Съдържание

BelPhO 2013, Заключителен етап — Задача 9-2. Сравним амперы с ньютонами!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

Республиканская физическая олимпиада 2013 · Заключительный этап · Теоретический тур · 9–11 классы · 40 т.

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинальный комплект: девять заданий по три для 9, 10 и 11 классов, 74 основных запроса, все решения и 12 страниц критериев. Сохранены разные ступенчатые графики нормальной силы в условии и бланке, скопированные числовые данные таблиц скорости, печатные v/с и v2 в ключе ходьбы, 293 К в испарении при 10 °C в условии, несогласованные формулы дымового следа, 45/55 мА и 23,0/34,6 в ключе термистора при 40/60 мА в условии, обращенное отношение T1/T0 в формуле Карно, sin x≈x−x³/2, 0,2085 в примечании Ньютона и пропущенное g в числовой подстановке перегрузки. Это исходные печатные ошибки. Повторные номера рубрики сохранены; последняя рубрика печатает 66 и накопительные значения, хотя суммы основных строк дают 62. Для Вопроса0 задачи9-1 официальный ответ и баллы не напечатаны. Пагинация оглавления отличается от физических страниц отдельных PDF. Отдельные экспериментальные схемы не относятся к этой теоретической публикации и не читались в данном комплекте.

Условие

Законы физики едины, что для Вас, что для электронов!

В данной задаче Вам предстоит проанализировать, как живется электрону внутри кристаллической решетки металла, да еще при протекании электрического тока, носителями которого и являются эти же электроны.

Будем изучать и оценивать жизнь электронов внутри меди. Для упрощения будем считать (хотя это не совсем так), что ионы меди находятся в узлах простой кубической решетки, между которыми мечутся свободные электроны.

Для решения задачи Вам понадобятся следующие величины:

Плотность меди $\gamma=8{,}96\cdot10^3\,\text{кг}/\text{м}^3$ ;

Удельное электрическое сопротивление меди $\rho=0{,}017\,\text{мкОм}\cdot\text{м}$ ;

Масса атома меди $m=1{,}1\cdot10^{-25}\,\text{кг}$ ;

Заряд электрона $e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{Кл}$ .

Во всех пунктах задачи Вы должны получить формулу, а потом найти численное значение!

1 Используя приведенные данные, определите среднее расстояние $r$ между центрами соседних ионов меди в решетке (эта величина также называется периодом решетки).

2 Определите среднюю концентрацию (число в единице объема) свободных электронов в кристалле меди. Считайте, что каждый атом жертвует один электрон в коллективное пользование.

Все дальнейшие пункты задачи начинаются со следующего предложения: «По медному проводу с площадью поперечного сечения $S=1{,}0\,\text{мм}^2$ протекает ток силой $I=1{,}0\,\text{A}$ ».

3 Оцените среднюю скорость направленного движения свободных электронов. Сколько ячеек решетки в среднем проходит электрон за одну секунду?

4 На электроны со стороны решетки действует тормозящая сила (иначе электроны все время бы ускорялись). Оцените среднюю силу, действующую на электрон со стороны кристаллической решетки.

5 Выделим кусок провода длиной $l=1{,}0\,\text{см}$ . С какой силой (в ньютонах) действуют все электроны в этом участке провода на кристаллическую решетку? Предположим, что этот участок провода свободен, оцените ускорение, которое бы он приобрел под действием силы со стороны, действующей со стороны электронов? Почему эта сила никак не проявляется при протекании тока?

Решение

Задача 9-2 Сравним амперы с ньютонами!

Решение

1 Для определения среднего расстояния $r$ между центрами соседних ионов меди в решетке найдем их количество $N$ в куске меди единичного объема

N=\frac\gamma{m_0}.\qquad(1)

Тогда можно считать, что на один ион в среднем будет приходиться кубик объемом

V_0=\frac1N=\frac{m_0}\gamma.\qquad(2)

Длина ребра такого кубика даст искомое расстояние между центрами соседних ионов меди в решетке

r=\sqrt[3]{V_0}=\sqrt[3]{\frac{m_0}\gamma}=\sqrt[3]{\frac{1{,}1\cdot10^{-25}}{8{,}96\cdot10^3}}\,(\text{м})=2{,}3\cdot10^{-10}\,\text{м}=2{,}3\,\text{Å}.\qquad(3)

Для сравнения заметим, что размер (диаметр) атома водорода по порядку величины равен одному ангстрему $\approx1\,\text{Å}$ .

2 Так каждый атом отдает один электрон, то концентрация электронов равна концентрации атомов, поэтому

n=\frac\gamma{m_0}=\frac{8{,}96\cdot10^3}{1{,}1\cdot10^{-25}}\,\text{м}^{-3}=8{,}1\cdot10^{28}\,\text{м}^{-3}=8{,}1\cdot10^{22}\,\text{см}^{-3}.\qquad(4)

3 При протекании электрического тока через поперечное сечение проводника площадью $S$ за промежуток времени $\Delta t$ при средней скорости направленного движения свободных электронов $u$ пройдет заряд

q=eN=enV=enSu\Delta t.\qquad(5)

Согласно определению силы тока имеем

I=\frac q{\Delta t}=enSu\Rightarrow u=\frac I{enS}=\frac{1{,}0}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot8{,}1\cdot10^{28}\cdot1{,}0\cdot10^{-6}}\,\frac{\text{м}}{\text{с}}=7{,}7\cdot10^{-5}\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\qquad(6)

Как видим, скорость направленного движения свободных электронов при протекании тока весьма мала, что вполне понятно с учетом большого значения их концентрации.

4 Рисунок иллюстрирует общую схему расчета сил:

не знаем, как рассчитать силу сопротивления, но знаем характеристику электрической силы (напряжение);
так как средняя скорость электронов равна нулю, то средняя силы сопротивления равна по модулю силе электрической (2 закон Ньютона);
по 3 закону Ньютона, сила, с которой решетка действует электроны, по модулю равна силе, с которой электроны действуют на решетку.

Силы электронов и кристаллической решетки

Для оценки средней силы $F_0$ , действующей на электрон со стороны электрического поля, воспользуемся определением напряжения и запишем выражение для работы электрических сил на участке проводника длиной $l$

A=eU=eIR=eI\rho\frac lS.\qquad(7)

Такую же работу (но с противоположным знаком) совершает силы сопротивления

A=F_0l.\qquad(8)

Сравнивая полученные выражения, найдем

F_0=\frac{eI\rho}S=\frac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot0{,}017\cdot10^{-6}}{1{,}0\cdot10^{-6}}=2{,}7\cdot10^{-21}\,\text{Н}.\qquad(9)

5 По третьему закону Ньютона сила, с которой решетка действует на электрон, по модулю равна силе, с которой электрон действует на решетку. Поэтому суммарная сила, действующая на кусок провода длиной со стороны электронов $l$ равна произведению силы, действующей на один электрон, на число электронов в данном куске провода:

F=NF_0=nVF_0=nleI\rho=8{,}1\cdot10^{28}\cdot1{,}0\cdot10^{-2}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot0{,}017\cdot10^{-6}=2{,}2\,\text{Н}.\qquad(10)

Под действием такой силы участок провода приобрел бы ускорение

a=\frac Fm=\frac F{\gamma Sl}=\frac{2{,}2}{8{,}96\cdot10^3\cdot1\cdot10^{-2}\cdot1\cdot10^{-6}}=2{,}5\cdot10^4\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\qquad(11)

Но эта сила никак не проявляется, потому, что стороны электрического поля такая же по модулю сила, но направленная в противоположную сторону, действует со стороны электрического поля на ионы кристаллической решетки.

Баллы

2 Задача 9-2

Пункт	Содержание	Всего за пункт	Баллы
1	Среднее расстояние	5
	Объем на 1 молекулу (2)		2
	Формула для расстояния (3)		1
	Численное значение (2 зн. цифры)		2
2	Концентрация электронов	4
	Один атом – один электрон		1
	Формула для концентрации (4)		1
	Численное значение (2 зн. цифры)		2
3	Средняя скорость	6
	Определение силы тока через заряд		2
	Связь силы тока и скорости		1
	Формула для скорости		1
	Численное значение (2 зн. цифры)		2
4	Тормозящая сила	10
	Тормозящая сила равна электрической (ссылка на постоянство скорости)		2
	Определения напряжения как работы		2
	Выражение для напряжения через силу тока (закон Ома)		1
	Формула для сопротивления (через удельное сопротивление)		1
	Связь работы и силы (8)		1
	Формула для силы (9)		1
	Численное значение (2 зн. цифры)		2
5	Сила, действующая на решетку	15
	Равна суммарной тормозящей силе (ссылка на 3 закон Ньютона)		2
	Число электронов в выделенном участке		1
	Формула для силы (10)		1
	Численное значение (2 зн. цифры)		2
	Масса выделенного участка		1
	Второй закон Ньютона		1
	Формула для ускорения (11)		2
	Численное значение (2 зн. цифры)		2
	Сила уравновешивается электрической силой, действующей на решетку		3
	Всего	40

Полная исходная таблица оценивания, страница 2, включая все критерии, баллы, пустые поля и внешнюю рамку

Оригинал в Архива: 2013_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2013_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2013_theoretical_schemes.pdf