Съдържание

Условие Решение

BelPhO 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-2. Магнитные взаимодействия.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Республиканская физическая олимпиада 2014 года (заключительный этап). Экспериментальный тур.

Внимание: Бележка към темата

В архиве нет официального решения задачи 11-2; в решении 11-1 несколько знаков не пропечатаны в исходном PDF.

Условие

Приборы и оборудование: магнит на подвесе, штатив, железная шайба, линейка секундомер.

Для повышения устойчивости рекомендуем использовать бифилярный подвес.

Бифилярный подвес: две нити от горизонтальной планки сходятся к крючку, на котором висит дисковый магнит.

Часть 1. Точка отрыва.

Подвесьте магнит над столом на некоторой высоте $h$ . Под магнитом расположите металлическую шайбу. Если двигать шайбу по столу (или лучше по линейке), не далеко от магнита, то магнит отклоняется из-за притяжения к шайбе. При некотором положении шайбы магнит «отрывается» от шайбы и возвращается исходное положение.

Магнит на нити длиной $L$, отклонённый от вертикали (пунктиром показано исходное положение магнита на высоте $h$ над линейкой); на линейке лежит шайба-кольцо; отмечены координаты $x_0$ (под отклонённым магнитом) и $x_1$ (центр шайбы).

1.1 Измерьте зависимость положения шайбы $x_0$ и отклонения магнита $x_1$ в момент «отрыва» от высоты подвески магнита $h$ . Постройте графики полученных зависимостей.

1.2 Используя полученные данные, постройте график зависимости силы притяжения магнита и шайбы от расстояния между ними.

Считайте, что сила притяжения $F$ направлена вдоль прямой, соединяющей центы шайбы и магнита. Приведите формулы, по которым вам удалось рассчитать эту силу. Единицей измерения силы считайте силу тяжести магнита – иными словами, вам необходимо найти отношения силы взаимодействия к силе тяжести $f = \dfrac{F}{mg}$ .

Часть 2. Колебания.

Подвесьте магнит над плитой штатива на некоторой высоте $h$ . При этом магнит будет притягиваться к плите.

2.1 Измерьте зависимость периода колебаний магнита от расстояния до плиты $h$ . Постройте график полученной зависимости.

2.2 Используя формула для периода колебаний маятника (без магнитного притяжения) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ , рассчитайте зависимость силы притяжения от расстояния до плиты $h$ . Постройте график полученной зависимости.

Воспользуйтесь подсказками 1 части.

Решение

Часть 1. Точка отрыва.

Рассмотрим условия равновесия подвешенного магнита. Так сумма моментов сил, действующих на магнит, равна нулю, то должно выполняться условие:

mg\sin\alpha = F\sin(\beta - \alpha) . \qquad (1)

Так как длина подвеса $L$ значительно больше высоты $h$ , то угол отклонения маятника $\alpha$ мал. Поэтому

\sin\alpha \approx \frac{x_0}{L},\ \sin(\beta - \alpha) \approx \sin\beta = \frac{h}{r},

Схема сил: магнит на нити длиной $L$, отклонённой на угол $\alpha$ от вертикали, на высоте $h$ над столом; сила тяжести $m\vec g$ вниз, сила притяжения $\vec F$ вдоль отрезка $r$ к шайбе под углом $\beta$ к столу; отмечены точки $x_0$ и $x_1$.

Где $r = \sqrt{h^2 + (x_1 - x_0)^2}$ - расстояние между центрами магнита и кольца. С учетом этих приближений, из формулы (1) выразим

\frac{F}{mg} = \frac{x_0 r}{Lh} . \qquad (2)

В таблице 1 приведены результаты измерений и необходимых расчетов.

Таблица 1.

$h$ , мм	$X_0$ , мм	$X_1$ , мм	$r$ , мм	$F$
15	64	88	28,3	0,183
17	50,5	73,5	28,6	0,129
21	27	51	31,9	0,062
24	20	45	34,7	0,044
29	6	37	42,4	0,013

На рисунке представлен график полученной зависимости.

График «Изучение отрыва»: по оси абсцисс «h, мм» (10–30), по оси ординат «X0, X1, мм» (0–100); две убывающие кривые — ромбы ($X_1$) и кружки ($X_0$).

Ниже показан график зависимости силы притяжения магнита и кольца от расстояния между ними.

Интересно отметить, что эта зависимость хорошо описывается степенной зависимостью, причем сила обратно пропорциональная шестой степени расстояния.

График «Зависимость силы притяжения от расстояния»: по оси абсцисс «расстояние, мм» (25–45), по оси ординат «сила, отн. ед.» (0,00–0,20); ромбы и убывающая степенная кривая.

Часть 2. Колебания.

Формулу для периода колебаний математического маятника с учетом постоянной силы магнитного притяжения можно преобразовать к виду

T = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg + F}} . \qquad (3)

Из этой формулы выразим силу взаимодействия

mg + F = \frac{4\pi^2 ml}{T^2} . \qquad (4)

Запишем аналогичное выражение для колебаний без магнитного взаимодействия

mg = \frac{4\pi^2 ml}{T_0^2} . \qquad (5)

Из этих формул легко получить формулу для расчета силы взаимодействия по измеренным значениям периода колебаний.

\frac{F}{mg} = \frac{T_0^2}{T^2} - 1 . \qquad (6)

В таблице 2. приведены результаты измерений периодов колебаний при различных расстояниях между магнитом и плитой. Рядом показан график полученной зависимости.

График «Зависимость периода колебаний от расстояния»: по оси абсцисс «расстояние, мм» (0–50), по оси ординат подписано «сила, отн. ед.» (0,0–1,8); точки возрастают от 0,8 до 1,64 и выходят на насыщение.

Таблица 2.

$H$ , мм	$T$ , с	$F$
48	1,637
39	1,633	0,0049
34	1,585	0,0667
30	1,556	0,107
24	1,432	0,307
20	1,369	0,430
17	1,164	0,978
12	0,816	3,025

Также в таблице приведены результаты расчетов силы взаимодействия по формуле (6).

Ниже показан график зависимости силы притяжения от расстояния.

В данном случае зависимость близка к $r^{-5}$

График «Зависимость силы от расстояния»: по оси абсцисс «расстояние, мм» (0–40), по оси ординат «Сила, отн.ед.» (0,0–3,5); ромбы и резко убывающая кривая.

Оригинал в Архива: 2014_experimental_problems.pdf · официални решения: 2014_experimental_solutions.pdf