ее радиус уменьшится в два раза?

1.3 (Опыты Перрена) Рассчитайте значение скорости движения частицы гуммигута радиуса $R=0{,}212\,\text{мкм}=0{,}212\cdot10^{-6}\,\text{м}$ , находящейся на расстоянии $r=15{,}0\,\text{см}$ от оси вращения центрифуги. Центрифуга совершает 2500 оборотов в минуту, в сосуде находится водная эмульсия. Численные значения характеристик воды и гуммигута приведены в Справочных данных.

1.4 Оцените время, за которая частица (в условия, описанных в п. 1.2) сместится на расстояние $l=5{,}0\,\text{см}$ .

Часть 2. Определение размеров частиц.

Для измерения размеров частиц Ж. Перрен использовал три различных метода. В одном из них он измерял скорости падения частиц в жидкости. Для этого в вертикальный сосуд с жидкостью вливался тонкий слой эмульсии, содержащей гранулы примерно одного размера (после центрифугирования). Этот слой медленно опускался в воде. Из-за броуновского движения происходило медленное расплывание самого слоя, но оно составляло не более $1/50$ от того расстояния, на которое частицы опускались.

Исходная английская выдержка об опускающемся облаке частиц

2.1 Пренебрегая броуновским движением, найдите скорость опускания сферической частицы гуммигута радиуса $R=0{,}212\,\text{мкм}$ в воде.

2.2 Найдите время, за которое слой частиц опустится на расстояние $l=5{,}0\,\text{см}$ .

Часть 3. Распределение частиц по высоте.

В первой основной серии экспериментов Ж. Перрен изучал распределение частиц по высоте с помощью микроскопа. Оказалось, что концентрация частиц убывает с высотой, также как уменьшается концентрация молекул газа в поле тяжести Земли. Теоретический анализ, проведенный А. Эйнштейном, показал, что поведение частиц в эмульсии полностью аналогично поведению молекул газа. Иными словами, части можно рассматривать как очень большие молекулы.

Исходная схема микроскопа и сосуда с эмульсией, Fig. 5

Рассмотрим изменение концентрации молекул кислорода в земной атмосфере. Будем считать, что температура воздуха одинакова на всех высотах и равна $t^\circ=20\,{}^\circ\text{C}$ .

3.1 Рассчитайте, на какой высоте концентрация молекул кислорода уменьшается на 1,0%.

3.2 Покажите, что концентрация молекул кислорода уменьшается в 2 раза на высоте, которая рассчитывается по формуле:

h_{1/2}=0{,}01N\cdot\frac{RT}{Mg}=0{,}69\frac{R_GT}{Mg},\qquad (2)

где $R_G$ — универсальная газовая постоянная, $M$ — молярная масса газа.

3.3 (Опыты Перрена) В одной из серий экспериментов Ж. Перрен использовал водную эмульсию, содержащую частицы радиуса $R=0{,}212\,\text{мкм}$ . В результате подсчета в общей сложности 13000 частиц, Ж. Перрен выяснил, что на высотах

5; 35; 65; 95;

микрон, концентрации частиц пропорциональны числам

100; 47; 22,6; 12.

Температура, при которой проводились измерения, равнялась $t^\circ=20\,{}^\circ\text{C}$ .

Исходная английская выдержка о подсчете 13000 зернышек на четырех высотах

По этим данным Ж. Перрен впервые в истории оценил (с точностью до одной значащей цифры) постоянную А. Авогадро. Сделайте это и Вы.

Универсальная газовая постоянная $R_G$ измеряется достаточно простыми методами, и Ж. Перрену (как и Вам) была известна.

Решение

1.1 На частицу во вращающейся жидкости в радиальном направлении действуют сила вязкого трения (сила Стокса) $\vec F_{\text{С}}=6\pi\eta RV$ и сила Архимеда $\vec F_A=\frac43\pi R^3\rho_0\omega^2r$ . Эти силы сообщают частице центростремительное ускорение $a=\omega^2r$ . Пренебрегая изменением модуля скорости частицы относительно жидкости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение

\frac43\pi R^3\rho\omega^2r=6\pi\eta RV+\frac43\pi R^3\rho_0\omega^2r,\qquad (1)

из которого находим скорость радиального движения частицы

V=\frac{R^2(\rho-\rho_0)\omega^2r}{9\eta}.\qquad (2)

Данная задача также может быть решена в неинерциальной вращающейся системе отсчета, связанной с жидкостью.

1.2 Так как скорость частицы пропорциональна квадрату ее радиуса, то при уменьшении радиуса в два раза, скорость уменьшится в 4 раза.

1.3 Подстановка численных значений приводит к результату

V=\frac{R^2(\rho-\rho_0)\omega^2r}{9\eta}=\frac{(0{,}212\cdot10^{-6})^2\,\text{м}^2\cdot(1{,}194-0{,}998)\cdot10^3\,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot\left(2500\frac{2\pi}{60}\right)^2\,\text{с}^{-2}\cdot0{,}15\,\text{м}}{9\cdot1{,}005\cdot10^{-6}\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{м}^2\cdot\text{с}^2}\cdot\text{с}}=0{,}010\,\text{м}/\text{с}.\qquad (3)

1.3 Из формулы (2) следует, что скорость частицы пропорциональная расстоянию до оси вращения, поэтому движение такой частицы не является равномерным. Для оценки времени движения можно использовать среднее арифметическое скоростей движения частицы в начале и конце рассматриваемого интервала. Для упрощения численных расчетов зависимость скорости от расстояния запишем в виде

V(r)=V_0\frac r{r_0},\qquad (4)

где $V_0$ — скорость частицы на расстоянии $r_0$ , причем в качестве этих величин используем численные значения, рассчитанные в п. 1.2.

Указанная оценка времени движения частицы дает

\widetilde t=\frac{2l}{V_0+V_0\frac{r_0+l}{r_0}}=\frac{2\cdot0{,}05}{0{,}010\left(1+\frac{20}{15}\right)}\approx4{,}3\,\text{с}.\qquad (5)

Дополнение.

Точный расчет времени движения также может быть проведен. Из уравнения (4), записанного в дифференциальной форме следует, что закон движения имеет экспоненциальный вид

\frac{dr}{dt}=V_0\frac r{r_0}\quad\Rightarrow\quad r=r_0\exp\left(\frac{V_0}{r_0}t\right).

Из точного закона движения находим время смещения частицы на расстояние $l$ :

\widetilde t=\frac{r_0}{V_0}\ln\frac{r_0+l}{r_0}=\frac{0{,}150}{0{,}010}\ln\frac{20}{15}=4{,}32\,\text{с}.

Часть 2. Определение размеров частиц.

2.1 Для определения скорости опускания частиц достаточно в формуле (2) заменить центростремительное ускорение ускорением свободного падения. Расчет скорости в этом случае приводит к следующему значению

V=\frac{R^2(\rho-\rho_0)g}{9\eta}=\frac{(0{,}212\cdot10^{-6})^2\,\text{м}^2\cdot(1{,}194-0{,}998)\cdot10^3\,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot9{,}81\,\text{с}^{-2}\cdot\text{м}}{9\cdot1{,}005\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{м}^2\cdot\text{с}^2}\cdot\text{с}}=9{,}55\cdot10^{-6}\,\text{м}/\text{с}.\qquad (6)

2.2 Скорость движения в данном случае постоянна, поэтому время движения рассчитывается по формуле

t=\frac lV=\frac{5{,}0\cdot10^{-2}\,\text{м}}{9{,}55\cdot10^{-6}\,\text{м}/\text{с}}=5{,}2\cdot10^3\,\text{с},\qquad (7)

что примерно равно полутора часам.

Часть 3. Распределение частиц по высоте.

3.1 При постоянной температуре концентрация молекул газа пропорциональна давлению газа. Изменение давления с высотой связано с действием силы тяжести. В пределах слоя малой толщины можно считать давление (а также концентрацию и плотность) постоянным. Тогда для изменения $\Delta P$ давления при подъеме на высоту $\Delta h$ справедливо выражение (где плотность газа выражена из уравнения состояния):

\Delta P=-\rho g\Delta h=-\frac{PM}{RT}g\Delta h.\qquad (8)

Полагая $\Delta P/P=1\%=0{,}01$ , из этой формулы находим высоту

(\Delta h)_{1\%}=\frac{\Delta P}P\cdot\frac{RT}{Mg}=0{,}01\frac{8{,}31\cdot293}{32\cdot10^{-3}\cdot9{,}81}=77{,}6\,\text{м}\approx80\,\text{м}.\qquad (9)

3.2. На каждом слое толщиной $(\Delta h)_{1\%}$ концентрация убывает на 1%, следовательно, с увеличением числа слоев концентрация убывает в геометрической прогрессии. Найдем, сколько слоев толщиной $(\Delta h)_{1\%}$ необходимо пройти, чтобы, уменьшение концентрации составило 50%. Для этого надо решить уравнение

0{,}99^N=0{,}5\quad\Rightarrow\quad N\approx69.\qquad (10)

Следовательно, высота, на которой концентрация убывает в два раза, равна

h_{1/2}=0{,}01N\cdot\frac{RT}{Mg}=0{,}69\frac{RT}{Mg}.\qquad (11)

Это же выражение следует из барометрической формулы

P=P_0\exp\left(-\frac{Mg}{RT}h\right)\quad\Rightarrow\quad h_{1/2}=\ln2\frac{RT}{Mg}.

3.3 Так как к частицам применимы законы идеального газа, то применима и формула (11). Только в ней молярную массу молекул надо заменить «молярной» массой частиц $M=N_Am$ , где $m$ — масса одной частицы. Кроме того, необходимо учесть действие силы Архимеда на частицу в воде, что приведет к появлению «эффективного» ускорения свободного падения $g^*$ . С учетом этих оговорок, из формулы (11) следует выражение для расчета постоянной Авогадро

h_{1/2}=0{,}69\frac{RT}{Mg}=0{,}69\frac{RT}{N_Amg^*}\quad\Rightarrow\quad N_A=0{,}69\frac{RT}{mg^*h_{1/2}}.\qquad (12)

Подстановка численных значений приводит к результату

\begin{aligned}N_A&=0{,}69\frac{RT}{mg^*h_{1/2}}=0{,}69\frac{RT}{\frac43\pi R^3(\rho-\rho_0)gh_{1/2}}\\&=0{,}69\frac{8{,}31\,\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot293\,\text{К}}{\frac43\pi(0{,}212\cdot10^{-6})^3\,\text{м}^3\cdot(1{,}194-0{,}998)\cdot10^3\,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot9{,}81\,\text{с}^{-2}\cdot\text{м}\cdot30\cdot10^{-6}\,\text{м}}\\&=7{,}23\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}\approx7\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}.\end{aligned}\qquad (13)

Это значение немного превышает современное постоянной Авогадро, но это же было первое ее экспериментальное измерение!

Reader note: complete obtainable source and archive authority

Nine whole tasks belong to grades9,10,11, three in each cohort. The native63top-level requests include connected1.4withtwolettered children:64terminal requests inall. The55native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. All printed response graphs/maps are included in the question PDF; no further theory response, equipment, grading or companion file is listed. Native source ordering, printed whole task and section boundaries are preserved.

Reader note: native source caveat for 9.1. «Отражение»

Electrical question graph peak is0.5A onQ2 and archiveK4, but its blank answer form onQ3 prints0.6A. Preserve both native graph/form values.

Reader note: native source caveat for 9-3. Праща.

Native title Праща differs from catalogue Праца. K10 eq9 is severely horizontally compressed with vertically stretched glyphs in both MuPDF and Poppler; surrounding Symbol alpha/omega recover in MuPDF. Preserve native eq9 crop, do not invent its missing glyphs. Key cross-references and numerical mu0.40 versus preceding0.42 remain literal.

Reader note: native source caveat for 10.1. ЦУП

Preserve native period parenthesis, printed omega subscript2 ineq6 (personally reopened and resolved), π factor ineq15 versus540-degree result, native figure captions and both repeated blank response maps.

Reader note: native source caveat for 10.2. Электронный газ и неоднородный проводник

Preserve K17 drift substitution denominator1, K18 first numeric equality with ambiguous printed I/l shape (retained as an exact native crop), E2 numeric expression and label3.4 versus question3.3, beta=30 resistivity definition without correction.

Reader note: native source caveat for 10.3. Опыты Жана Перрена.

All Perrin book images, original English excerpts, photograph and apparatus remain source crops. Question viscosity1.005e-6 Pa·s, repeated rho0, q1.4 reference1.2, key terminal-speed factor9 and literal numerical substitutions/duplicate1.3 are retained. Full exact exponential time alternative retained.

Reader note: native source caveat for 11.1. Притяжение

Preserve all center-of-mass and differential-equation alternatives, stretched nativeeq3, native scaled equations and Coulomb c coefficient; do not silently correct factors.

Reader note: native source caveat for 11.2. Система автоматического наведения

Preserve native lens diagrams and detector graphic, mistaken mirror wording,eq15 tag and references16/17, and full control algorithm.

Reader note: native source caveat for 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Question1.4 remains one connected request with native a/b children; question top-level requests13, terminal leafrequests14. Native μ parameter wording versus epsilon0, incomplete1.8 sentence, isotope/footnotes and original article graphs/captions remain literal. Key32 eq26 badly compressed: retain original crop. Key1.7 prints3.6e-6 despite epsilon0=7.2e-7 and preceding minus sign; last native3.3 gives lifetime requested byq3.4 and does not explicitly answer crystal epsilon0 inq3.3, so mark available solution incomplete at that boundary.

Reader note: incomplete crystal-energy answer

The archive key does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. Its last heading3.3 gives the lifetime requested by question3.4 instead. Every available answer is retained under its literal printed heading; the solution is explicitly incomplete at the absent crystal-energy answer, without invented text.

Reader note: native overlapping cable and current graph

The original PDF places the cable bitmap at y291.3–432.6pt and the current graph at y417.8–602.7pt, so their boundaries overlap. The later graph white background intrinsically covers the lower a/I(x) glyphs even on the native full page. One complete original-column crop faithfully retains both scientific graphics and this original overlap; no missing label is reconstructed. The native drift illustration K16 includes an isolated dash and extra Delta t outside the cylinder; these intrinsic source artifacts remain literal. Both full originals remain available.

Оригинал в Архива: 2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2012_theoretical_solutions.pdf