BelPhO 2014, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-2. 9 класс — 2.

1. Постоянные потери

1.1 За время $t$ в сосуд от нагревателя поступит энергия $E_\text{н}=Pt$. Тепловые потери осуществляются через боковую поверхность сосуда и поверхность воды в сосуде. Тогда общая площадь механизма тепловых потерь:

За время $t$ на тепловые потери уйдет энергия $E_\text{пот}=q_0S_\text{пот}t$.

Поступающая энергия идет на нагревание воды, массу которой можно определить через ее объем:

Тогда, записывая количество энергии, необходимое на нагрев воды, получаем:

Подставляя выражения для энергий, найдем время, необходимое для нагрева воды:

1.2 Чтобы воду можно было нагревать, количество потерь энергии не должно превышать количество поступающей от нагревателя. Пограничный случай: $E_\text{н}=E_\text{пот}$, откуда при подстановке соответствующих выражений:

1.3 Пусть объем воды, приходящий в единицу времени равен $\lambda_0$. Тогда объем воды $\lambda_0t$, или массу $\rho\lambda_0t$, поступающую (и уходящую) за время $t$, необходимо успеть нагреть от температуры $T_1$ до $T_3$, то есть:

Подставляя полученные ранее выражения для энергий, пренебрегая потерями теплоты и площадью подводящих и уводящих воду труб, получим:

2. Переменные потери

2.1 Мощность тепловых потерь теперь определяется выражением $P_\text{пот}=\beta(T-T_1)S_\text{пот}$, где $T$ – текущая температура воды. Когда вода оказывается при максимальной неизменной температуре $T_{\max}$, ее нагрева больше не происходит, и вся мощность, получаемая от плитки, уходит в тепловые потери:

Отсюда максимальная температура:

Однако при нормальном давлении вода может нагреться лишь до температуры кипения (за исключением некоторых «экзотических» случаев). Поэтому корректным ответом данного пункта будет: воду можно нагреть вплоть до температуры кипения $T_\text{кип}=100\,°\mathrm C$.

2.2 Из графика видно, что в начальный момент времени температура жидкости $T$ равна температуре окружающего воздуха $T_1$. Тогда мощность тепловых потерь $P_\text{пот}=0$. Записывая уравнение теплового баланса для небольшого промежутка времени $\Delta t$ в начале нагрева, когда вода успела нагреться на некоторую температуру $\Delta T$, получим:

Откуда можно выразить искомую мощность плитки:

Отношение $\Delta T/\Delta t$, описывающее, как уже было отмечено, скорость нагрева/остывания воды, можно найти, построив касательную к графику зависимости температуры воды от времени в точке $t=0$. Тогда, выбирая промежуточный отрезок $\Delta t$ на оси температур, можно найти соответствующее приращение температуры $\Delta T$ и найти отношение:

Тогда полезная мощность плитки оказывается равной: $P=2470\,\text{Вт}$. Из графика также можно заметить, что максимальная температура нагрева воды составляет $T_{\max1}=50\,°\mathrm C$. Тогда, как и в пункте 2.1, получаем выражение $P=\beta_1(T_{\max1}-T_1)S_\text{пот}$. Отсюда коэффициент теплоотдачи:

2.3 Вновь запишем уравнение теплового баланса при остывании жидкости на $\Delta T$ за малый промежуток времени $\Delta t$ в какой-то момент:

Отсюда, зная значение $\beta_1$ и остальных характеристик из предыдущих пунктов, можем выразить зависимость убывания температуры воды от ее температуры: $\Delta T(T)$:

Выбирая за $\Delta t$, некоторый промежуток времени, например 0,5 мин, можем пошагово вычислять примерное изменение температуры и заносить данные в таблицу:

Таблица 1 – Пошаговое вычисление температуры воды от времени при остывании

На основании полученных данных можно нанести точки на искомый график зависимости и провести через них сглаживающую кривую.

Рисунок 1 - Зависимость температуры воды от времени в ходе остывания