Съдържание

BelPhO 2012, Заключителен етап — Задача 11-2. Система автоматического наведения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts,63top-level and64terminal native requests. Complete available archive keys, figures, native English excerpts, photographs, article credit, response grids/maps and all63actual crops covering64native graphic scopes retained. Literal source numerical/sign/label discrepancies and distorted native equation blocks preserved with separately attributed notes. Crystal-energy answer for question3.3 absent; last key3.3 answersquestion3.4 and solution remains explicitly incomplete without invention.

Условие

В этой задаче мы предлагаем Вам рассмотреть упрощенную модель системы наведения ракет. Оптическая схема системы представлена на рис 1. Ее основа — две собирающие линзы $L_1$ и $L_2$ с фокусными расстояниями, равными $F_1$ и $F_2$ соответственно. Расстояние между фокусами линз равно $b$ . Главная оптическая ось второй линзы параллельна оси первой линзы и расположена на некотором расстоянии $a$ от нее. Лучи света, испускаемого мишенью, собираются линзой $L_1$ . Линза $L_2$ проецирует изображение на экран $S$ .

Рис. 1. Оптическая схема системы с линзами L₁/L₂ и экраном S

В идеальном случае, когда ракета движется строго на мишень, лучи света идут параллельно главной оптической оси линзы $L_1$ ( $\alpha=0$ ).

1 Определите, на каком расстоянии $f$ от центра второй линзы необходимо установить экран, чтобы получить четкое изображение. На каком расстоянии $r_0$ от оси системы (главной оптической оси линзы $L_1$ ) будет находиться изображение?

2 Линза $L_2$ вращается с некоторой угловой скоростью $\omega$ так, что ее ось описывает на экране окружность с радиусом $a$ и остается всегда параллельной оптической оси первой линзы. При этом в случае, когда ракета летит прямо на цель, изображение описывает на экране окружность с радиусом $r_0$ . Когда ракета отклоняется от цели на угол $\alpha$ , изображение на экране искажается.

Считая угол $\alpha$ малым, определите минимальное и максимальное расстояние от центра экрана до изображения.

3 По какой траектории будет происходить движение изображения. Ответ обоснуйте. Изобразите траекторию движения. Считайте, что цель отклонилась строго в направлении оси $Oy$ .

4 Далее для упрощения вычислений, будем считать, что расстояние между фокусами линз равно фокусному расстоянию второй линзы, т. е. $b=F_2$ .

Основа системы автоматического управления — четыре линейных оптических датчика, расположенных на экране вдоль осей $Ox$ и $Oy$ перпендикулярно друг другу (рис. 2).

Рис. 2. Четыре линейных датчика 1–4 на экране

Считая, что цель отклонилась строго в направлении оси $Oy$ на некоторый угол $\alpha$ , получите выражения для интервалов времени между последовательными срабатываниями датчиков.

5 Предложите алгоритм работы системы управления ракеты.

Решение

1. Лучи света, параллельные оси системы (главной оптической оси линзы $L_1$ ), линза $L_1$ собирает в фокусе $F_1$ на расстоянии $d=F_2+b$ от оптического центра линзы $L_2$ . Эта точка будет являться предметом для линзы $L_2$ . Записав формулу тонкой линзы

\frac1{F_2}=\frac1f+\frac1d,\qquad (1)

получим:

f=\frac{F_2(F_2+b)}b.\qquad (2)

Поперечное увеличение линзы $L_2$ :

\frac{r_0-a}a=\frac f{F_2+b}.\qquad (3)

Таким образом, расстояние от изображения до оси системы:

r_0=a\left(1+\frac{F_2}b\right).\qquad (4)

2. Лучи, идущие под углом $\alpha$ к оси системы, линза $L_1$ собирает в точке, лежащей на побочной оптической оси на том же расстоянии $F_1$ от плоскости линзы. Расстояние от оси системы до этой точки равно:

h=F_1\tan\alpha\approx\alpha F_1.\qquad (5)

Расстояние от точки-предмета до оптической оси линзы $L_2$ (из-за ее вращения) изменяется в пределах от $a+h$ до $a-h$ , при этом расстояние от изображения до этой оси изменяется от $r_{\max}-a$ до $r_{\min}-a$ .

Выражение для поперечного увеличения линзы в первом случае будет иметь вид:

\frac{r_{\max}-a}{a+h}=\frac fd=\frac{F_2}b.\qquad (6)

Тогда максимальное расстояние от оси системы до изображения точки:

r_{\max}=a\left(1+\frac{F_2}b\left(1+\frac{F_1\alpha}a\right)\right).\qquad (7)

Проведя аналогичные вычисления для минимального расстояния, получим:

r_{\min}=a\left(1+\frac{F_2}b\left(1-\frac{F_1\alpha}a\right)\right).\qquad (8)

3. На рис.1 изображен вид системы спереди. Ось системы проходит через точку $O$ . Точка-предмет находится на расстоянии $z=F_1\alpha$ от оси в точке $A$ . Ось линзы $L_2$ двигается по окружности радиуса $a$ , центр линзы находится в точке $B$ . На заднем плане изображена часть экрана $S$ . В точке $C$ находится изображение. При условии $b=F_2$ Поперечное увеличение равно $\Gamma=F_2/b$ , поэтому: $BC=AB\cdot\Gamma=\Gamma\rho$ .

Рис. 1. Построение изображения на экране, точки A/B/C/D и две окружности

Поставим на оси $OY$ точку $D$ так, что $OD=\Gamma\cdot OA$ . Тогда треугольники $ADC$ и $AOB$ будут подобными. А это значит, что расстояние $r=\Gamma a$ и будет таким при любом положении зеркала.

Таким образом, изображение на экране описывает окружность с радиусом $r=\Gamma a$ и центр ее находится на расстоянии $\Gamma z$ от оси системы.

4. При пересечении второго детектора взаимное расположение линзы предмета и изображения будет таким, как на рис. 2.

Рис. 2. Геометрия пересечения второго детектора

При этом:

\rho=a,\qquad (9)

\sin\alpha=\frac z{2a}.\qquad (10)

Линза при этом поворачивается на угол:

\varphi=\pi/2+\alpha.\qquad (15)

Поэтому между срабатываниями 1-го и 2-го датчиков пройдет время:

\tau_1=\frac1\omega\left(\frac\pi2+\arcsin\left(\frac{F_1\alpha}{2a}\right)\right).\qquad (11)

Время между срабатываниями 2-го и 3-го равно:

\tau_2=\frac1\omega\left(\frac\pi2-\arcsin\left(\frac{F_1\alpha}{2a}\right)\right).\qquad (12)

Время между срабатываниями 3-го и 4-го равно $\tau_2$ , а между срабатываниями 4-го и 1-го — $\tau_1$ .

5. Как следует из выражений (16) и (17), чем больше отклонение цели вдоль оси $Oy$ , тем больше время между срабатываниями датчиков 1–2 и 4–1, соответственно, меньше — между датчиками 2–3 и 3–4. Простейший алгоритм работы системы управления — сравнить промежутки времени между срабатываниями датчиков, выбрать наименьший и поворачивать нос ракеты в направлении, задаваемом соответствующими датчиками.

Reader note: complete obtainable source and archive authority

Nine whole tasks belong to grades9,10,11, three in each cohort. The native63top-level requests include connected1.4withtwolettered children:64terminal requests inall. The55native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. All printed response graphs/maps are included in the question PDF; no further theory response, equipment, grading or companion file is listed. Native source ordering, printed whole task and section boundaries are preserved.

Reader note: native source caveat for 9.1. «Отражение»

Electrical question graph peak is0.5A onQ2 and archiveK4, but its blank answer form onQ3 prints0.6A. Preserve both native graph/form values.

Reader note: native source caveat for 9-3. Праща.

Native title Праща differs from catalogue Праца. K10 eq9 is severely horizontally compressed with vertically stretched glyphs in both MuPDF and Poppler; surrounding Symbol alpha/omega recover in MuPDF. Preserve native eq9 crop, do not invent its missing glyphs. Key cross-references and numerical mu0.40 versus preceding0.42 remain literal.

Reader note: native source caveat for 10.1. ЦУП

Preserve native period parenthesis, printed omega subscript2 ineq6 (personally reopened and resolved), π factor ineq15 versus540-degree result, native figure captions and both repeated blank response maps.

Reader note: native source caveat for 10.2. Электронный газ и неоднородный проводник

Preserve K17 drift substitution denominator1, K18 first numeric equality with ambiguous printed I/l shape (retained as an exact native crop), E2 numeric expression and label3.4 versus question3.3, beta=30 resistivity definition without correction.

Reader note: native source caveat for 10.3. Опыты Жана Перрена.

All Perrin book images, original English excerpts, photograph and apparatus remain source crops. Question viscosity1.005e-6 Pa·s, repeated rho0, q1.4 reference1.2, key terminal-speed factor9 and literal numerical substitutions/duplicate1.3 are retained. Full exact exponential time alternative retained.

Reader note: native source caveat for 11.1. Притяжение

Preserve all center-of-mass and differential-equation alternatives, stretched nativeeq3, native scaled equations and Coulomb c coefficient; do not silently correct factors.

Reader note: native source caveat for 11.2. Система автоматического наведения

Preserve native lens diagrams and detector graphic, mistaken mirror wording,eq15 tag and references16/17, and full control algorithm.

Reader note: native source caveat for 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Question1.4 remains one connected request with native a/b children; question top-level requests13, terminal leafrequests14. Native μ parameter wording versus epsilon0, incomplete1.8 sentence, isotope/footnotes and original article graphs/captions remain literal. Key32 eq26 badly compressed: retain original crop. Key1.7 prints3.6e-6 despite epsilon0=7.2e-7 and preceding minus sign; last native3.3 gives lifetime requested byq3.4 and does not explicitly answer crystal epsilon0 inq3.3, so mark available solution incomplete at that boundary.

Reader note: incomplete crystal-energy answer

The archive key does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. Its last heading3.3 gives the lifetime requested by question3.4 instead. Every available answer is retained under its literal printed heading; the solution is explicitly incomplete at the absent crystal-energy answer, without invented text.

Reader note: native overlapping cable and current graph

The original PDF places the cable bitmap at y291.3–432.6pt and the current graph at y417.8–602.7pt, so their boundaries overlap. The later graph white background intrinsically covers the lower a/I(x) glyphs even on the native full page. One complete original-column crop faithfully retains both scientific graphics and this original overlap; no missing label is reconstructed. The native drift illustration K16 includes an isolated dash and extra Delta t outside the cylinder; these intrinsic source artifacts remain literal. Both full originals remain available.

Оригинал в Архива: 2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2012_theoretical_solutions.pdf