BelPhO 2014, Областен етап, 9–11 клас — Задача 5. Мостовые схемы.

Часть 1. Подготовительная.

1.1 Результаты измерений сопротивлений приведены в таблице 1.

Таблица 1.

1.2. для измерения сопротивления мультиметра в режиме измерения силы тока можно использовать схему с шунтирующим резистором $R_x$ (рис. 1). Сопротивление этого резистора должно быть сравнимо с сопротивлением амперметра, поэтому в этой роли должен выступать реостат. Сопротивление реостата можно изменять, при этом с помощью мультиметра, переключенного в режим омметра легко измерить установленное значение (при этом цепь следует отключить от источника).

Так же необходимо включить в цепь дополнительный резистор $R_0$, сопротивление которого должно быть таким, чтобы ток в цепи попадал в требуемый диапазон измерения силы тока. Разумно использовать$^2$ в этом качестве резистор $r_1$.

Так как сопротивление амперметра, шунта и внутреннее сопротивление источника значительно меньше сопротивления резистора $R_0$, то сила тока через амперметр (непосредственно измеряемая) определяется по формуле

Из этой формулы следует, что зависимость силы тока $I_A$ от шунтирующего сопротивления $R_x$ приводится к линейному виду, если ее «перевернуть»:

Таким образом, зависимость $I_A^{-1}(R_x^{-1})$ является линейной и параметры этой линейной зависимости (которые могут быть рассчитаны по методу наименьших квадратов) Позволяют определить искомое значение сопротивление амперметра. Действительно, параметры линейной зависимости $\dfrac{1}{I_A} = a\dfrac{1}{R_x} + b$ определяются выражениями $a = \dfrac{R_0}{U_0}R_A$, $b = \dfrac{R_0}{U_0}$, поэтому требуемое значение сопротивления амперметра рассчитывается как отношение этих коэффициентов $R_A = \dfrac{a}{b}$.

$^2$ Еще более разумно использовать резистор с меньшим сопротивлением, для чего можно соединить параллельно резисторы $r_1$ и $r_2$.

Результаты измерений зависимости силы тока через амперметр от сопротивления шунта приведены в Таблице 2 и на графике (рис. 2) для диапазона измерений 200 мА, и в Таблице 3 и на графике (рис. 3) для диапазона 20 мА.

Таблица 2 Диапазон измерения 200 мА.

Таблица 3. Диапазон 20 мА

Расчет сопротивлений по этим данным приводит к следующим значением сопротивлений амперметра:

$R_A = 1{,}4$ Ом в диапазоне 200 мА;

$R_A = 11{,}6$ Ом в диапазоне 20 мА;

1.3. Для измерения сопротивление мультиметра в режиме измерения напряжения следует использовать схему с дополнительным резистором, подключенным последовательно к вольтметру (рис. 5) .
В этом случае показания вольтметра могут быть рассчитаны по формуле

Эта формула также допускает аналогичную линеаризацию

То есть зависимость $\dfrac{1}{U_V}$ от $R_x$ является линейной

где $a = \dfrac{1}{U_0R_V}$, $b = \dfrac{1}{U_0}$. Поэтому значение сопротивления вольтметра может быть рассчитано по формуле $R_V = \dfrac{b}{a}$.

Для проведения измерений необходимо использовать в качестве добавочного резистора большие сопротивления, в качестве которых следует использовать резисторы $r_3$ и $r_4$: по отдельности, соединенные параллельно и соединенные последовательно (таким образом возможно 4 варианта).
Отметим также, что для измерения сопротивления в диапазоне 2000 мВ в схему следует включить делитель напряжения, в качестве которого следует использовать реостат, включенный по схеме потенциометра.
Измерения и обработка проводятся аналогично, описанному ранее. В результате измерений получены следующие значения сопротивлений вольтметра

$R_V = 1{,}4$ кОм в диапазоне 2000 мВ;

$R_V = 11{,}6$ кОм в диапазоне 20 В.

Часть 2. Мостовая схема.

2.1 - 2.2 Для расчета напряжения на мультиметре в режиме вольтметра можно пренебречь силой тока $I_0$, протекающего через него. В этом случае измеряемое напряжение может быть найдено как разность потенциалов точек В и С:

Откуда следует:

При расчете показаний амперметра можно пренебречь его сопротивлением. В этом случае схема преобразуется к легко рассчитываемой схеме с двумя парами параллельно соединенных резисторов. Расчет силы тока в этом случае может быть проверен следующим образом:
Общая сила тока в цепи:

Силы токов в верхней ветви моста

Сила тока через амперметр$^3$:

2.3 Рассматривая протекание токов в мостовой схеме, можно заключить, что максимальные напряжение и сила токов будут достигаться в максимально разбалансированной цепи, когда (один из возможных вариантов с точностью до перестановки)

В этом случае теоретическое значение силы тока через амперметр равно

Минимальные значения силы тока и напряжения при максимальной балансировке моста, т.е. при$^4$

2.4 Результаты требуемых измерений приведены в Таблице 4. Ниже приведены графики полученных зависимостей. Параметр рассчитан по формуле

Таблица 4.

$^3$ Отметим, что формула эквивалентна формуле, приведенной в условии при $R_0 = 0$

$^4$ Возможен также вариант (в зависимости от выданных резисторов)

Теоретически данные зависимости описываются формулами (которые получены, с учетом того, что сопротивление реостата мало)

Которые достаточно точно описывают приведенные экспериментальные зависимости.