Съдържание

Условие Часть 1. Продольная составляющая силы реакции.Часть 2. Нормальная составляющая силы реакции.Часть 3. Превращение энергии.Задача 9-3 Решение

BelPhO 2013, Заключителен етап — Задача 9-3. Ходьба человека

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

Республиканская физическая олимпиада 2013 · Заключительный этап · Теоретический тур · 9–11 классы · 70 т.

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинальный комплект: девять заданий по три для 9, 10 и 11 классов, 74 основных запроса, все решения и 12 страниц критериев. Сохранены разные ступенчатые графики нормальной силы в условии и бланке, скопированные числовые данные таблиц скорости, печатные v/с и v2 в ключе ходьбы, 293 К в испарении при 10 °C в условии, несогласованные формулы дымового следа, 45/55 мА и 23,0/34,6 в ключе термистора при 40/60 мА в условии, обращенное отношение T1/T0 в формуле Карно, sin x≈x−x³/2, 0,2085 в примечании Ньютона и пропущенное g в числовой подстановке перегрузки. Это исходные печатные ошибки. Повторные номера рубрики сохранены; последняя рубрика печатает 66 и накопительные значения, хотя суммы основных строк дают 62. Для Вопроса0 задачи9-1 официальный ответ и баллы не напечатаны. Пагинация оглавления отличается от физических страниц отдельных PDF. Отдельные экспериментальные схемы не относятся к этой теоретической публикации и не читались в данном комплекте.

Условие

Ходьба человека — физиологический процесс перемещения тела в пространстве, при котором опора на одну ногу циклично сменяется опорой на другую. Одним из способов изучения этого сложного процесса является регистрация силы, действующей на поверхность при передвижении человека. Для этого используется «силовая платформа» — беговая дорожка с датчиками, позволяющими регистрировать результирующую силу давления на поверхность.

На рис. 1. представлен график зависимости удельной (отнесенной к весу неподвижного человека) нормальной силы реакции опоры, оказываемой одной ногой идущего человека.

Рис.1. Нормальная сила реакции одной ноги; Источник — Википедия — Рис. 1. (Источник – Википедия)

Первый «горб» соответствует интервалу времени, когда человек касается поверхности пяткой, второй максимум — процесс отталкивания носком стопы. Между ними находится минимум, соответствующий полному касанию поверхности стопой. Обратите внимание, что одна нога касается поверхности в течение 60% цикла. Т. е. существуют промежутки времени, когда человек касается поверхности обеими ногами.

На рис. 2. приведена зависимость силы, направленной вдоль поверхности (по направлению движения человека). Эта силы равна силе трения, действующей на стопу человека. Минимум в начале цикла соответствует торможению при касании пяткой. Максимум — отталкиванию носком.

Рис.2. Продольная сила трения; Источник — Википедия — Рис. 2. (Источник – Википедия)

Безусловно, такие графики очень сложно анализировать без помощи вычислительной техники. Поэтому мы предлагаем Вам изучить более простые зависимости, которые позволят количественно проанализировать процесс ходьбы.

Рассмотрите показания датчиков при ходьбе человека со средней скоростью $v_0=1{,}0\,\text{м}/\text{с}$ , делающего ровно два шага в секунду, т. е. длительность цикла ходьбы составляет ровно 1 секунду.

Ускорение свободного падения считайте равным $10\,\text{м}/\text{с}^2$ .

Часть 1. Продольная составляющая силы реакции.

На бланке представлен график зависимости удельной продольной силы реакции опоры (силы трения), действующий на одну ногу человека.

1.1 Учитывая, что некоторое время человек касается опоры двумя ногами, нарисуйте график зависимости горизонтальной составляющей ускорения центра масс человека в течение цикла ходьбы (1 секунда).

1.2 Нарисуйте график зависимости мгновенной горизонтальной скорости движения центра масс человека в течение цикла. Помните, что человек двигается со средней скоростью $v_0=1{,}0\,\text{м}/\text{с}$ , т. е. скорость в конце каждого цикла такая же как и в начале.

1.3 Определите значение горизонтальной скорости в начале цикла ( $t=0\,\text{с}$ ). Чему равна минимальная и максимальная горизонтальная скорость движения центра масс?

Часть 2. Нормальная составляющая силы реакции.

На бланке представлен график зависимости удельной нормальной силы реакции опоры (силы трения), действующей на одну ногу человека.

Рис.4. Печатный ступенчатый график нормальной силы — Рис. 4.

2.1 Нарисуйте график зависимости вертикальной составляющей ускорения центра масс человека в течение цикла ходьбы.

2.2 Нарисуйте график зависимости мгновенной вертикальной скорости движения центра масс человека в течение цикла.

2.3 Определите значение вертикальной скорости в начале цикла. Чему равна минимальная и максимальная вертикальная составляющая скорости центра масс человека?

Часть 3. Превращение энергии.

Пусть масса человека равна $m=80\,\text{кг}$ .

3.1 Постройте приблизительный график зависимости кинетической энергии центра масс человека от времени в течении одного цикла.

3.2 В каких пределах изменяется кинетическая энергия в процессе ходьбы?

3.3 Постройте приблизительный график потенциальной энергии человека от времени в течение одного цикла. Примите потенциальную энергию в начальный момент равной 0.

3.4 В каких пределах изменяется потенциальная энергия человека в цикле ходьбы?

Задача 9-3

Полный исходный бланк горизонтальной силы, ускорения и скорости

Полный исходный бланк вертикальной силы, ускорения и скорости

Полный исходный бланк кинетической и потенциальной энергии

Решение

Задача 9-3 Ходьба человека

Часть 1. Продольная составляющая силы реакции.

1.1 Так как человек делает два шага в секунду, то касание второй ногой происходит ровно через 0,5 секунды. Значит, на участках от 0,1 до 0,2 секунд и от 0,5 до 0,6 человек касается поверхности обеими ногами. Для расчета горизонтального ускорения необходимо просуммировать силы, действующие на обе ноги. Для наглядности такое суммирование проведено в таблице 1 и на графиках.

Таблица 1. Суммарная горизонтальная сила.

Интервал (с)	$F_1/mg$ (1 нога)	$F_2/mg$ (2 нога)	$F_\Sigma/mg$ (сумма)
0,0–0,1	−0,1	−0,1	−0,2
0,1–0,2	−0,2	0	−0,2
0,2–0,3	0,2	0	0,2
0,3–0,4	0,2	0	0,2
0.4–0,5	0	0	0
0,5–0,6	−0,1	−0,1	−0,2
0,6–0,7	0	−0,2	−0,2
0,7–0,8	0	0,2	0,2
0,8–0,9	0	0,2	0,2
0,9–1,0	0	0	0

На каждом временном промежутке в 0,1 с суммарная сила постоянна, поэтому ускорение центра масс человека также постоянно. Оно рассчитывается по 2 закону Ньютона:

a=\frac{F_\Sigma}m.\qquad(1)

График зависимости горизонтального ускорения от времени показан на рис. 2.

Рис.2. Полный график горизонтального ускорения с исходной подписью

Для расчета зависимости скорости от времени необходимо знать начальную скорость. Но нам известна только средняя скорость $v_\text{ср}$ за один шаг. График зависимости ускорения от времени позволяет легко рассчитать зависимость изменения скорости $\Delta v=v_i-v_0$ , где $v_i$ — скорость в конце $i$ -го интервала времени. Суммарное смещение центра масс за один шаг можно по формуле

S=\sum_i\bigl(v_0+(\Delta v_i)_\text{ср}\Delta t\bigr)=v_0T+\sum_i(\Delta v_i)_\text{ср}\Delta t,\qquad(2)

где $(\Delta v_i)_\text{ср}$ — средняя скорость на $i$ -том интервале. Теперь среднюю скорость за полный шаг можно выразить как

v_\text{ср.}=\frac ST=v_0+\frac1T\sum_i(\Delta v_i)_\text{ср}\Delta t.\qquad(3)

Это соотношение позволяет найти начальную скорость $v_0$ .

Результаты расчетов приведены в Таблице 2. На рисунке 3 построен график зависимости величины $\Delta v$ от времени.

Таблица 2. Расчет зависимости горизонтальной скорости от времени.

$t$ , с	$a$ , м/с²	$\Delta v$ , м/с	$v$ , м/с
0	4	0	−0,08
0,1	4	0,4	0,32
0,2	−2	0,2	0,12
0,3	−2	0	−0,08
0,4	−2	−0,2	−0,28
0,5	2	0	−0,08
0,6	4	0,4	0,32
0,7	−2	0,2	0,12
0,8	−2	0	−0,08
0,9	−2	−0,2	−0,28
1	2	0	−0,08

Рис.3. Изменение горизонтальной скорости

Очевидно, что сумма в выражении (2) численно равна площади под графиком зависимости $\Delta v(t)$ . Эта площадь подсчитывается элементарно:

\sum_i(\Delta v_i)_\text{ср}\Delta t=-2\cdot\frac12\,0{,}4\cdot0{,}4=-0{,}16\,\text{м}.

Теперь из соотношения (3) определяем начальную скорость

v_0=v_\text{ср.}-\frac1T\sum_i(\Delta v_i)_\text{ср}\Delta t=1{,}16\,\frac v{\text{с}}.\qquad(4)

Эту скорость следует прибавить к значениям величин $\Delta v(t)$ , в результате чего, получим искомую зависимость $v(t)$ . График этой зависимости показан на рис. 4.

Рис.4. Горизонтальная скорость с исходной подписью

Часть 2. Нормальная составляющая силы реакции.

Расчет зависимости вертикальной скорости центра масс от времени проводится полностью аналогично.

В Таблице 3 и на рисунках показана зависимость вертикальной составляющей силы от времени (с учетом суммирования в тех интервалах, где обе ноги находятся на земле).

Таблица 3. Суммарная вертикальная сила.

Интервал (с)	$F_1/mg$ (1 нога)	$F_2/mg$ (2 нога)	$F_\Sigma/mg$ (сумма)
0,0–0,1	0,7	0,7	1,4
0,1–0,2	0,8	0	0,8
0,2–0,3	0,8	0	0,8
0,3–0,4	0,8	0	0,8
0.4–0,5	1,2	0	1,2
0,5–0,6	0,7	0,7	1,4
0,6–0,7	0	0,8	0,8
0,7–0,8	0	0,8	0,8
0,8–0,9	0	0,8	0,8
0,9–1,0	0	1,2	1,2

Вертикальное ускорение центра масс рассчитывается по формуле

a=\left(\frac{F_\Sigma}{mg}-1\right)g.\qquad(5)

График этой зависимости приведен на рис. 6.

Рис.6. Вертикальное ускорение с исходной подписью

В Таблице 4 показаны результаты расчета изменения вертикальной скорости от времени, а на рис. 7 зависимость величины $\Delta v$ от времени.

Таблица 4. Расчет зависимости горизонтальной скорости от времени.

$t$ , с	$a$ , м/с²	$\Delta v$ , м/с	$v$ , м/с
0	4	0	−0,08
0,1	4	0,4	0,32
0,2	−2	0,2	0,12
0,3	−2	0	−0,08
0,4	−2	−0,2	−0,28
0,5	2	0	−0,08
0,6	4	0,4	0,32
0,7	−2	0,2	0,12
0,8	−2	0	−0,08
0,9	−2	−0,2	−0,28
1	2	0	−0,08

Расчет площади под графиком зависимости $\Delta v(t)$ приводит к результату

\sum_i(\Delta v_i)_\text{ср}\Delta t=2\left(\frac12\,0{,}4\cdot0{,}3-\frac12\,0{,}2\cdot0{,}2\right)=0{,}08\,\text{м}.

Теперь из соотношения (3) определяем начальную скорость (с учетом, того, что средняя вертикальная скорость равна нулю):

v_0=-\frac1T\sum_i(\Delta v_i)_\text{ср}\Delta t=-0{,}08\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\qquad(4)

Эту скорость следует прибавить к значениям величин $\Delta v(t)$ , в результате чего, получим искомую зависимость $v(t)$ . График этой зависимости показан на рис. 8.

Рис.8. Вертикальная скорость с исходной подписью

Часть 3. Превращение энергии.

Кинетическая энергия тела равна

E_\text{к}=\frac m2(v_x^2+v_2^2).\qquad(5)

Используя данные расчетов скоростей, можно рассчитать кинетическую энергию тела в «узловых точках». Результаты этих расчетов приведены в Таблице 5. График полученной зависимости показан на рис. 9.

Таблица 5. Расчет зависимости кинетической энергии от времени.

$t$ , с	$v_x$ , м/с	$v_y$ , м/с	$E_\text{к}$ , Дж
0	1,16	−0,08	54,08
0,1	0,96	0,32	40,96
0,2	0,76	0,12	23,68
0,3	0,96	−0,08	37,12
0,4	1,16	−0,28	56,96
0,5	1,16	−0,08	54,08
0,6	0,96	0,32	40,96
0,7	0,76	0,12	23,68
0,8	0,96	−0,08	37,12
0,9	1,16	−0,28	56,96
1	1,16	−0,08	54,08

Для расчета потенциальной энергии ( $U=mgh$ ) необходимо построить график зависимости вертикальной координаты от времени. Так как на всех временных интервалах ускорение постоянно, то соответствующей зависимости будет состоять из отрезков парабол. Значения вертикальной координаты в «узловых точках» рассчитывается традиционным образом, как площадь под графиком зависимости $v(t)$ . Результаты расчетов представлены в Таблице 6, график показан на рисунке 10.

Таблица 6. Расчет зависимости потенциальной энергии от времени.

$t$ , с	$v_y$ , м/с	$h$ , м	$U$ , дж
0	−0,08	0	0
0,1	0,32	0,012	9,6
0,2	0,12	0,034	27,2
0,3	−0,08	0,036	28,8
0,4	−0,28	0,018	14,4
0,5	−0,08	0	0
0,6	0,32	0,012	9,6
0,7	0,12	0,034	27,2
0,8	−0,08	0,036	28,8
0,9	−0,28	0,018	14,4
1	−0,08	0	0

Оба полных графика кинетической и потенциальной энергии

Кинетическая энергия изменяется в пределах примерно от 24 Дж до 57 Дж, то есть, на 33 Дж. Потенциальная энергия изменяет от 0 до 29 Дж. Диапазоны изменения кинетической и потенциальной энергии примерно совпадают.

Дополнение (в решении не требуется).

Интересно оценить, какую мощность развивает человек при ходьбе. Для этого построим график зависимости полной энергии человека от времени. Человек совершает работу на тех интервалах, когда полная энергия растет. При убыли полной энергии эта энергия человеку не возвращается. На рисунке отмечен такой участок.

Полная энергия, дополнительная работа и мощность

Простой расчет показывает, что средняя мощность, развиваемая человеком при ходьбе, примерно равна 30 Вт.

Баллы

Пункт задачи	Содержание	Баллы
Часть 1		24
1.1	Касание двумя ногами на интервалах 0,1 – 0,2 с. и 0,5 – 0,6 с. (Суммирование сил на этих интервалах)	2
	Вычисление ускорений на каждом интервале.	3
	График зависимости горизонтальной составляющей ускорения от времени.	3
1.2	Вычисление изменения скорости (суммирование площадей)	3
	Определение «нулевого уровня» (равенство площадей над и под уровнем). Графически или аналитически (метод и результат). Ошибка не более 10% / не более 20% / больше 20%	6 / 4 / 2
	График зависимости скорости от времени	4
1.3	Значения скоростей: - в начале цикла, - максимальная скорость - минимальная скорость	1 1 1
Часть 2		24
2.1	Касание двумя ногами на интервалах 0,1 – 0,2 с. и 0,5 – 0,6 с. (Суммирование сил на этих интервалах)	2
	Вычисление ускорений на каждом интервале.	3
	График зависимости вертикальной составляющей ускорения от времени.	3
2.2	Вычисление изменения скорости (суммирование площадей)	3
	Определение «нулевого уровня» (равенство площадей над и под уровнем). Графически или аналитически (метод и результат). Ошибка не более 10% / не более 20% / больше 20%	6 / 4 / 2
	График зависимости скорости от времени	4
2.3	Значения скоростей: - в начале цикла, - максимальная скорость - минимальная скорость	1 1 1
Часть 3		22
3.1	Выражение для кинетической энергии (5)	1
	Вычисление значений кинетической энергии в «узловых точках»	4
	График зависимости кинетической энергии от времени	4
3.2	Максимальное значение кинетической энергии Минимальное значение кинетической энергии	1 1
3.3	Расчет вертикальных перемещений (суммирование площадей под графиком)	5
	График зависимости потенциальной энергии от времени.	4

Пункт задачи	Содержание	Баллы	Баллы участника
3.4	Максимальное значение потенциальной энергии Минимальное значение потенциальной энергии	1 1
Всего		70

Полная исходная таблица оценивания, страница 4, включая все критерии, баллы, пустые поля и внешнюю рамку

Оригинал в Архива: 2013_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2013_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2013_theoretical_schemes.pdf