Съдържание

BelPhO 2012, Заключителен етап — Задача 11-1. Притяжение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts,63top-level and64terminal native requests. Complete available archive keys, figures, native English excerpts, photographs, article credit, response grids/maps and all63actual crops covering64native graphic scopes retained. Literal source numerical/sign/label discrepancies and distorted native equation blocks preserved with separately attributed notes. Crystal-energy answer for question3.3 absent; last key3.3 answersquestion3.4 and solution remains explicitly incomplete without invention.

Условие

Две небольшие бусинки (материальные точки) одинаковой массы ( $m_1=m_2=m$ ) притягиваются друг к другу с некоторой центральной силой $F(r)$ , модуль которой зависит от расстояния $r$ между ними. Бусинки могут скользить без трения одна — по жесткой оси $Ox$ , а другая — по перпендикулярной ей жесткой оси $Oy$ . Бусинки начинают движение из состояния покоя, находясь на некоторых расстояниях $x_0$ и $y_0$ от начала координат соответственно. Силой тяжести и гравитационного взаимодействия бусинок пренебречь.

Бусинки на перпендикулярных осях и центральная сила

1 Покажите, что при любом (отличном от нуля, конечно!) виде зависимости $F(r)$ материальные точки одновременно окажутся в начале координат.

2 Найдите время движения бусинок до начала координат для случая $F(r)=F_0=\mathrm{const}$ .

3 Предположим, что бусинки соединены растянутой пружиной малой начальной длины, сила упругости которой меняется по закону $F(r)=-k\cdot r$ . Найдите время движения бусинок до начала координат в данном случае.

4 Пусть бусинки зарядили разноименными электрическими зарядами $+q$ и $-q$ . Через какое время они окажутся в точке начала координат в этом случае?

Подсказка: Вспомните третий закон Кеплера!

Решение

Наиболее простой и общий путь решения данной задачи — использование уравнения динамики для движения центра масс, именно он выбран в качестве основного. Возможны и другие пути решения, некоторые из них приведены в качестве альтернативных вариантов.

1. Изобразим силы, действующие на бусинки в процессе движения. Силы реакции осей $\vec N_1$ и $\vec N_2$ перпендикулярны соответствующим осям. Обозначим их равнодействующую через $\vec N=\vec N_1+\vec N_2$ .

Силы реакции, центральное притяжение и центр масс C

Поскольку каждая бусинка движется вдоль соответствующей оси, то ее ускорение в направлении, перпендикулярном данной оси отсутствует. Следовательно, справедливо равенство

\begin{cases}N_1=F_0\sin\alpha,\\N_2=F_0\sin\beta=F_0\cos\alpha,\end{cases}\qquad (1)

где $\alpha$ и $\beta$ углы, обозначенные на рисунке.

Рассматривая движение системы (две бусинки) в целом, заметим, что сумма сил притяжения бусинок равна нулю, поскольку эти силы являются внутренними. Следовательно, на движение центра масс влияют только силы реакции осей $\vec N_1$ и $\vec N_2$ , т.е. фактически их равнодействующая $\vec N$ .

Положение центра масс (точка $C$ на рисунке) в начальный момент времени задается координатами

\begin{cases}x_C=\frac{m_1}{m_1+m_2}x_0=\frac{x_0}2,\\y_C=\frac{m_2}{m_1+m_2}y_0=\frac{y_0}2,\end{cases}\qquad (2)

где $x_0$ и $y_0$ — начальные координаты бусинок.

Аналогично, проекции векторов скорости и ускорения центра масс на соответствующие оси координат в два раза меньше скоростей и ускорений самих бусинок.

Согласно основному закону динамики для ускорения центра масс системы в проекциях на соответствующие оси с учетом равенства (1) получим уравнения

\begin{cases}2ma_{xC}=-N_2=-F_0\cos\alpha,\\2ma_{yC}=-N_1=-F_0\sin\alpha,\end{cases}\qquad (3)

где $a_x$ и $a_y$ — проекции ускорения центра масс на координатные оси.

Как следует из (3), отношение проекций ускорений центра масс определяется отношением начальных смещений бусинок вдоль соответствующих осей

\frac{a_{xC}}{a_{yC}}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_0}{y_0}.\qquad (4)

Кроме того, из (3) можно сделать вывод, что вектор равнодействующей $\vec N$ двух сил $\vec N_1$ и $\vec N_2$ всегда «смотрит» в начало координат (см. рис) и равен по модулю силе взаимодействия $F_0$ .

Последовательные положения бусинок и параллельные отрезки

Следовательно, центр масс системы (точка $C$ ) будет двигаться по направлению к началу координат (вдоль отрезка $CO$ ) в течение всего времени движения. При этом отрезок 12 будет приближаться к началу координат, оставаясь параллельным самому себе, т.е. в процессе движения угол $\alpha$ будет оставаться постоянным.

Не смотря на очевидность сделанного утверждения докажем это.

Действительно, за малый промежуток времени $\Delta t$ после начала движения бусинки сместятся на расстояния

\Delta x=\frac{a_x\Delta t^2}2;\qquad\Delta y=\frac{a_y\Delta t^2}2,\qquad (5)

причем отношение этих расстояний определяется отношением ускорений бусинок в начальный момент времени

\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{a_x}{a_y}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_0}{y_0}.\qquad (6)

Однако отношение

\frac{x_0}{y_0}=\frac{x_0-\Delta x}{y_0-\Delta y}=\cot\alpha=\mathrm{const}\qquad (7)

будет сохраняться при выполнении условия

\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{x_0}{y_0},\qquad (8)

что совпадает с равенством (6). Таким образом, через малый промежуток времени $\Delta t$ после начала движения отрезок 12 на рисунке сохранит свойство параллельности самому себе. Далее следует заметить, что и скорости бусинок по прошествии промежутка времени $\Delta t$ будут находиться в том же отношении, поэтому и для последующих интервалов времени будет выполняться соотношение (8).

Таким образом, бусинки попадут в начало координат одновременно (и вместе с центром масс!), причем интересно, что данный вывод не зависит от вида зависимости силы $F(r)$ притяжения между бусинками.

Существенно в данном случае, чтобы сила притяжения была центральной, т.е. направленной вдоль отрезка, соединяющего бусинки в данный момент.

Альтернативные решения:

Для доказательства факта одновременного попадания бусинок в начало координат при произвольном взаимодействии $F(r)$ запишем уравнения движения вдоль каждой из осей

\begin{cases}ma_1=-F\cos\alpha=-F(r)\frac xr,\\ma_2=-F\sin\alpha=-F(r)\frac yr,\end{cases}\qquad (9)

где $x$ и $y$ представляют собой текущие координаты бусинок. Переходя к безразмерным координатам

\xi=\frac x{x_0},\qquad\eta=\frac y{y_0},

видим, что получаются одинаковые уравнения движения при одинаковых начальных условиях

\xi''(t)=-\frac{F(r)}m\cdot\frac\xi{\sqrt{\xi^2+\eta^2}},\qquad\xi_0=1,

\eta''(t)=-\frac{F(r)}m\cdot\frac\eta{\sqrt{\xi^2+\eta^2}},\qquad\eta_0=1.

В таком случае решения также будут одинаковыми, что означает равенство времен движений бусинок.

2. Если сила притяжения бусинок постоянна по модулю, то движение центра масс (и бусинок) будет равноускоренным

2ma_C=N\quad\Rightarrow\quad a_C=\frac N{2m}=\frac F{2m},\qquad (10)

где $a$ — модуль ускорения центра масс (направление — к началу координат). Следовательно, искомое время находим по известным формулам

t=\sqrt{\frac{2S}{a_C}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{\frac{x_0^2}4+\frac{y_0^2}4}}{F/(2m)}}=\sqrt{\frac{2m\sqrt{x_0^2+y_0^2}}F}.\qquad (11)

Альтернативные решения:

Рассмотрим случай, когда сила притяжения между бусинками постоянна по модулю $F(r)=F_0$ . Тогда можем записать второй закон Ньютона для каждой бусинки в виде

ma_1=-F_0\frac xr=-F_0\frac{x_0}{r_0},\qquad ma_2=-F_0\frac yr=-F_0\frac{y_0}{r_0}.

В таком случае движение бусинок будет равноускоренным, а уравнения движения будут иметь вид

x(t)=x_0-\frac{F_0}{2m}\cdot\frac{x_0}{r_0}t^2;\qquad y(t)=y_0-\frac{F_0}{2m}\cdot\frac{y_0}{r_0}t^2.

Из последних уравнений следует, что время движения бусинок в этом случае

t=\sqrt{\frac{2mr_0}{F_0}}=\sqrt{\frac{2m\sqrt{x_0^2+y_0^2}}{F_0}}.

3. В случае упругой связи, согласно условию, $F(r)=-k\cdot r$ , поэтому сила будет меняться по модулю. В этом случае уравнение (3) примет вид

2ma_C=-F(r)\quad\Rightarrow\quad a_C=-\frac{kr}{2m}.\qquad (12)

Учитывая, что в данном случае $a_C=r''(t)/2$ , получим уравнение гармонических колебаний в виде

r''(t)+\frac kmr(t)=0,\qquad (13)

с периодом

T=2\pi\sqrt{\frac mk}.\qquad (14)

Следовательно, центр масс (вместе с бусинками) «доберется» до начала координат за четверть периода колебаний

t=\frac T4=\frac\pi2\sqrt{\frac mk}.\qquad (15)

Альтернативные решения:

В системе уравнений (9) запишем явное выражение для модуля силы $F=kr$

\begin{cases}ma_1=-F(r)\frac xr=-kx,\\ma_2=-F(r)\frac yr=-ky.\end{cases}

Оба уравнения являются уравнениями гармонических колебаний с периодом, определяемым формулой (14).

4. При заряженных бусинках справедлив закон Кулона, согласно которому модуль силы притяжения разноименных зарядов в вакууме имеет вид

F(r)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r^2}.\qquad (16)

В этом случае второй закон Ньютона для центра масс запишется следующим образом

2ma_C=-F(r)=-\frac1{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q^2}{r^2}\quad\Rightarrow\quad a_C=-\frac c{r^2(t)},\qquad (17)

где $c=q^2/(4\pi\varepsilon_0m)=\mathrm{const}$ , причем в начальный момент времени $r(t=0)=r_0$ .

Заметим, что уравнение (17) формально совпадает с уравнением движения под действием силы гравитации Ньютона, только значение размерной константы $c$ будет определяться другими параметрами.

Используя подсказку условия (третий закон Кеплера), рассмотрим движение планеты (центра масс системы) по круговой траектории (частный случай эллипса, у которого оба фокуса совпадают) радиусом $r/2$ .

В этом случае получаем

2m\omega^2\frac r2=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r^2},\qquad (18)

\omega=\frac q{\sqrt{4\pi\varepsilon_0mr^3}}.\qquad (19)

Как следует из (19) полный период обращения по окружности

T_1=\frac{2\pi}\omega=2\pi\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0mr^3}{q^2}}=\frac{4\pi}q\sqrt{\pi\varepsilon_0m\sqrt{(x_0^2+y_0^2)^3}}.\qquad (20)

Теперь рассмотрим гравитационное «падение» центра масс бусинок в начало координат по отрезку $CO$ (см. рис. выше). Отрезок можно считать «стянутым» эллипсом, фокусы $F$ которого находятся практически на его концах. Следовательно, его большая полуось будет равна $a=r/4$ . Искомое время движения заряженных бусинок до начала координат составит половину периода обращения $T_2$ по такому вытянутому эллипсу с большой полуосью $r/4$ .

С учетом третьего закона Кеплера

\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{(r/2)^3}{(r/4)^3}\quad\Rightarrow\quad T_2=\frac{T_1}{\sqrt8}=\frac{T_1}{2\sqrt2},\qquad (21)

t=\frac{T_2}2=\frac{T_1}{4\sqrt2}=\frac\pi{q\sqrt2}\sqrt{\pi\varepsilon_0m\sqrt{(x_0^2+y_0^2)^3}}.\qquad (22)

В данной части задачи также можно воспользоваться альтернативным вариантом решения, так как уравнения (9) формально совпадают с уравнениями динамики движения в центральном поле в проекциях на декартовые оси координат.

Reader note: complete obtainable source and archive authority

Nine whole tasks belong to grades9,10,11, three in each cohort. The native63top-level requests include connected1.4withtwolettered children:64terminal requests inall. The55native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. All printed response graphs/maps are included in the question PDF; no further theory response, equipment, grading or companion file is listed. Native source ordering, printed whole task and section boundaries are preserved.

Reader note: native source caveat for 9.1. «Отражение»

Electrical question graph peak is0.5A onQ2 and archiveK4, but its blank answer form onQ3 prints0.6A. Preserve both native graph/form values.

Reader note: native source caveat for 9-3. Праща.

Native title Праща differs from catalogue Праца. K10 eq9 is severely horizontally compressed with vertically stretched glyphs in both MuPDF and Poppler; surrounding Symbol alpha/omega recover in MuPDF. Preserve native eq9 crop, do not invent its missing glyphs. Key cross-references and numerical mu0.40 versus preceding0.42 remain literal.

Reader note: native source caveat for 10.1. ЦУП

Preserve native period parenthesis, printed omega subscript2 ineq6 (personally reopened and resolved), π factor ineq15 versus540-degree result, native figure captions and both repeated blank response maps.

Reader note: native source caveat for 10.2. Электронный газ и неоднородный проводник

Preserve K17 drift substitution denominator1, K18 first numeric equality with ambiguous printed I/l shape (retained as an exact native crop), E2 numeric expression and label3.4 versus question3.3, beta=30 resistivity definition without correction.

Reader note: native source caveat for 10.3. Опыты Жана Перрена.

All Perrin book images, original English excerpts, photograph and apparatus remain source crops. Question viscosity1.005e-6 Pa·s, repeated rho0, q1.4 reference1.2, key terminal-speed factor9 and literal numerical substitutions/duplicate1.3 are retained. Full exact exponential time alternative retained.

Reader note: native source caveat for 11.1. Притяжение

Preserve all center-of-mass and differential-equation alternatives, stretched nativeeq3, native scaled equations and Coulomb c coefficient; do not silently correct factors.

Reader note: native source caveat for 11.2. Система автоматического наведения

Preserve native lens diagrams and detector graphic, mistaken mirror wording,eq15 tag and references16/17, and full control algorithm.

Reader note: native source caveat for 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Question1.4 remains one connected request with native a/b children; question top-level requests13, terminal leafrequests14. Native μ parameter wording versus epsilon0, incomplete1.8 sentence, isotope/footnotes and original article graphs/captions remain literal. Key32 eq26 badly compressed: retain original crop. Key1.7 prints3.6e-6 despite epsilon0=7.2e-7 and preceding minus sign; last native3.3 gives lifetime requested byq3.4 and does not explicitly answer crystal epsilon0 inq3.3, so mark available solution incomplete at that boundary.

Reader note: incomplete crystal-energy answer

The archive key does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. Its last heading3.3 gives the lifetime requested by question3.4 instead. Every available answer is retained under its literal printed heading; the solution is explicitly incomplete at the absent crystal-energy answer, without invented text.

Reader note: native overlapping cable and current graph

The original PDF places the cable bitmap at y291.3–432.6pt and the current graph at y417.8–602.7pt, so their boundaries overlap. The later graph white background intrinsically covers the lower a/I(x) glyphs even on the native full page. One complete original-column crop faithfully retains both scientific graphics and this original overlap; no missing label is reconstructed. The native drift illustration K16 includes an isolated dash and extra Delta t outside the cylinder; these intrinsic source artifacts remain literal. Both full originals remain available.

Оригинал в Архива: 2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2012_theoretical_solutions.pdf