BelPhO 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-1. Резисторы и конденсаторы.

• 1.2 примерно 60 с; по полулогарифмическому графику τ₀ = 56,7 с

  Значение из официального решения для установки авторов.

• 2.2 R_V = 1,00·10⁷ Ом = 10 МОм

  Значение из официального решения.

• 2.3 R_C ≈ 40 МОм

  Значение из официального решения.

• 2.4 R_R ≈ 1,2 МОм

  Значение из официального решения.

Часть 1. Время установления тока.

Теория процессов протекающих в данной цепи подробно рассмотрено в задача 10-3 теоретического тура. Поэтому здесь приводятся только экспериментальные данные и результаты их обработки.

В таблице 1 приведены результаты измерений напряжений на резисторах в процессе зарядки конденсатора.

Таблица 1.

На графике проведены касательные к графикам в начальные момент времени, позволяющие получить значения характерного времени зарядки. В данном случае оно составляет примерно 60 с.

Из графиков следует, что предельные значения напряжений примерно равны, следовательно, сопротивления резисторов равны.

Более точные значения характерных времен можно получить, если построить графики зависимостей в полулогарифмическом масштабе, то есть зависимости логарифма отклонения от стационарного значения $\ln\left|U - \overline{U}\right|$ от времени. Ниже показаны эти графики.

Как видно, график для обоих напряжений практически совпадают, что полностью подтверждает вывод о том, что характерные времена установления равновесия совпадают.

Из этого графика следует, что характерное время установления для данных зависимостей равно $\tau_0 = 56{,}7\text{с}$. Следовательно, эффективное сопротивление через которое идет зарядка конденсатора равно $R^* = \dfrac{\tau}{C} = 5{,}67 \cdot 10^5\,\text{Ом} = 0{,}57\,\text{МОм}$

Еще одним способом расчетов является изучение зависимостей скоростей изменения напряжений $\dfrac{\Delta U}{\Delta t}$ от самого напряжения. При таком подходе коэффициенты наклона обратны характерным временам установления равновесия. Следующий график иллюстрирует этот подход. Как видно, и этот способ дает правильное значение характерных времен. Однако, операция численного дифференцирования приводит к достаточно большому разбросу точек графиков. Поэтому в дальнейшем мы будем использовать полулогарифмический масштаб

Часть 2. Параметры элементов цепей.

Результаты измерений зависимости напряжения на конденсаторе от времени при разрядке через мультиметр приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Графики полученной зависимости в обычном и полулогарифмическом масштабе показаны на следующем рисунке.

На графике в полулогарифмическом масштабе видно, что коэффициенты наклона на участках больших и малых напряжений отличаются – что показывает наличие утечки тока через сам конденсатор.. Так при малых напряжения коэффициент наклона графика равен $9{,}98 \cdot 10^{-4}\,\text{с}^{-1}$. Следовательно, на этом участке характерное время разрядки равно $R_V C = 1{,}00 \cdot 10^3\,\text{с}$. Так как $C = 100\,\text{мкф} = 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{Ф}$, то сопротивление мультиметра

На участке больших напряжений время разрядки оказывается меньше Здесь $RC \approx 800\text{с}$. Следовательно, общее сопротивление вольтметра и конденсатора равно $R = 8{,}0\,\text{МОм}$. Поэтим данным можно оценить сопротивление резистора

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при разрядке через резистор представлена в таблице 3 и на следующем график в полулогарифмическом масштабе.

Таблица 3.

В данном случае точки почти идеально легли на прямую, следовательно в данном случае сопротивление разрядки постоянно. Время разрядки, найденное по наклону графика оказывается равным $1{,}1 \cdot 10^2\,\text{с}$, следовательно, сопротивление параллельно соединенных резистора и вольтметра равно $R_t = 1{,}1\,\text{МОм}$ .

Сопротивление резистора можно рассчитать по формуле

Согласно, теоретическим расчетам эффективное сопротивление зарядки в два раза меньше чем сопротивление каждого из резисторов, что хорошо подтвердилось экспериментально.