Съдържание

Условие Часть 1. Два шарика.Часть 2. Цепочка.Часть 3. Сжатие воды.Часть 4. Смещение поплавка.Решение

BelPhO 2013, Областен етап, 9,10,11 — Задача 11-3. 11 класс — 3. Выпад против Эйнштейна?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 18 страниц условий и 23 страницы решений. Сохранены девять самостоятельных целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. 72 основные номерные группы (3+9+6+3+9+8+3+16+15) переданы с каждым внутренним запросом; каталожное число69 не определяет новое разбиение. Три задачи «Подобие и размерность» содержат разные задания для разных классов. Обложка и три страницы общих инструкций учтены полностью; декоративные рисунки сохранены в оригинальномPDF.

Время выполнения, баллы и численные таблицы оценивания не напечатаны. Полные аналитические решения, обе таблицы и точный математический метод ракеты, альтернативное доказательство поля по теореме Гаусса, кинематическое доказательство Кориолиса, маятник Фуко и все сноски сохранены. Отдельные бланки ответов или таблицы констант в полученном комплекте не обещаны. Ключ ракеты не печатает отдельно требуемую формулу $a/g(\eta)$ и расчет30с; ключ Кориолиса не печатает отдельно численную частоту вращения Земли. Эти пробелы не дополнены авторским решением.

Сохранены печатные несогласованности: дата утверждения декабрь2012; в Гук–Архимед «относительная» глубина $\eta_2l$ и ссылка3в вместо2в; смена $u/v$ и номеров формул в ракете; последний множитель1,3 вместо1,2 в (9) машины, повтор (13); $\tilde x=x/a$ , пропущенный квадрат периода в прозе закона Кеплера, $ma=-k\sqrt{x}+g$ без множителя $m$ ; положительный итог (3) электрического поля при последующем описании отрицательного знака и несогласованные промежуточные множители в (6); $F_Y=qBV_y$ и $a_y$ с $V_y$ в (23), квадратный корень в периоде вращения (24); высота пробирки0,50см в условии против подстановки0,50м в ключе, знак $l_1+\delta l_1$ при описании подъема, повтор (16)/(17). Все исходные ответы и научный текст переданы буквально.

Оригинальная обложка

А.И.Слободянюк,А.А.Мищук,В.И.Анцулевич,Л.Г.Маркович. Республиканская физическая олимпиада (IIIэтап),2013год. Теоретическийтур.

Оригинальные утверждение и инструкции

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. ____________________ В.А. Будкевич. «__» декабря 2012 г.

Республиканская физическая олимпиада 2013 год. (III этап). Теоретический тур. В оригинале три отдельные страницы инструкций:9класс (стр.2),10класс (стр.6),11класс (стр.11).

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Витебске на Заключительном туре!

Условие

Если Вы находитесь в закрытой кабине лифта, то согласно принципу относительности Г. Галилей, никакими способами не сможете определить, покоится лифт или движется равномерно. Если же лифт движется с ускорением, то это ускорение достаточно легко обнаружить, находясь внутри кабины. Однако, если лифт движется с постоянным ускорением, то согласно принципу эквивалентности А. Эйнштейна, вы никакими способами не сможете отличить ускоренное движение от изменения сил гравитационного взаимодействия. Иными словами, находясь в кабине лифта, вы не в состоянии однозначно сказать: движется лифт с ускорением, или изменилась сила тяжести!

Или, все-таки, сможете?

Часть 1. Два шарика.

Два одинаковых шарика (масса каждого равна $m$ ) соединены легкой пружиной (ее жесткость — $\gamma$ , длина в недеформированном состоянии — $l_0$ , и значительно больше диаметра шариков). Один из шариков прикрепили к потолку покоящегося лифта, второй свободно свисает на пружине. В некоторый момент времени $t=0$ лифт начинает подниматься постоянным ускорением $\vec a_0$ .

Полные два шарика/пружина:m,l0,gamma,a0,g,осьx истрелки.

1.1 Найдите закон движения подвешенного шарика $x_2(t)$ в системе отсчета, связанной с потолком лифта.

1.2 Найдите максимальное удлинение пружинки в процессе движения.

После некоторого промежутка времени колебания пружинки затухнут.

1.3 Чему будет равно относительное удлинение пружинки, после того, как ее длина перестала изменяться?

1.4 Чему будет равно относительное изменение силы натяжения пружинки, после прекращения колебаний?

Часть 2. Цепочка.

Цепочка состоит из $N$ звеньев: $N$ легких пружинок жесткостью $\gamma$ и длиной $l_0$ в недеформированном состоянии и $N+1$ шариков массы $m$ , размерами которых можно пренебречь.

Полная цепочка0/1/2/.../N,m,gamma,a0/g,все шарики/пружины.

2.1 Цепочку подвешивают вертикально за крайний шарик к потоку покоящегося лифта. Найдите относительное (по сравнению с ее длиной $L_0$ в недеформированном состоянии) удлинение всей цепочки $\Delta L/L_0$ вследствие действия силы тяжести.

Лифт начинает подниматься постоянным ускорением $\vec a_0$ . В течение некоторого промежутка времени по цепочке будут пробегать упругие волны, которые быстро затухнут.

2.2 Найдите относительное (по сравнению с ее длиной $L_0$ в недеформированном состоянии) удлинение цепочки после прекращения колебаний всех шариков.

2.3 Чему будет равно относительное изменение сил натяжения пружинок $\Delta F_k/F_{k0}$ (где $F_{k0}$ — сила упругости $k$ -ой пружинки в неподвижном лифте, $\Delta F_k$ — изменение этой силы при ускорении лифта).

Часть 3. Сжатие воды.

Если слой жидкости толщиной $h_0$ поместить под давление $P$ , то его толщина уменьшится и станет равной

h=h_0(1-\beta P).

Полная модель сжатия:Pсверху/снизу,h,все стрелки/слой.

Величина $\beta$ называется сжимаемостью жидкости. Обычно эта величина мала, поэтому часто жидкости считают несжимаемыми. Однако в некоторых физических явлениях она играет определяющую роль. Для воды сжимаемость равна $\beta=0{,}44\cdot10^{-9}\text{ Па}^{-1}$ . Плотность воды $\rho=1{,}0\cdot10^3\text{ кг/м}^3$ . Ускорение свободного падения считайте равным $g=9{,}8\text{ м/с}^2$ .

3.1 Определите величину сжатия воды $\Delta h$ для слоя глубиной $h$ под действием собственного веса. Рассчитайте величину этого сжатия для глубины $h=10\text{ км}$ .

Часть 4. Смещение поплавка.

На полу кабины лифта стоит бочка с водой, высота уровня которой равна $h=1{,}0\text{ м}$ . В бочке плавает вертикально цилиндрическая пробирка высоты $l=0{,}50\text{ см}$ . При этом глубина погружения равна $\eta l$ (где $\eta=0{,}80$ ).

Полная бочка/пробирка:вода/балласт,h,eta l,g,a0.

Лифт начинает подниматься с постоянным ускорением $a_0=g=9{,}8\text{ м/с}^2$ . Сразу после начала движения в воде возникнут упругие волны, которые быстро затухают.

4.1 Рассчитайте, на сколько понизится уровень воды в бочке $\Delta h$ после установления равновесия.

4.2 На сколько процентов изменится плотность воды в бочке при ее ускоренном движении?

4.3 Во сколько раз увеличится давление воды на дно бочки при ее ускоренном движении?

4.4 Чему будет равна глубина погружения пробирки после того, как она перестанет колебаться?

Для описания распространения упругих волн примем следующую упрощенную модель. Будем считать, что граница области дополнительного сжатия распространяется со скоростью звука $c$ (относительно воды). Ниже этой границы вся вода уже движется с постоянным ускорением $a_0$ , а выше нее еще покоится. Когда граница области сжатия достигает верхнего уровня жидкости, все волновые процессы затухают.

Полная область сжатия:выноска,ct,h,cvector,граница,опора.

4.5 Данная модель приводит к правильному значению величины сжатия жидкости. Используя ранее найденное значение сжатия, получите формулу для скорости звука в воде, рассчитайте численное значение этой скорости.

4.6 Постройте график зависимости давления внутри воды от глубины в некоторый момент времени, когда волна сжатия еще не достигла верхнего уровня жидкости.

4.7 Рассчитайте максимальное значение скорости пробирки относительно уровня воды в бочке.

Решение

Часть 1. Два шарика.

При движении с ускорением сила упругости пружинки должна обеспечивать ускорение нижнего шарика, поэтому в положении равновесия должно выполняться условие

F=m(g+a_0),\qquad (1)

Следовательно, в этом положении удлинение пружинки равно

\Delta x=\frac{m(g+a_0)}\gamma.\qquad (2)

Таким образом, смещение от положения прежнего положения равновесия оказывается равным

\Delta x_1=\frac{ma_0}\gamma.\qquad (3)

Эта величина является амплитудой колебаний. Поэтому закон движения шарика (с учетом начальных условий и изображенной оси координат) имеет вид

x(t)=-l_0-\frac{m(g+a_0)}\gamma+\frac{ma_0}\gamma\cos\omega t.\qquad (4)

Полная система сил двухшаров:m,l0/gamma,F,mg,a0 истрелки.

Где $\omega=\sqrt{\gamma/m}$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника.

Максимальное удлинение пружинки будет равно (через половину периода колебаний):

\Delta x=\frac{m(g+2a_0)}\gamma.\qquad (5)

Относительное удлинение после прекращения колебаний:

\varepsilon_x=\frac{m(g+a_0)}{\gamma l_0}\qquad (6)

может быть мало при большой жесткости пружинки. Относительное изменение силы упругости

\varepsilon_F=\frac{\Delta F}{mg}=\frac{a_0}g\qquad (7)

Не зависит от параметров груза и пружины.

Часть 2. Цепочка.

Рассмотрим пружинку, на которой висит $k$ шариков снизу. Ее удлинение можно найти из условия равновесия

\Delta x_k=k\frac{mg}\gamma.\qquad (8)

Так как цепочка содержит $N$ пружинок, то суммарное удлинения находится как сумма арифметической прогрессии

\Delta L=\sum_{k=1}^Nk\frac{mg}\gamma=\frac{mg}\gamma\frac{N(N+1)}2.\qquad (9)

Относительное удлинение цепочки

\varepsilon_L=\frac{\frac{mg}\gamma\frac{N(N+1)}2}{Nl_0}=\frac{mg(N+1)}{2\gamma l_0}.\qquad (10)

При большом числе шариков эта величина может быть выражена как

\varepsilon_L=\frac{mg(N+1)}{2\gamma l_0}\approx\frac{mgL_0}{2\gamma l_0^2}.\qquad (11)

Т.е. относительное удлинение пропорционально начальной длине. При движении у ускорением можно получить аналогичные формулы, заменяя $g$ на $(g+a_0)$ . Поэтому

\varepsilon_L=\frac{m(g+a_0)(N+1)}{2\gamma l_0}\approx\frac{m(g+a_0)L_0}{2\gamma l_0^2}.\qquad (12)

Относительные изменения сил натяжения всех пружинок будут одинаковыми и равными

\frac{\Delta F_k}{F_{k0}}=\frac{a_0}g.\qquad (13)

Часть 3 Сжатие воды.

Разобьем слой недеформированной воды на тонкие слои толщиной $\Delta h$ . Их общее число равно $N=h/\Delta h$ . Рассмотрим слой, над которым находится $k$ слоев. Его сжатие будет равно $\delta x_k=\beta\Delta hP_k=\beta\Delta h\cdot k\rho g\Delta h$ .

Полное разбиение воды наслои:k,многоточие,Delta h/стрелки,все рамки.

Суммируя сжатия всех слоев (с учетом того, что их очень много), получим

\begin{aligned}\Delta h&=\sum_{k=1}^N\delta x_k=\beta\rho g(\Delta h)^2\sum_{k=1}^Nk=\beta\rho g(\Delta h)^2\frac{N(N+1)}2\\&\approx\frac{\beta\rho g(N\Delta h)^2}2=\frac{\beta\rho gh^2}2=\frac{0{,}44\cdot10^{-9}\cdot1{,}0\cdot10^3\cdot9{,}8\cdot(10^4)^2}2\approx2{,}2\cdot10^2\text{ м}.\end{aligned}\qquad (14)

Из-за малой сжимаемости $\Delta h\ll h$ , поэтому не принципиально какую глубину подставлять в эту формулу: сжатой, или недеформированной.

Часть 4. Смещение поплавка.

Понижение уровня воды можно рассчитать с помощью формулы (14) и также, используя замену $g\to g+a_0=2g$ :

\Delta h=\frac{2\beta\rho gh^2}2-\frac{\beta\rho gh^2}2=\frac{\beta\rho gh^2}2=\frac{0{,}44\cdot10^{-9}\cdot1{,}0\cdot10^3\cdot9{,}8\cdot1^2}2\approx2{,}2\cdot10^{-6}\text{ м}.\qquad (15)

Эта величина крайне мала, поэтому относительное изменение (увеличения) плотности равно относительному изменению (уменьшению) объема

\varepsilon_\rho=\frac{\Delta\rho}\rho=\frac{\Delta h}h\approx2{,}2\cdot10^{-6}=2{,}2\cdot10^{-4}\%.\qquad (16)

Что также составляет крайне малую величину, по сравнению с изменением силы давления на дно, которая увеличится в 2 раза.

Изменение глубины погружения связано изменением плотности воды: В покоящемся лифте ( $l_1$ — глубина погружения, $S$ — площадь поперечного сечения пробирки) справедливо уравнение

mg=\rho gl_1S.\qquad (17)

В ускоренно движущемся лифте —

2mg=2\rho(1+\varepsilon_\rho)g(l_1+\delta l_1)S.\qquad (18)

Из этих уравнений следует, что пробирка поднимется на величину

\delta l_1=\varepsilon_\rho l_1=\varepsilon_\rho\eta l=2{,}2\cdot10^{-6}\cdot0{,}80\cdot0{,}50\approx8{,}8\cdot10^{-7}\text{ м}.\qquad (19)

Далее будем рассматривать все процессы в системе отсчета, связанной с лифтом. В рамках описанной модели распространения области сжатия (или области повышенного давления), процесс сжатия воды будет происходить, пока волна сжатия не достигнет поверхности воды. В течение этого промежутка времени $t=h/c$ дно движется с ускорением $g$ , а верхняя поверхность еще покоится, поэтому

\Delta h=\frac{\beta\rho gh^2}2=\frac{gt^2}2=\frac g2\left(\frac hc\right)^2.\qquad (20)

Откуда следует правильная формула для скорости упругих волн:

c=\frac1{\sqrt{\rho\beta}}=1{,}5\cdot10^3\text{ м/с}.\qquad (21)

Пусть в некоторый момент времени область повышенного давления достигла глубины $z_0$ . Тогда ниже этой области изменение гидростатического давления определяется по формуле

\Delta P=\rho(g+a_0)\Delta z=2\rho g\Delta z.\qquad (16)

А выше его (где вода «еще не почувствовала» ускорения) изменение давления остается прежним

\Delta P=\rho g\Delta z.\qquad (17)

Поэтому распределение давления по глубине будет иметь вид, показанный на рисунке.

Полные парныеобразцы:вода/z0/ct/cvector/опора иP(z)график сz0/пунктир/оси.

Пусть волна сжатия достигла нижнего грая пробирки. В этот момент пробирка начнет «чувствовать» действие повышения давления. Далее давление на дно пробирки будет возрастать по закону в течение промежутка времени $\tau=\eta l/c$

p=2\rho gct+\rho g(\eta l-ct)=\rho g\eta l+\rho gct.\qquad (22)

суммарная сила, действующая на пробирку, будет равна (с учетом силы тяжести $mg=\rho g\eta lS$ ):

F=-mg+(\rho g\eta l+\rho gct)S=mg\frac{ct}{\eta l}.\qquad (23)

Считая этот промежуток малым, найдем импульс, который получит пробирка. Так как сила изменяется со временем по линейному закону, то для подсчета импульса силы можно взять ее среднее значение за время действия силы — пока волна не достигла поверхности воды. Поэтому на основании 2 закона Ньютона в импульсной форме можно записать (в системе отсчета, связанной с Землей)

mv=\frac12mg\frac{c\tau}{\eta l}\cdot\tau\quad\Rightarrow\quad v=\frac{\eta gl}{2c}=\frac{0{,}80\cdot9{,}8\cdot0{,}50}{2\cdot1{,}5\cdot10^3}\approx1{,}3\cdot10^{-3}\text{ м/с}.\qquad (24)

Так как в этот момент поверхность воды еще покоится, то это и будет максимальная скорость пробирки относительно поверхности воды.

Выводы делайте самостоятельно!

Оригинальные заголовки ключа

Решения задач. 10класс начинается настр.5,11класс настр.14.

Оригинал в Архива: 3_etap_2013_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2013_theoretical_solutions.pdf