Съдържание

Условие Часть 1. Энергия отдачи.Часть 2. Эффект Доплера.Часть 3. За что дают Нобелевские премии?Решение

BelPhO 2012, Заключителен етап — Задача 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts,63top-level and64terminal native requests. Complete available archive keys, figures, native English excerpts, photographs, article credit, response grids/maps and all63actual crops covering64native graphic scopes retained. Literal source numerical/sign/label discrepancies and distorted native equation blocks preserved with separately attributed notes. Crystal-energy answer for question3.3 absent; last key3.3 answersquestion3.4 and solution remains explicitly incomplete without invention.

Условие

Около 1852 Дж. Г. Стокс впервые наблюдал флуоресценцию — поглощение флюоритом падающего света с последующим испусканием света поглотителем. В 1900 П. Виллард обнаружил гамма-лучи — испускаемое радием монохроматическое электромагнитное излучение с высокой энергией фотонов. В 1904 Р. Вуд продемонстрировал резонансную оптическую флуоресценцию, которая характеризуется испусканием поглощённой световой энергии в виде излучения той же частоты.

Эффект Мёссбауэра или ядерный гамма-резонанс, открытый в 1958 году Рудольфом Мёссбауэром в Институте им. М. Планка в Гейдельберге (ФРГ), состоит в резонансном испускании или поглощении гамма-лучей без отдачи.

В 1961 году за открытие и теоретическое обоснование явления ядерного гамма-резонанса Р. Л. Мёссбауэру была присуждена Нобелевская премия по физике.

Введение.

Не смотря на то, что процессы испускания и поглощения фотонов атомами и ядрами строго описываются только в рамках квантовых представлений, многие стороны этих явлений могут быть качественно объяснены в рамках классической физики. Так каждый атом имеет набор собственных частот, поэтому испускает электромагнитные волны со строго определенным набором частот (в инфракрасном, видимом и ультрафиолетовом диапазонах). При поглощении света атомами поглощается излучение только тех частот, которые близки к собственным частотам колебаний, подобно традиционному резонансу в классических системах. Аналогичная ситуация и с излучением атомных ядер — только энергия квантов этого излучения лежит в области гамма-излучения (поэтому в этой области говорят не о частотах и длинах волн, а об энергии квантов).

Так как энергия (и импульс) гамма квантов велика, то при их испускании ядром, само ядро получает импульс отдачи. Следовательно, уносит часть энергии, уменьшая тем самым энергию испущенного гамма-кванта. Тем самым гамма-излучение, испущенное ядром не поглощается другим аналогичным ядром. Р. Мессбауэр показал, что в некоторых случаях излучение гамма-квантов может происходить без отдачи, следовательно, аналогичные ядра, находящиеся в аналогичных условиях могут сильно (резонансно) поглощать это излучение.

В задаче использованы материалы статьи самого Р. Мёссбауэра «РЕЗОНАНСНОЕ ЯДЕРНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ γ-КВАНТОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ БЕЗ ОТДАЧИ», опубликованной в журнале «Успехи физических наук» в декабре 1960 года (том LXXII, вып. 4).

Часть 1. Энергия отдачи.

Пружинная пушка состоит из цилиндрического закрытого с одной стороны ствола, внутри которого расположена упругая пружина (рис. 1 а). Пружина выталкивает шарик-снаряд. Отношение массы снаряда к массе пушки равно $m/M=\mu$ . Если закрепить ствол, то снаряд вылетает из пушки со скоростью $v_0$ (рис. 1 б). Считайте, что во всех случаях начальное сжатие пружины постоянно, а в процессе выстрела пружина полностью распрямляется.

Рис. 1, а/б/в. Пружинная пушка до выстрела, закрепленная и свободная

1.1 Чему будет равна скорость снаряда $v$ , если ствол пушки не закреплен и может свободно двигаться (рис. 1 в)?

1.2 Найдите относительное изменение скорости снаряда $\Delta v/v_0=(v-v_0)/v_0$ , возникающее вследствие отдачи ствола, считая отношение массы снаряда к массе ствола $\mu$ малым.

1.3 Найдите относительное изменение энергии снаряда $\Delta E/E_0=(E-E_0)/E_0$ , возникающее вследствие отдачи ствола, считая отношение массы снаряда к массе ствола $\mu$ малым.

1.4 Неподвижное ядро массы³ $M$ испускает гамма-квант с энергией $h\nu_0$ . Чему будет равна эта энергия, если этот квант испускается свободным ядром? Чему равно относительное изменение энергии гамма кванта вследствие отдачи ядра. Ответы выразите через безразмерный параметр $\mu$ равный отношению энергии гамма-кванта к энергии покоя ядра $\varepsilon_0=h\nu_0/(Mc^2)$ (здесь и далее $c$ — скорость света, $h$ — постоянная Планка). Также рекомендуем использовать величину $\varepsilon=h\nu/(Mc^2)$ — отношение энергии гамма-кванта к энергии покоя ядра.

Испускание гамма-кванта закрепленным и свободным ядром

а) решите задачу, считая, что движение ядра подчиняется законам классической физики;

б) решите задачу в релятивистском приближении

Напоминание: в специальной теории относительности доказано, что энергия частицы $E$ и ее импульс $p$ связаны соотношением

E^2=M^2c^4+p^2c^2.\qquad (1)

³ Здесь и далее речь идет о массе покоя, с современной точки зрения нет смысла говорить о массе движущегося тела.

1.5 Найдите относительное изменение энергии гамма-кванта вследствие отдачи ядра, считая параметр $\varepsilon_0$ малым. Сравните эти изменения, рассчитанные в классическом и релятивистском приближениях.

1.6 В своих экспериментах Р. Мёссбауэр использовал ядра одного из изотопов иридия $\mathrm{Ir}^{191}$ , испускающего кванты с энергией⁴ $E_0=129\,\text{кЭв}$ .

Найдите энергию покоя ядра иридия $\mathrm{Ir}^{191}$ в электронвольтах.

Оцените параметр $\varepsilon_0$ для этого ядра.

Оцените скорость ядра $\mathrm{Ir}^{191}$ после испускания гамма-кванта.

Можно ли для описания эффектов отдачи пользоваться классическим приближением?

Масса протона (и примерно ей равная масса нейтрона) равна $m_p=1{,}7\cdot10^{-27}\,\text{кг}$ , скорость света $c=3{,}0\cdot10^8\,\text{м}/\text{с}$ , заряд электрона $e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{Кл}$ .

⁴ В ядерной физике энергию принято измерять в Эв (электронвольтах). 1Эв — энергия, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов в 1 вольт.

1.7 Рассчитайте относительный сдвиг энергии гамма-кванта, возникающий вследствие отдачи ядра.

1.8 Ядро может поглотить гамма-квант, если во внутреннюю энергию переходит энергия $E_0$ , равная энергии гамма-кванта, испущенного таким же неподвижным ядром. должна равняться энергия гамма-кванта $E=h\nu$ , что бы он мог поглотиться свободным ядром $\mathrm{Ir}^{191}$ ? Найдите только относительную разность этих энергий $\Delta E/E_0$ .

Часть 2. Эффект Доплера.

2.1 Неподвижный источник, испускает волну с частотой $\nu_0$ . Чему будет равна частота волны, если источник движется с постоянной скоростью $v$ в направлении распространения волны? Скорость волны равна $c$ .

Часть 3. За что дают Нобелевские премии?

3.1 Для компенсации сдвига энергий гамма-квантов, предлагается использовать эффект Доплера. Для этого источник, содержащий атомы $\mathrm{Ir}^{191}$ , приближают к поглотителю, также содержащему атомы $\mathrm{Ir}^{191}$ . Оцените скорость, с которой должен приближаться источник к поглотителю, чтобы началось эффективное резонансное поглощение гамма-квантов? (рис. из статьи Р. Мёссбауэра).

Считайте, что все атомы иридия (в источнике и в поглотителе) свободны и изначально покоятся.

Исходная экспериментальная установка из статьи со всей подписью

3.2 Качественно опишите влияние температуры на эффективность поглощения?

3.3 Свои эксперименты Р. Мёссбауэр проводил при низких температурах. В результате проведенных измерений оказалось, что зависимость эффективности поглощения от скорости источника имеет вид, показанный на рисунке (обратите внимание — шкала скоростей в см/с).

Исходная кривая поглощения с обеими шкалами, точками, погрешностями и подписью

Р. Мэссбауэр предположил (и оказался прав), что при определенных условиях атомы в кристаллах оказываются жестко связанными, поэтому импульс отдачи передается не отдельному ядру, а всему кристаллу.

Чему равен параметр $\varepsilon_0$ в этом случае?

3.4 Ядро, как и атом, испускает не строго одну единственную частоту, а набор частот в некотором малом интервале $\Delta\nu$ . Причем энергии квантов лежат в некотором диапазоне шириной $\Delta E$ , который определяется соотношением неопределенности $\Delta E\cdot\tau\approx h$ , где $\tau$ — время жизни ядра в возбужденном состоянии. Используя приведенный график, оцените время жизни ядра $\mathrm{Ir}^{191}$ в возбужденном состоянии.

Постоянная Планка равна $h=6{,}64\cdot10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}$ .

Решение

Внимание: Непълно решение

Native key last heading3.3 supplies the lifetime requested by question3.4, but does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. All obtainable key material retained; no missing answer invented.

1.1 Запишем уравнения законов сохранения импульса и энергии для снаряда и пушки

\begin{cases}mv=Mu,\\\frac{mv^2}2+\frac{Mu^2}2=\frac{mv_0^2}2.\end{cases}\qquad (1)

Свободная пушка, снаряд и скорости v/u в архивном ключе

Здесь $mv_0^2/2$ — энергия сжатой пружины, которая одинакова при выстреле из закрепленной и незакрепленной пушки.

Разделив оба уравнения на массу пушки получим

\begin{cases}\mu v=u,\\\frac{\mu v^2}2+\frac{u^2}2=\frac{\mu v_0^2}2.\end{cases}\qquad (2)

Подставляя выражения для скорости отдачи из первого уравнения во второе, найдем искомую скорость снаряда

\mu v^2+\mu^2v^2=\mu v_0^2\quad\Rightarrow\quad v=\frac{v_0}{\sqrt{1+\mu}}.\qquad (3)

1.2 Если $\mu$ мало, то для скорости наряда можно записать

v=\frac{v_0}{\sqrt{1+\mu}}\approx v_0\left(1-\frac12\mu\right).\qquad (4)

Тогда относительное изменение скорости снаряда определяется выражением

\frac{\Delta v}{v_0}=\frac{v-v_0}{v_0}=-\frac12\mu.\qquad (5)

1.3 Потеря энергии снаряда равна кинетической энергии, преобретаемой стволом при отдаче

\Delta E=-\frac{Mu^2}2.\qquad (6)

Следовательно, относительное изменение энергии фотона в следствие отдачи равно

\frac{\Delta E}{E_0}=-\frac{Mu^2}{mv_0^2}=-\frac{\mu v^2}{v_0^2}=-\frac\mu{1+\mu}.\qquad (7)

При малых $\mu$ можно пренебречь этой малой величиной в знаменателе, тогда

\frac{\Delta E}{E_0}=-\frac\mu{1+\mu}\approx-\mu.\qquad (8)

1.4 Законы сохранения импульса и энергии в данном случае выражаются уравнениями

Mu=\frac{h\nu}c,\qquad (9)

h\nu_0=h\nu+\frac{Mu^2}2.\qquad (10)

Выражая из уравнения (9) $u=h\nu/(Mc)$ и подставляя в уравнение (10), получим

h\nu_0=h\nu+\frac M2\left(\frac{h\nu}{Mc}\right)^2.\qquad (11)

Для упрощения алгебраических выкладок разделим на это уравнение на $Mc^2$ :

\frac{h\nu_0}{Mc^2}=\frac{h\nu}{Mc^2}+\frac12\left(\frac{h\nu}{Mc^2}\right)^2.

Используя предложенные параметры, получаем простое квадратное уравнение:

\varepsilon_0=\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}2,\qquad (12)

положительное решение которого

\varepsilon=\sqrt{1+2\varepsilon_0}-1.\qquad (13)

.возвращаясь к обычным единицам, получим

h\nu=Mc^2\left(\sqrt{1+2\frac{h\nu_0}{Mc^2}}-1\right).\qquad (14)

В релятивистском подходе систему уравнений законов сохранения импульса и энергии имеет вид

\begin{cases}p=\frac{h\nu}c,\\h\nu_0+Mc^2=h\nu+E_n.\end{cases}\qquad (15)

где $E_n$ . $p$ — энергия и импульс, приобретенные ядром. Она связанна с импульсом ядра соотношением

E_n^2=M^2c^4+p^2c^2.\qquad (16)

Выражая из системы (15) импульс и энергию ядра и подставляя в уравнение (16), получим

(h\nu_0-h\nu+Mc^2)^2=(Mc^2)^2+(h\nu)^2.\qquad (17)

Как и ранее разделим это уравнение на $(Mc^2)^2$ и используем относительные единицы, в результате чего получим квадратное уравнение:

(\varepsilon_0-\varepsilon+1)^2=1+\varepsilon^2.\qquad (18)

Решение этого уравнение не сложно

(\varepsilon_0+1)^2-2\varepsilon(\varepsilon_0+1)+\varepsilon^2=1+\varepsilon^2\quad\Rightarrow\quad\varepsilon=\frac{(\varepsilon_0+1)^2-1}{2(\varepsilon_0+1)}.\qquad (19)

1.5 При $\varepsilon_0\ll1$ относительное изменение энергии гамма-кванта также будет малым. Поэтому приближенные выражения можно получить непосредственно из уравнений для величины $\varepsilon$ . Так из уравнения (12) следует:

\Delta\varepsilon=\varepsilon-\varepsilon_0=-\frac{\varepsilon^2}2\approx-\frac{\varepsilon_0^2}2\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta\varepsilon}{\varepsilon_0}\approx-\frac{\varepsilon_0}2.\qquad (20)

А из уравнения (18) получим

(1-\Delta\varepsilon)^2=1+\varepsilon^2\quad\Rightarrow\quad1-2\varepsilon\cdot\Delta\varepsilon+(\Delta\varepsilon)^2=1+\varepsilon^2\quad\Rightarrow\quad-2\varepsilon\cdot\Delta\varepsilon\approx\varepsilon^2\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta\varepsilon}{\varepsilon_0}\approx-\frac12\varepsilon_0.\qquad (21)

Как следует из полученных формул, в первом приближении оба подхода дают одинаковые результаты.

1.6 Энергия покоя ядра $\mathrm{Ir}^{191}$ равна

E=\frac{Mc^2}e=\frac{191\cdot1{,}7\cdot10^{-27}\cdot(3{,}0\cdot10^8)^2}{1{,}6\cdot10^{-19}}=1{,}79\cdot10^{11}\,\text{эВ}.\qquad (22)

Следовательно, введенный параметр равен

\varepsilon_0=\frac{129\cdot10^3}{1{,}79\cdot10^{11}}\approx7{,}2\cdot10^{-7}.\qquad (23)

Что значительно меньше 1, поэтому классическое приближение вполне применимо. Энергия отдачи в соответствии с формулой (19) равна

\Delta\varepsilon\approx-\frac{\varepsilon_0^2}2\quad\Rightarrow\quad\frac{Mv^2}2=Mc^2\frac{\varepsilon_0^2}2\quad\Rightarrow\quad v=c\varepsilon_0\approx2{,}2\cdot10^2\,\text{м}/\text{с}.\qquad (24)

1.7 Относительный сдвиг энергии гамма кванта равен $\Delta\varepsilon/\varepsilon_0\approx-\frac12\varepsilon_0\approx3{,}6\cdot10^{-6}$ .

1.8 Энергия гамма кванта должна быть больше, чем $E_0$ , так как часть энергии кванта перейдет в кинетическую энергию движения ядра. Запишем уравнения законов сохранения импульса и энергии, при условии, что гамма-квант поглотился

\begin{cases}\frac{h\nu}c=Mu,\\h\nu=h\nu_0+\frac{Mu^2}2.\end{cases}\qquad (25)

Так как разность энергий является малой, то эти уравнения модно решать приближенно (и быстро):

Исходный искаженный набор выкладки (26), включая конечное относительное изменение

Таким образом, относительный сдвиг, который приведет к поглощению гамма-кванта, равен сдвигу при отдаче, только направлен в другую сторону (в сторону увеличения частоты).

Часть 2. Эффект Доплера.

2.1 Если источник движется, то длина испущенной волны уменьшится на расстояние, которой проходит источник за один период волны. Следовательно, длина волны, испущенной движущимся источником, будет равна

\lambda=\lambda_0-V_0T_0.\qquad (27)

Переходя к частотам волны, получим

\frac c\nu=\frac c{\nu_0}-\frac{V_0}{\nu_0}.\qquad (28)

Откуда следует, что частота и ее относительный сдвиг (при скоростях источника, значительно меньше скорости волны) определяются по формулам

\nu=\nu_0\frac c{c-V_0}\approx\nu_0\left(1+\frac{V_0}c\right)\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta\nu}{\nu_0}\approx\frac{V_0}c.\qquad (29)

Часть 3. За что дают Нобелевские премии?

3.1 Для резонансного поглощения необходимо, чтобы сдвиг отдачи (как при испускании, так и при поглощении) был скомпенсирован доплеровским сдвигом, откуда следует, что должно выполняться условие

\frac{V_0}c\approx2\frac{\varepsilon_0}2\quad\Rightarrow\quad V_0\approx\varepsilon_0c\approx2{,}2\cdot10^2\,\text{м}/\text{с}.\qquad (30)

Что равно скорости ядра при отдаче.

3.2 Повышение температуры должно приводить к усилению поглощения, так как в этом случае разброс скоростей теплового движения атомов становится больше. Следовательно, для больших пар атомов (один в источнике, другой в поглотителе) доплеровский сдвиг компенсирует сдвиг отдачи.

3.3 По графику можно найти, что поглощение практически прекращается, при изменении скорости на величину $\Delta V\approx\pm2\,\text{см}/\text{с}$ . Этому интервалу соответствует интервал частот $\Delta\nu\approx\nu_0\Delta V/c=(E_0/h)(\Delta V/c)$ , или интервал энергий¹ $\Delta E\approx E_0\Delta V/c$ . Отсюда с помощью соотношения неопределенности получаем оценку времени жизни ядра в возбужденном состоянии

\tau\approx\frac{hc}{E_0\Delta V}\approx\frac{6{,}64\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}{129\cdot10^3\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot4\cdot10^{-2}}\approx2\cdot10^{-10}\,\text{с}.

¹ Внимательные могут заметить на графике и шкалу изменения энергии $\Delta E$ !

Reader note: complete obtainable source and archive authority

Nine whole tasks belong to grades9,10,11, three in each cohort. The native63top-level requests include connected1.4withtwolettered children:64terminal requests inall. The55native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. All printed response graphs/maps are included in the question PDF; no further theory response, equipment, grading or companion file is listed. Native source ordering, printed whole task and section boundaries are preserved.

Reader note: native source caveat for 9.1. «Отражение»

Electrical question graph peak is0.5A onQ2 and archiveK4, but its blank answer form onQ3 prints0.6A. Preserve both native graph/form values.

Reader note: native source caveat for 9-3. Праща.

Native title Праща differs from catalogue Праца. K10 eq9 is severely horizontally compressed with vertically stretched glyphs in both MuPDF and Poppler; surrounding Symbol alpha/omega recover in MuPDF. Preserve native eq9 crop, do not invent its missing glyphs. Key cross-references and numerical mu0.40 versus preceding0.42 remain literal.

Reader note: native source caveat for 10.1. ЦУП

Preserve native period parenthesis, printed omega subscript2 ineq6 (personally reopened and resolved), π factor ineq15 versus540-degree result, native figure captions and both repeated blank response maps.

Reader note: native source caveat for 10.2. Электронный газ и неоднородный проводник

Preserve K17 drift substitution denominator1, K18 first numeric equality with ambiguous printed I/l shape (retained as an exact native crop), E2 numeric expression and label3.4 versus question3.3, beta=30 resistivity definition without correction.

Reader note: native source caveat for 10.3. Опыты Жана Перрена.

All Perrin book images, original English excerpts, photograph and apparatus remain source crops. Question viscosity1.005e-6 Pa·s, repeated rho0, q1.4 reference1.2, key terminal-speed factor9 and literal numerical substitutions/duplicate1.3 are retained. Full exact exponential time alternative retained.

Reader note: native source caveat for 11.1. Притяжение

Preserve all center-of-mass and differential-equation alternatives, stretched nativeeq3, native scaled equations and Coulomb c coefficient; do not silently correct factors.

Reader note: native source caveat for 11.2. Система автоматического наведения

Preserve native lens diagrams and detector graphic, mistaken mirror wording,eq15 tag and references16/17, and full control algorithm.

Reader note: native source caveat for 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Question1.4 remains one connected request with native a/b children; question top-level requests13, terminal leafrequests14. Native μ parameter wording versus epsilon0, incomplete1.8 sentence, isotope/footnotes and original article graphs/captions remain literal. Key32 eq26 badly compressed: retain original crop. Key1.7 prints3.6e-6 despite epsilon0=7.2e-7 and preceding minus sign; last native3.3 gives lifetime requested byq3.4 and does not explicitly answer crystal epsilon0 inq3.3, so mark available solution incomplete at that boundary.

Reader note: incomplete crystal-energy answer

The archive key does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. Its last heading3.3 gives the lifetime requested by question3.4 instead. Every available answer is retained under its literal printed heading; the solution is explicitly incomplete at the absent crystal-energy answer, without invented text.

Reader note: native overlapping cable and current graph

The original PDF places the cable bitmap at y291.3–432.6pt and the current graph at y417.8–602.7pt, so their boundaries overlap. The later graph white background intrinsically covers the lower a/I(x) glyphs even on the native full page. One complete original-column crop faithfully retains both scientific graphics and this original overlap; no missing label is reconstructed. The native drift illustration K16 includes an isolated dash and extra Delta t outside the cylinder; these intrinsic source artifacts remain literal. Both full originals remain available.

Оригинал в Архива: 2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2012_theoretical_solutions.pdf