Съдържание

Условие Часть 1. Градуировка шкалы.Часть 2. Средняя скорость.Часть 3. Закон движения.Решение

BelPhO 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-1. · Бегающий зайчик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

Республиканская физическая олимпиада 2013 года — IV этап, экспериментальный тур, 9–11 классы

Условие

Приборы и оборудование: крутильный маятник, секундомер, лазер, плоское зеркало, угломерная шкала, линейка 40 см.

Исходная схема крутильного маятника: линейка 1, два груза 2, нити 3, лапка штатива 4 и зеркальце 5.

Крутильный маятник состоит из деревянной линейки (1), к концам которой с помощью скотча прикреплены два одинаковых груза (2). Линейка с помощью двух нитей (3) подвязана к лапке штатива (4). Длина нитей должна быть не менее 50 см, расстояние между нитями не более 1 см, нити должны быть параллельны. С помощью кусочка пластилина к середине линейки прикреплено плоское стеклышко, играющее роль зеркала.

В работе вам предстоит исследовать крутильные колебания этого маятника вокруг вертикальной оси.

Исходная схема установки, вид сверху: линейка 2, зеркальце 3, лазер 4, зайчик 5, экран 1, угол φ, расстояние L и координата x.

Для этого соберите следующую установку. К торцу стола прикреплена полоска картона (1), играющая роль экрана со шкалой (разметить ее необходимо самостоятельно). Расположите штатив с маятником так, чтобы в положении равновесия линейка (2) располагалась параллельно экрану. Расстояние от зеркальца маятника до экрана должно быть равно $L=20\,см$ . Поместите лазер (4) между экраном и зеркальцем, так чтобы его луч падал на зеркальце нормально (т.е. перпендикулярно), когда маятник находится в положении равновесия. При повороте маятника отраженный от зеркальца луч («зайчик» 5) должен двигаться вдоль шкалы. При необходимости отрегулируйте ориентацию зеркальца так, чтобы отраженный луч не перекрывался лазером и был хорошо виден на экране. Координату «зайчика» на экране будем обозначать $x$ . Начало отсчета совмещено с положением «зайчика» в положении равновесия. Угол поворота линейки обозначим $\varphi$ и так же будем его отсчитывать от положения равновесия. Таким образом, при колебаниях маятника, как координата «зайчика» $x$ (в сантиметрах), так и угол поворота $\varphi$ (в градусах) должны изменяться в симметричных пределах $\pm x_0$ , $\pm\varphi_0$ , где $x_0,\varphi_0$ - максимальные отклонения координаты и угла поворота, соответственно.

Помните! При оптических измерениях самой важное – точная настройка установки!

Часть 1. Градуировка шкалы.

Данный крутильный маятник очень чувствителен, поэтому градуировать шкалу с его помощью очень сложно. Для облегчения выполнения этой важной части работы вам предоставлено плоское зеркало. Вместо маятника расположите зеркало в том же месте, где будет находиться зеркальце маятника. Поставьте зеркало на лист бумаги с угломерной шкалой, для измерения угла поворота зеркала. Радиальные линии проведены через $5^\circ$ .

1.1 Проградуируйте шкалу экрана для измерения координаты зайчика $x$ в сантиметрах.

1.2 Измерьте зависимость координаты зайчика $x$ от угла поворота зеркала $\varphi$ (в градусах). Постройте график полученной зависимости.

1.3 Получите теоретическую формулу для зависимости $x(\varphi)$ , постройте ее график. Сравните экспериментальную и теоретическую зависимости. Укажите возможные причины их расхождения.

1.4 Постройте на экране вторую шкалу, для измерения угла поворота зеркала (эта шкала будет неравномерной).

Построение шкал оценивается!

Часть 2. Средняя скорость.

Поворот маятника и движения зайчика не являются равномерными, поэтому изменения этих величин можно характеризовать средней скоростью движения «зайчика» $v_{x\,ср.}$ и средней угловой скоростью $\omega_{ср.}$ .

Линейную скорость следует измерять в $\frac{см}{с}$ , а угловую в $\frac{град}{с}$ .

2.1 Измерьте зависимость средней угловой скорости вращения маятника $\omega_{ср.}$ от максимального угла поворота $\varphi_0$ за половину периода колебаний при изменении угла поворота от $-\varphi_0$ до $+\varphi_0$ . Постройте график полученной зависимости.

2.2 Покажите, что измеренная средняя угловая скорость $\omega_{ср.}$ пропорциональна максимальному углу поворота $\varphi_0$

\omega_{ср.}=C\varphi_0,\qquad (1)

Определите коэффициент $C$ , укажите его физический смысл.

Приведите все, использованные вами расчетные формулы, а также укажите все величины, которые вам необходимо измерять.

Часть 3. Закон движения.

В этой части вам необходимо экспериментально исследовать закон изменения угла поворота маятника от времени.

3.1 Измерьте зависимость угла поворота маятника от времени $\varphi(t)$ за половину периода колебаний, т.е. при изменении угла поворота от $-\varphi_0$ до $+\varphi_0$ . Постройте график полученной зависимости.

3.2 Используя полученный график, определите максимальную мгновенную угловую скорость вращения маятника. Найдите ее отношение к средней скорости на всем интервале от $-\varphi_0$ до $+\varphi_0$ .

3.3 Используя результаты проведенных измерений, постройте на одном бланке графики зависимостей $\frac{\varphi}{\varphi_0}$ и $\frac{x}{x_0}$ от времени. Объясните различие между полученными зависимостями.

Измерения проведите при максимальном угле поворота $\varphi_0=30^\circ$ . Используйте память этапов секундомера – прочитайте инструкцию по его использованию. Кратко опишите, как вы проводили измерения.

Решение

1.1 Шкалу необходимо разметить с точностью до 1 см, естественно, получается линейная шкала.

1.2 Результаты измерений зависимости координаты зайчика от угла поворота зеркала приведены в Таблице 1. На рисунке показан график полученной зависимости.

Таблица 1. Координаты зайчика.

Исходная таблица 1 координат зайчика: φ°, x, см, xтеор, см; обе крайние экспериментальные клетки пусты.

$\varphi^\circ$	$x,см$	$x_{теор},см$
−30		−34,6
−25	−34,3	−23,8
−20	−23,0	−16,8
−15	−16,8	−11,5
−10	−10,2	−7,3
−5	−4,6	−3,5
0	0,0	0,0
5	4,0	3,5
10	9,0	7,3
15	16,0	11,5
20	23,0	16,8
25	33,4	23,8
30		34,6

Исходный график координаты зайчика x, см, от угла φ° с измеренными точками и теоретической кривой.

1.3 Из рисунка хода лучей, построенного с учетом закона отражения света, следует, что при повороте зеркала на угол $\varphi$ , отраженный луч поворачивается на угол $2\varphi$ . Следовательно, координата зайчика на экране определяется формулой

x=L\operatorname{tg}2\varphi.\qquad (1)

Результаты расчетов $x_{теор}$ по этой формуле также приведены в Таблице 1. На рисунке также показан график этой зависимости.

Исходный ход лучей для повернутого зеркала: нормаль n, φ, L, X и смещение x.

1.4 Вторую шкалу удобно построить непосредственно с помощью зайчика. Эта шкала неравномерная.

Часть 2. Средняя скорость.

Для измерения следует использовать нелинейную угловую шкалу. Необходимо задать максимальное отклонение $\varphi_0$ и измерить времена $t$ прохождения зайчика от одного до другого крайнего положения. Средняя угловая скорость рассчитывается по формуле

\omega_{ср}=\frac{2\varphi_0}{t}.\qquad (2)

Результаты измерений и расчетов средних скоростей приведены в Таблице 2. График требуемой зависимости показан на рисунке.

Таблица 2. Измерение средних скоростей.

Исходная таблица 2: угол φ°, время t, с, и средняя угловая скорость ωср, град/с для шести измерений.

$\varphi^\circ$	$t,с$	$\omega_{ср.}\,\frac{град}{с}$
5	18,5	0,54
10	18,7	1,07
15	18,7	1,60
20	18,8	2,13
25	18,9	2,65
30	18,9	3,18

Исходный график средней угловой скорости от максимального угла φ₀ с шестью измеренными точками.

Результаты измерений показывают, что период колебаний не зависит от максимального отклонения, поэтому полученная зависимость линейна. Коэффициент пропорциональности в формуле $\omega_{ср.}=C\varphi_0$ имеет смысл величины, обратной четверти периода колебаний. Он может быть найден либо по наклону графика, либо как $C=\frac{2}{t_{ср}}$ , где $t_{ср}$ - среднее значение измеренных времен. Численное значение этого коэффициента в данном случае равно

C=0{,}11\,с^{-1}.\qquad (3)

Часть 3. Закон движения.

Удобно проводить измерения следующим образом: вывести маятник из положения равновесия, дождаться, когда его максимальное отклонение $\varphi_0$ и в этот момент запустить секундомер. Далее фиксировать времена прохождения отметок угловой шкалы с помощью памяти секундомера. При необходимости провести измерения в «два захода»: во втором из них запустить секундомер, когда зайчик проходит через нулевую отметку.

Результаты измерения закона движения $\varphi(t)$ при максимальном отклонении $\varphi_0=30^\circ$ приведены в Таблице 3. Там же приведены рассчитанные значения линейной координаты $x$ , а также необходимые для дальнейших построений относительные величины $\frac{\varphi}{\varphi_0}$ и $\frac{x}{x_0}$ .

Таблица 3. Закон движения маятника.

Исходная таблица 3 закона движения: φ°, x, см, t, с, φ/φ₀ и x/x₀; тринадцать строк.

$\varphi^\circ$	$x,см$	$t,с$	$\frac{\varphi}{\varphi_0}$	$\frac{x}{x_0}$
−30	−34,6	0,00	−1,00	−1,00
−25	−23,8	3,60	−0,83	−0,69
−20	−16,8	5,13	−0,67	−0,48
−15	−11,5	6,32	−0,50	−0,33
−10	−7,3	7,41	−0,33	−0,21
−5	−3,5	8,48	−0,17	−0,10
0	0,0	9,37	0,00	0,00
5	3,5	10,33	0,17	0,10
10	7,3	11,41	0,33	0,21
15	11,5	12,55	0,50	0,33
20	16,8	13,81	0,67	0,48
25	23,8	15,45	0,83	0,69
30	34,6	18,80	1,00	1,00

Рядом приведен график закона движения маятника $\varphi(t)$ . Очевидно, что максимальная скорость достигается в начале координат. Для определения мгновенной скорости следует построить касательную к графику закона движения (она показана на рисунке) и рассчитать ее коэффициент наклона. Для приведенного закона движения она оказывается равной

Исходный график закона движения с касательной в начале координат; вертикальная ось в оригинале подписана φ₀°, горизонтальная t, с.

$\omega_{max}\approx5{,}0\,\frac{град}{с}$ . Средняя скорость рассчитывается по формуле

\omega_{ср.}=2\frac{\varphi_0}{t_{max}}=\frac{2\cdot30}{18{,}8}\approx3{,}2\,\frac{град}{с}.

Таким образом, их отношение равно $\frac{\omega_{max}}{\omega_{ср.}}\approx1{,}6$ .

Отметим, что при гармонических колебаниях теоретическое значение этого отношения есть $\frac{\pi}{2}\approx1{,}57$ . Поэтому данный метод можно использовать для экспериментального определения числа $\pi$ .

Схема оценивания ЭТ 9-1

Оригинальная схема из отдельного файла 2013_experimental_schemes.pdf, страницы 1–2. Пустая колонка «Оценки» сохранена на исходных изображениях. Напечатанные баллы и итоги переданы без пересчета.

Полная оригинальная схема оценивания 9-1, страница 1: все критерии, напечатанные баллы и пустая колонка оценок.

Полная оригинальная схема оценивания 9-1, страница 2: все критерии, напечатанные баллы и пустая колонка оценок.

Пункт	Содержание	Всего за пункт	Баллы
	Часть 1. Градуировка шкалы
	1.1 Градуировка шкалы экрана для измерения координаты зайчика $x$ в сантиметрах.	16	1
	1.2 Измерение зависимости координаты зайчика $x$ от угла поворота зеркала $\varphi$ (в градусах). Построение графика полученной зависимости. Результаты измерений: таблица измерений.		2
	Оценивается, если отклонения от контрольных данных не более 1,0 см по координате: 8 и более точек.		4
	От 5 до 7 точек.		2
	Менее 5 точек.		1
	1.3 Получение теоретической формулы $x=L\operatorname{tg}2\varphi$ из рисунка для зависимости $x(\varphi)$ , построение ее графика.		2
	Сравнение экспериментальной и теоретической зависимостей. Указание возможных причин их расхождения.		2
	1.4 Построение на экране второй (неравномерной) шкалы, для измерения угла поворота зеркала (проверяется на миллиметровой ленте).		2
	Часть 2. Средняя скорость.
2.1	Измерение зависимости средней угловой скорости вращения маятника $\omega_{ср.}$ от максимального угла поворота $\varphi_0$ за половину периода колебаний при изменении угла поворота от $-\varphi_0$ до $+\varphi_0$ .	12	2
	Использование формулы (2): $\omega_{ср}=2\varphi_0/t$ .		2
	Построение графика полученной зависимости $\omega_{ср.}$ от $\varphi_0$ .
	Таблица измерений.		2
	От 5 до 8 точек.		4
	Менее 5 точек.		2
2.2	Показано, что измеренная средняя угловая скорость $\omega_{ср.}$ пропорциональна максимальному углу поворота $\varphi_0$ : $\omega_{ср.}=C\varphi_0$ , (1).	2	2
	Определен коэффициент $C$ , указан его физический смысл.	2	2
	Часть 3. Закон движения
	3.1 Измерение зависимости угла поворота маятника от времени $\varphi(t)$ за половину периода колебаний, т.е. при изменении угла поворота от $-\varphi_0$ до $+\varphi_0$ .	11	2
	Построение графика полученной зависимости.		2
	Таблица измерений (оценивается, если отклонения от контрольных данных не более 1,0 см по координате): 10 и более точек.		4
	От 5 до 9 точек.		2
	Менее 5 точек.		1
	3.2 Определение максимальной мгновенной угловой скорости вращения маятника по касательной $\omega_{max}$ .	10	2
	$\omega_{ср.}=2\varphi_0/t_{max}=2\cdot30/18{,}8\approx3{,}2\,град/с$ .		2
	Отклонения не более 20%.		1
	Отклонения не более 40%.
	Нахождение ее отношения к средней скорости на всем интервале от $-\varphi_0$ до $+\varphi_0$ : $\omega_{max}/\omega_{ср.}\approx1{,}6$ .		2
	Отклонения не более 20%.		2
	Отклонения не более 40%.		1
	3.3 Построение графика зависимостей $\varphi/\varphi_0$ и $x/x_0$ от времени.	10	3
	Таблица измерений (оценивается, если отклонения от контрольных данных не более 1,0 см по координате): 8 и более точек.		4
	От 5 до 7 точек.		2
	Менее 5 точек.		1
	Итого	63

Примечание к оригиналу схемы. Напечатанные промежуточные итоги 16, 11 и 10 не равны суммам видимых максимальных компонентных баллов 13, 8 и 7 соответственно. Пустая клетка возле первого «Отклонения не более 40%» оставлена пустой. Отдельные нормированные графики и объяснение пункта 3.3 в полученном основном ключе отсутствуют; критерий оценивания не заменяет недостающий ответ.

Примечание к оригиналу

Сохранены шесть отдельно напечатанных экспериментальных задач 9,10 и11 классов:61 пронумерованный запрос и один раздел измерений термопары без нумерации. Каталожное число63 является предварительным. Все доступные23 страницы официального ключа переданы полностью, включая таблицы, пустые клетки и графики. Отдельные инструкции к мультиметру и секундомеру в доступном комплекте отсутствуют. Ключ «Бегающего зайчика» не дает отдельных нормированных графиков и объяснения пункта3.3; ключ гвоздя начинается с1.2 и не содержит отдельной полной схемы пункта1.1. В оригинале сохранены печатные несогласованности: e=2,1828; желтые провода в тексте и синие на схеме; «соленоид» в задаче о гвозде; нановаттная мощность и0,17·10⁻³кВт в расчете стоимости; единицы и подписи строк магнитной таблицы, знаки и26,82/26,86;7мм/14мм в ключе струи; дополнительное I в формуле периода иγ=b/a. Научные формулы, значения и исходные грамматические ошибки не исправлены скрыто.

Отдельные схемы оценивания

Добавлен полный оригинальный файл 2013_experimental_schemes.pdf: 10 страниц схем оценивания шести экспериментальных задач. Каждая схема приведена рядом с соответствующим официальным решением, с исходными изображениями таблиц и незаполненной колонкой «Оценки». Напечатанные критерии, баллы, промежуточные и общие итоги не пересчитаны; их расхождения указаны отдельно. Новые критерии не заменяют отсутствующие ответы или отдельные инструкции к приборам. Числа баллов в исходных данных задач и частей оставлены без изменения.

Оригинал в Архива: 2013_experimental_problems.pdf · официални решения: 2013_experimental_solutions.pdf · допълнителни данни: 2013_experimental_schemes.pdf