Съдържание

BelPhO 2014, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-3. 9 класс — 3.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 34 страницы соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, 54 явно обозначенные группы запросов. Ненумерованный составной запрос о тени и раздел 0 об уравнении адиабаты сохранены целиком. Введение 1.2 к непрерывному диэлектрику и введение 2.2.1 к непрерывному резистору не превращены в дополнительные запросы. Сохранены все полные ключи, альтернативные выводы и модели, сноска, числовые таблицы, исходные формулы и графики. Полный пустой бланк к задаче 10-2 напечатан на странице 10 условий и включен. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. В исходной папке нет дополнительных теоретических приложений; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру и здесь не использованы.

Исходные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: ссылки и номера рисунков в задаче о нагреве и фотоэффекте расходятся с подписями; в задаче о стержне повторены номер формулы 2 и пункт 1.2.2 (второй пункт имеет † только для различения ссылок), а в формуле 15 ключа напечатано ε₀ вместо ε₁. В сравнении циклов раздел 3 содержит пункты 4.1/4.2, отношение давлений при вычислении T₃ напечатано p₂/p₂, а у результата 70,2 не напечатан знак процента. В ключе к «Установлению равновесия» повторены номера формул и перепутаны подписи графиков лодки/конденсатора и U₁/U₂. В «Краях» отдельные исходные символы B/x отображаются как Â/õ; отсутствующие глифы в K □ B и индексе силы параллельного диполя представлены □. Для диполя условие r≫L расходится с L≫r в ключе; напечатанные коэффициент 3/4 и отношение F⊥=F□/2 сохранены. Ключ сферической линзы нумерует ответы 4.1/4.2/4.3 иначе, чем условие, и последний комментарий дважды называет плосковыпуклую поверхность. Исходное «одно12тонный» в условии фотоэффекта сохранено, угол на схеме отложен от нормали, тогда как пункт 3.1 указывает угол к поверхности, и в ключе повторен индекс компоненты. В последней задаче рисунок диэлектрика обозначает ρ(x), а три запроса части 2 вновь имеют номера 1.2.1–1.2.3. Ключ сохраняет разные множители в формулах 7/8, повтор E₂s−E₂s, пропуск площади в формуле 20, повтор E₁ для двух половин резистора и лишний множитель E в конечной формуле поверхностного заряда. Явная итоговая формула сопротивления непрерывного резистора в ключе не напечатана; она не дописана. Остальные исходные обозначения и грамматические ошибки также сохранены. График касательной в ключе на странице 5 обрезан в самом исходнике справа после отметки 5 минут; сохранен полный полученный рисунок. Схема цепочки в ключе пространственно соседствует с текстом и формулами внутри своей прямоугольной области; сохранен полный исходный контекст, без частичных обрезков слов. В исходном рисунке тонких слоев на странице 32 ключа низ обозначения Δxᵢ обрезан самим встроенным изображением; полученное изображение сохранено полностью, без дорисовки.

Оригинальная общая обложка

А.И.Слободянюк, В.В.Барашков, Л.Г.Маркович, Н.В.Лаппо, К.Д.Сечко. Республиканская физическая олимпиада 2014 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Могилев. 2014.

Условие

Представьте, что вы находитесь на борту самолета, который в ясный солнечный день заходит на посадку. Если вы сидите у окна, то в некоторых случаях вы можете увидеть тень самолета на поверхности земли. Если самолет находится высоко, то его тень на поверхности земли отсутствует.

Будем считать, что самолет имеет форму шара радиуса $R=20\,\text{м}$ . Высота солнца над горизонтом $\alpha=45°$ , видимый угловой размер диска Солнца $\delta\alpha=0{,}5°$ . Оцените, на какой максимальной высоте $h$ может находиться шар, чтобы на поверхности земли была видна его тень.

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, линиями, осями, данными и обозначениями.

Решение

Основная причина, приводящая к исчезновению тени — конечные размеры Солнца (т.е. Солнце не является точечным источником). Лучи, испущенные разными участками Солнца по разному перекрываются воздушным шаром. Поэтому за последним образуется область полной тени, куда не попадают никакие лучи, и область полутени, в которую не попадают некоторые солнечные лучи. Для оценки можно считать, что тень исчезает, когда область полной тени перестает простираться до поверхности земли.

Для построения областей полной тени и полутени следует построить области теней для лучей, испущенных крайними точками диска Солнца (см. рис, на котором поперечные размеры сильно увеличены). Таковыми являются конусы, ограниченные лучами $A_1A_2N-A_1B_2M_1$ и $B_1A_2M_2-B_1B_2N$ . Из рисунка следует, что областью полной тени является конус, сечение которого на рисунке — $A_2NB_2$ . Высоту этого конуса легко найти, используя подобие треугольников $A_2NB_2$ и $A_1NB_1$ :

\frac{|A_2B_2|}{|C_2N|}=\frac{|A_1B_1|}{|C_1N|}\Rightarrow l=\frac{2R}DL.\qquad(1)

здесь обозначено $l=|C_2N|$ — расстояние от центра шара до земли, $L=|C_1N|$ — расстояние от Земли до Солнца, $2R=|A_2B_2|$ — диаметр шара, $D=|A_1B_1|$ — диаметр Солнца. Далее учтем, что $D/L=\delta\alpha$ — угловой размер Солнца, а высота шара над поверхностью Земли $h=l\sin\alpha$ . Следовательно, искомая высота равна

h=\frac{2R}{\delta\alpha}\sin\alpha.\qquad(2)

Для численных расчетов необходимо угловой размер Солнца следует выразить в радианах:

h=\frac{2R}{\delta\alpha}\sin\alpha=\frac{40\,\text{м}}{(2\pi/360°)\cdot0{,}5°}\sin45°\approx3\,\text{км}.\qquad(3)

Оригинал в Архива: 2014_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2014_theoretical_solutions.pdf