Съдържание

Условие Отговори Решение

BelPhO 2014, Областен етап, 9–11 клас — Задача 4. Придумай формулу сам!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Республиканская физическая олимпиада 2014 год (III этап). Экспериментальный тур

9 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

10 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

11 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач – планируйте свое время!
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Условие

10 класс. Задание 2. Придумай формулу сам!

Вам необходимо исследовать колебания пластикового кольца. Так как колебательное движение вы еще не изучали, то вы свободны от теоретических измышлений!

Оборудование: пластиковое кольцо, пластилин, 5 канцелярских кнопок, подвес, подставка, секундомер.

Закрепите на внутренней поверхности кольца кусочек пластилина, в который можно втыкать канцелярские кнопки. Исследуйте зависимости периодов колебаний подвешенного кольца и кольца, колеблющегося по горизонтальной поверхности от числа кнопок, воткнутых в пластилин.

Два кольца с кусочком пластилина на внутренней поверхности внизу. Слева — кольцо, подвешенное за верхнюю точку, со стрелкой колебаний под ним; справа — кольцо, стоящее на горизонтальной подставке, со стрелкой колебаний над ним.

В обоих случаях период колебаний может быть описан формулой

T = CR^{\alpha} g^{\beta} \left(\frac{m}{m_0}\right)^{\gamma} \qquad (1)

$R$ - радиус кольца, $g$ - ускорение свободного падения, $m$ - масса кольца, $m_0$ - масса груза на его внутренней поверхности.

1.1 Параметры $\alpha$ и $\beta$ определите методом размерностей.

1.2 На основании экспериментальных данных определите показатель степени $\gamma$ для двух типов колебаний. Свои выводы обоснуйте графически.

Отговори

Решение

Задание 10-2. Придумай формулу сам!

1.1 Параметры $\alpha$ и $\beta$ определите методом размерностей.
Чтобы размерности в формуле

T = CR^{\alpha} g^{\beta} \left(\frac{m}{m_0}\right)^{\gamma} \qquad (1)

Совпадали, необходимо, чтобы она имела вид

T = C\left(\frac{m}{m_0}\right)^{\gamma} \sqrt{\frac{R}{g}} \qquad (2)

Т.е. $\alpha = \dfrac{1}{2}, \quad \beta = -\dfrac{1}{2}$ .

Подвешенное кольцо: точка подвеса вверху, масса кольца m1, груз m0 на внутренней поверхности внизу, под кольцом стрелка колебаний.

1.2 .1 Колебания подвешенного колечка.
В этом случае эксперимент вполне однозначно показывает, что период колебаний не зависит от числа использованных кнопок. Поэтому в этом случае $\gamma = 0$ .

Примечание не для участников.
Этот неожиданный вывод может быть строго обоснован теоретически. Используя формулу для периода колебаний физического маятника, получим

T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{mga}} = 2\pi\sqrt{\frac{2m_1R^2 + 4m_0R^2}{g(m_1R + 2m_0R)}} = 2\pi\sqrt{\frac{2R}{g}},

Здесь $J$ - момент инерции маятника относительно точки подвеса, $a$ - расстояние от точки подвеса до центра масс маятника, $m_1$ - масса кольца, $m_0$ - масса груза.

1.2.2 Колебания колечка на горизонтальной поверхности.

В этом случае наблюдается зависимость периода колебаний. Результаты измерений зависимости периода колебаний $T$ от числа использованных кнопок $n$ приведены в таблице и на графике. Указаны времена измерений трех периодов колебаний и среднее значение периода.

Таблица 1.

$n$	$(3T)_1$ ,с	$(3T)_2$ ,с	$(3T)_3$ ,с	$\langle T \rangle, c$	$\langle T \rangle^{-2}, c^{-2}$
0	3,18	3,14	3,16	1,053333	0,901
1	2,95	2,86	2,93	0,971111	1,060
2	2,62	2,60	2,68	0,877778	1,297
3	2,44	2,49	2,39	0,813333	1,511
4	2,32	2,31	2,35	0,775556	1,662
5	2,20	2,25	2,26	0,745556	1,799
6	2,12	2,09	2,11	0,702222	2,027

График «Зависимость периода колебаний от числа кнопок»: по оси абсцисс «число кнопок n» от 0 до 7, по оси ординат «Период колебаний T, с» от 0,6 до 1,1; семь точек от 1,05 при n = 0 до 0,70 при n = 6 и плавная убывающая кривая. — Зависимость периода колебаний от числа кнопок

Хорошо видно, что период колебаний убывает при увеличении числа кнопок (при возрастании массы груза). На основании данного графика можно предположить, что убывание обратно пропорционально корню квадратному из массы груза, т.е. что он описывается формулой

T = C\sqrt{\frac{R}{g}} \cdot \sqrt{\frac{m}{m_0}}. \qquad (3)

Для проверки данного предположения можно построить график зависимости $T^{-2}$ от числа кнопок $n$ . Если высказанное предположение справедливо, то данная зависимость должна быть линейной, т.е. иметь вид

T^{-2} = A(m_{\text{пласт.}} + n \cdot m_{\text{кнопки}}). \qquad (4)

График этой зависимости показан на рисунке, он вполне линеен, что подтверждает высказанное предположение $\gamma = \dfrac{1}{2}$ .

График «Линеаризация»: по оси абсцисс «Число кнопок» от 0 до 7, по оси ординат «Квадрат частоты» от 0,7 до 2,1; семь точек от 0,90 при n = 0 до 2,03 при n = 6 и возрастающая прямая. — Линеаризация

Оригинал в Архива: 3_etap_2014_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2014_experimental_solutions.pdf