Съдържание

Условие 1.1 Модуль Юнга и коэффициент жесткости.1.2 Деформации и движение.1.3 Разгон и деформации Решение

BelPhO 2014, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-1. 10 класс — 1.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 34 страницы соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, 54 явно обозначенные группы запросов. Ненумерованный составной запрос о тени и раздел 0 об уравнении адиабаты сохранены целиком. Введение 1.2 к непрерывному диэлектрику и введение 2.2.1 к непрерывному резистору не превращены в дополнительные запросы. Сохранены все полные ключи, альтернативные выводы и модели, сноска, числовые таблицы, исходные формулы и графики. Полный пустой бланк к задаче 10-2 напечатан на странице 10 условий и включен. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. В исходной папке нет дополнительных теоретических приложений; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру и здесь не использованы.

Исходные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: ссылки и номера рисунков в задаче о нагреве и фотоэффекте расходятся с подписями; в задаче о стержне повторены номер формулы 2 и пункт 1.2.2 (второй пункт имеет † только для различения ссылок), а в формуле 15 ключа напечатано ε₀ вместо ε₁. В сравнении циклов раздел 3 содержит пункты 4.1/4.2, отношение давлений при вычислении T₃ напечатано p₂/p₂, а у результата 70,2 не напечатан знак процента. В ключе к «Установлению равновесия» повторены номера формул и перепутаны подписи графиков лодки/конденсатора и U₁/U₂. В «Краях» отдельные исходные символы B/x отображаются как Â/õ; отсутствующие глифы в K □ B и индексе силы параллельного диполя представлены □. Для диполя условие r≫L расходится с L≫r в ключе; напечатанные коэффициент 3/4 и отношение F⊥=F□/2 сохранены. Ключ сферической линзы нумерует ответы 4.1/4.2/4.3 иначе, чем условие, и последний комментарий дважды называет плосковыпуклую поверхность. Исходное «одно12тонный» в условии фотоэффекта сохранено, угол на схеме отложен от нормали, тогда как пункт 3.1 указывает угол к поверхности, и в ключе повторен индекс компоненты. В последней задаче рисунок диэлектрика обозначает ρ(x), а три запроса части 2 вновь имеют номера 1.2.1–1.2.3. Ключ сохраняет разные множители в формулах 7/8, повтор E₂s−E₂s, пропуск площади в формуле 20, повтор E₁ для двух половин резистора и лишний множитель E в конечной формуле поверхностного заряда. Явная итоговая формула сопротивления непрерывного резистора в ключе не напечатана; она не дописана. Остальные исходные обозначения и грамматические ошибки также сохранены. График касательной в ключе на странице 5 обрезан в самом исходнике справа после отметки 5 минут; сохранен полный полученный рисунок. Схема цепочки в ключе пространственно соседствует с текстом и формулами внутри своей прямоугольной области; сохранен полный исходный контекст, без частичных обрезков слов. В исходном рисунке тонких слоев на странице 32 ключа низ обозначения Δxᵢ обрезан самим встроенным изображением; полученное изображение сохранено полностью, без дорисовки.

Оригинальная общая обложка

А.И.Слободянюк, В.В.Барашков, Л.Г.Маркович, Н.В.Лаппо, К.Д.Сечко. Республиканская физическая олимпиада 2014 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Могилев. 2014.

Условие

Для описания упругих свойств веществ используются различные характеристики, одной из которых является модуль Юнга $E$ . Рассмотрим небольшой брусок в форме параллелепипеда. Пусть перпендикулярно одной из граней с площадью $S$ к бруску приложены две равные по модулю и противоположные по направлению силы $\vec F,\vec F'$ , под действием которых длина бруска увеличилась на малую величину $x$ (при длине в недеформированном состоянии $l$ ). В качестве меры возникающих сил упругости используется механическое напряжение $\sigma$ , равное отношению нормальной силы упругости к площади поперечного сечения $S$ : $\sigma=F/S$ , мерой деформации служит относительная деформация $\varepsilon=x/l$ . Связь между этими величинами выражается законом Гука

\sigma=\varepsilon E.\qquad(1)

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, линиями, осями, данными и обозначениями.

Важно отметить, что модуль Юнга зависит только от свойств материала, а не от размеров бруска. Модуль Юнга является важной характеристикой вещества, так, например, скорость звука в веществе также зависит от модуля Юнга и определяется формулой

c=\sqrt{E/\rho},\qquad(2)

где $\rho$ — плотность вещества.

В данной задаче рассматривается тонкий цилиндр длиной $l$ и площадью поперечного сечения $S$ , изготовленный из материала с модулем Юнга $E$ и плотности $\rho$ .

1.1 Модуль Юнга и коэффициент жесткости.

Цилиндр растягивают, прикладывая к нему постоянные силы, направленные вдоль его оси. В 9 классе вы использовали следующую формулу закона Гука для силы упругости

F_{\text{упр}}=kx.,\qquad(2)

где $x$ — удлинение цилиндра, $k$ — коэффициент жесткости.

1.1.1 Выразите коэффициент жесткости цилиндра через его геометрические размеры и модуль Юнга.

1.1.2 Пусть сила упругости растянутого цилиндра равна $F_0$ . Выразите энергию упругих деформаций цилиндра через его модуль Юнга и относительную деформацию $\varepsilon$ . Найдите объемную плотность энергии упругих деформаций.

1.2 Деформации и движение.

К торцам цилиндра прикладывают две силы, направленные вдоль оси цилиндра и равномерно распределенные по его торцам: к правому торцу $F_0$ , к левому $F_1$ . Совместим ось $Ox$ с осью цилиндра, а ее начало с левым торцом. В части 1.2 рассмотрите три случая: а) $F_1=F_0$ ; б) $F_1=F_0/2$ ; в) $F_1=0$ .

1.2.1 Постройте графики зависимости относительной деформации $\varepsilon$ от координаты $x$ .

1.2.2 Найдите максимальное удлинение стержня.

1.2.2† Найдите максимальную энергию деформации стержня.

1.3 Разгон и деформации

Найденное Вами распределение деформаций не устанавливается мгновенно, требуется некоторое время, чтобы волна деформаций распространилась по стержню. Пусть к правому торцу стержня в момент времени $t=0$ прикладывают постоянную силу $F_0$ , при этом левый конец стержня остается свободным.

1.3.1 Оцените время установления стационарного распределения деформаций, в стержне после начала его движения.

1.3.2 Оцените, через какой промежуток времени кинетическая энергия стержня станет равной энергии ее упругих деформаций.

Самостоятельно предложите простую модель распространения деформаций в стержне в процессе его разгона и воспользуйтесь ею.

Математическая подсказка. Площадь под параболой $y=x^2$ на участке от 0 до $l$ равна $S=l^3/3$ (это вычислил еще Архимед!)

Решение

1.1 Модуль Юнга и коэффициент жесткости.

1.1.1 Выразим силу упругости из определения механического напряжения $F_\text{упр}=\sigma S$ и подставим в полученное выражение закон Гука в виде (1), тогда

F_\text{упр}=\sigma S=\varepsilon ES=\frac xlES=\left(E\frac Sl\right)x=kx.\qquad(1)

Из (1) следует, что коэффициент жесткости цилиндра выражается через его геометрические размеры следующим образом

k=E\frac Sl.\qquad(2)

1.1.2 Энергия упругих деформаций выражается по известной формуле $E_\text{П}=kx^2/2$ (Физика – 9, с. 168). Во избежание путаницы с модулем Юнга будем в дальнейшем обозначать потенциальную энергию упругих деформаций через

E_\text{П}=W_\text{П}=\frac{kx^2}2.\qquad(3)

Подставляя в (3) полученное выражение (2) для коэффициента жесткости, находим

W_\text{П}=\frac{kx^2}2=E\frac Sl\frac{x^2}2=\frac E2\left(\frac xl\right)^2(Sl)=\frac{E\varepsilon^2}2V,\qquad(4)

— где $V=S\cdot l$ — объем рассматриваемого цилиндра. Для нахождения объёмной плотности энергии $\rho_E$ упругих деформаций (т.е. энергии упругих деформаций, заключенной в единице объема деформированной среды) необходимо взять отношение (4) к рассматриваемому объёму

\rho_E=\frac{E\varepsilon^2}2V/V=\frac{E\varepsilon^2}2=\frac{\sigma\varepsilon}2=\frac{\sigma^2}{2E}.\qquad(5)

Как следует из (5), плотность энергии упругих деформаций изменяется от точки к точке, если изменяется механическое напряжение или относительная деформация в образце.

Деформации и движение.

Поясним сначала, что следует понимать под относительной деформацией $\varepsilon(x)$ , которая является функцией координаты.

Свяжем ось $Ox$ со стержнем, начало оси совместим с левым торцом стержня (см. рис). Мысленно разобьем недеформированный стержень на тонкие слои одинаковой толщины $\Delta x$ . Пронумеруем эти слои индексом $k$ . Выделим один из этих слоев, координату которого обозначим $x_k$ .

Теперь представим, что стержень подвергся неоднородной деформации, например, удлинению под действием собственного веса. Тогда границы каждого слоя сместились, причем на разные расстояния. Введем новую неподвижную ось $Oz$ , ось же $Ox$ , по-прежнему, считаем связанной со стержнем, иными словами будем считать, что она деформировалась вместе со стержнем. Пусть координата левой стороны выделенного слоя приняла значение $z_k$ , а его толщина стала равной $\Delta z_k$ . Тогда абсолютная деформация этого слоя равна $\delta x_k=\Delta z_k-\Delta x_k$ , соответственно относительная деформация

\varepsilon_k=\frac{\delta x_k}{\Delta x_k}=\frac{\Delta z_k-\Delta x_k}{\Delta x_k}.\qquad(6)

Если толщины выделенных слоев считать бесконечно малыми, то вместо номера слоя $k$ , можно его характеризовать координатой $x$ и говорить об относительной деформации, как функции $x$ .

Зная относительную деформацию как функцию координаты, не сложно найти удлинение всего стержня. Так удлинение выделенного участка равно $\delta x_k=\varepsilon_k\Delta x_k$ , а полное удлинение находится суммированием по всем слоям, т.е.

\Delta l=\sum_k\varepsilon_k\Delta x_k.\qquad(7)

Если слои считать бесконечно тонкими, а деформацию функцией координаты, то полное удлинение станет равным площади под графиком зависимости $\varepsilon(x)$ . Также из формулы можно выразить зависимость новой координаты слоя через относительную деформацию $\varepsilon(x)$ :

\Delta z_k=\Delta x_k+\varepsilon_k\Delta x_k\Rightarrow z_k=\sum_{i=0}^k\Delta x_i+\sum_{i=0}^k\varepsilon_i\Delta x_i=x_k+\sum_{i=0}^k\varepsilon_i\Delta x_i.\qquad(8)

где суммирование ведется по всем предшествующим слоям. При бесконечно малых ширинах слоев сумма в формуле (8) может быть выражена, как площадь под графиком зависимости $\varepsilon(x)$ в интервале от 0 до $x$ .

Теперь можно приступить к непосредственному решению второй части задачи. Решим эту задачу в общем виде (что не запрещает решать каждый случай отдельно). Итак, к правому торцу стержня приложили силу $\vec F_0$ , а к левому $\vec F_1$ .

В течение некоторого промежутка времени разные части стержня будут двигаться с разными скоростями, что приведет к возникновению деформаций внутри стержня. По прошествии некоторого промежутка времени деформации стабилизируются, после чего скорости всех точек стержня будут одинаковы, следовательно, будут одинаковы и их ускорения. Исходя из этого условия и с помощью второго закона Ньютона, мы сможем найти распределение сил упругости внутри стержня. Далее с помощью закона Гука мы найдем распределение относительных деформаций, что позволит нам рассчитать все требуемые характеристики.

Выделим участок стержня длиной $x$ , начиная от левого торца. На основании 2 закона Ньютона можно записать уравнение

m(x)a=T(x)-F_1,\qquad(9)

где $m(x)=mx/l$ — масса выделенной части стержня ( $m$ — масса всего стержня), $T(x)$ — сила упругости, действующая со стороны правой части стержня, $a$ — ускорение стержня. Ускорение можно найти, записывая уравнение 2 закона Ньютона для всего стержня:

ma=F_0-F_1\Rightarrow a=\frac{F_0-F_1}m.\qquad(10)

Теперь из уравнения (9) можно найти зависимость силы упругости внутри стержня, как функцию координаты

T(x)=ma\frac xl+F_1=(F_0-F_1)\frac xl+F_1=F_0\frac xl+F_1\left(1-\frac xl\right).\qquad(11)

Переход к относительной деформации определяется очевидной цепочкой преобразований:

\varepsilon(x)=\frac{\sigma(x)}E=\frac{T(x)}{SE}=\frac{F_0}{SE}\frac xl+\frac{F_1}{SE}\left(1-\frac xl\right)=\varepsilon_0\frac xl+\varepsilon_1\left(1-\frac xl\right),\qquad(12)

где обозначено $\varepsilon_0=F_0/(SE)$ , $\varepsilon_1=F_1/(SE)$ — относительные деформации, создаваемые постоянными силами $F_0,F_1$ , соответственно. График этой зависимости представляет собой прямую линию. Интересно отметить, что для относительных деформаций справедлив принцип суперпозиции (что следует из линейности закона Гука): сила $F_0$ приводит к возникновению деформаций, линейно уменьшающихся от максимального значения $\varepsilon_0$ в месте ее приложения (т.е. на правом торце) до нуля на противоположном торце; аналогично ведут себя деформации, создаваемые силой $F_1$ : от максимального значения $\varepsilon_1$ на левом торце, до нуля на правом.

Графики функции $\varepsilon(x)$ и ее составляющих приведены на рисунке.

Как уже было отмечено, площадь под графиком равна полному удлинению стержня. В данном случае оно рассчитывается по формуле

\Delta l=\frac{\varepsilon_0+\varepsilon_1}2l=\frac{F_0+F_1}{2ES}l.\qquad(13)

Для расчета энергии деформаций необходимо воспользоваться формулой для объемной плотности энергии (5). Полная энергия может быть найдена посредством вычисления суммы

W=\sum_k\frac{E\varepsilon_k^2}2S\Delta x_k.\qquad(14)

Подставляя выражение для зависимости $\varepsilon(x)$ , получим

\begin{aligned}W&=\sum_k\frac{E\varepsilon_k^2}2S\Delta x_k=\frac E2S\sum_k\left(\varepsilon_0\frac{x_k}l+\varepsilon_1\left(1-\frac{x_k}l\right)\right)^2\Delta x_k\\&=\frac E2S\varepsilon_0^2\sum_k\frac{x_k^2}{l^2}\Delta x_k+\frac E2S\varepsilon_0^2\sum_k\left(1-\frac{x_k}l\right)^2\Delta x_k+2\frac E2S\varepsilon_0\varepsilon_1\sum_k\frac{x_k}l\left(1-\frac{x_k}l\right)\Delta x_k.\end{aligned}\qquad(15)

Рассмотрим смысл полученного выражения. Первое слагаемое — полная энергия деформаций, обусловленных силой $F_0$ ; второе — полная энергия деформаций, обусловленных силой $F_1$ ; третье — дополнительное слагаемое, «перекрестный» член! Так как плотность энергии нелинейно зависит от относительной деформации, то для полной энергии принцип суперпозиции не «работает», что и иллюстрируется появлением третьего слагаемого!

Первые сумма может быть вычислена с помощью приведенной математической подсказки: $\sum_k(x_k^2/l^2)\Delta x_k=l/3$ . Вторая сумма имеет то же значение — какая разница суммировать слева направо, или справа налево? Третья также может быть вычислена без особых проблем:

\sum_k\frac{x_k}l\left(1-\frac{x_k}l\right)\Delta x_k=\sum_k\frac{x_k}l\Delta x_k-\sum_k\left(\frac{x_k}l\right)^2\Delta x_k=\frac12l-\frac13l=\frac16l.

Для полной энергии деформаций получаем формулу:

W=\frac E2Sl\left(\frac{\varepsilon_0^2}3+\frac{\varepsilon_1^2}3+2\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1}6\right)=\frac{E\varepsilon_0^2}6\left(1+\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_0}+\left(\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_0}\right)^2\right)Sl.\qquad(16)

Если, наконец, подставить выражения для $\varepsilon_0,\varepsilon_1$ через действующие силы, то получим окончательную формулу:

W=\frac16\frac{F_0^2l}{ES}\left(1+\frac{F_1}{F_0}+\left(\frac{F_1}{F_0}\right)^2\right).\qquad(17)

Три случая, приведенные в условии задачи различаются только значением силы $F_1$ , поэтому требуемые ответы могут быть сведены в таблицу:

	а)	б)	в)	номер
$F_1$	$F_1=F_0$	$F_1=F_0/2$	$F_1=0$
$\varepsilon(x)$	$F_0/(ES)=\mathrm{const}$	$\frac{F_0}{2ES}(1+x/l)$	$\frac{F_0}{ES}x/l$	(18)
$\Delta l$	$F_0l/(ES)$	$3F_0l/(4ES)$	$F_0l/(2ES)$	(19)
$W$	$F_0^2l/(2ES)$	$7F_0^2l/(24ES)$	$F_0^2l/(6ES)$	(20)

Требуемые графики показаны на рисунке.

1.3 Разгон и деформации

1.3.1 Характерное время установления равновесия может быть оценено, как время распространения упругой волны по всему стержню:

\tau_0=\frac lc=l\sqrt{\frac\rho E},\qquad(21)

где $c=\sqrt{E/\rho}$ — скорость звука в материале стержня.

1.3.2 Сначала будем считать, что равновесные деформации стержня устанавливаются мгновенно. В этом случае энергия упругих деформаций определяется формулой (20в) $W=F_0^2l/(6ES)$ . Кинетическая энергия стержня изменяется по закону

E_\text{кин.}=\frac{mv^2}2=\frac{m(at)^2}2=\frac{m((F_0/m)t)^2}2=\frac{F_0^2}{2m}t^2.\qquad(22)

Приравнивая ее к потенциальной энергии деформаций, получим уравнение

\frac{F_0^2}{2m}t^2=\frac16\frac{F_0^2l}{ES}.\qquad(23)

Учитывая, что масса стержня $m=\rho Sl$ , из уравнения (23) найдем

t=\sqrt{\frac{ml}{3ES}}=\sqrt{\frac{\rho l^2}{3E}}=\frac1{\sqrt3}l\sqrt{\frac\rho E}=\frac{\tau_0}{\sqrt3}.\qquad(24)

Из полученной оценки следует, что равенство кинетической и потенциальной энергий достигается быстрее, чем волна деформаций достигнет конца стержня, то есть еще до того, как весь стержень придет в движение.

Следовательно, необходимо рассмотреть процесс распространения упругой волны в стержне. Для строго решения такой задачи следует решать волновое уравнение, описывающее процесс распространения деформаций. Однако для получения оценок можно предложить следующую упрощенную модель распространения: упругая волна движется вдоль стержня со скоростью звука $\vec c$ от торца, к которому приложена сила $\vec F_0$ . Этот торец стержня движется с некоторой скоростью $\vec v$ (второй торец покоится до тех пор, пока волна деформаций его не достигнет!) В качестве основного упрощающего допущения, будем считать, что в возмущенной части стержня (длиной $ct$ ) успевает произойти установление равновесного распределения относительных деформаций. Иными словами, график зависимости деформаций от координаты имеет вид отрезка прямой, нижний конец которого смещается к началу координат со скоростью звука (см. рис).

Как было показано ранее смещение конца стержня численно равно площади под графиком зависимости $\varepsilon(x)$ . В рамках предложенной модели это смещение равно

\Delta z=\frac12\varepsilon_0ct,\qquad(25)

где $\varepsilon_0=F_0/(SE)$ , по-прежнему. Откуда следует, что конец стержня, к которому приложена сила, движется с постоянной скоростью

v=\frac12\varepsilon_0c,\qquad(26)

до тех пор, пока волна деформаций не достигнет противоположного конца стержня. Другие точки стержня (до которых дошло возмущение) движутся с меньшими скоростями. Поэтому кинетическая энергия стержня, точнее его движущей части может быть записана в виде

E_\text{кин}=\frac12\rho Sct\langle v^2\rangle,\qquad(27)

где $\rho Sct$ — масса движущейся части, $\langle v^2\rangle$ — средний квадрат скорости этой части стержня. В принципе, в рамках нашей модели можно найти и распределение скоростей и вычислить точное значение среднего квадрата, но для оценки можно принять¹ $\langle v^2\rangle\approx v_{\max}^2/2=\varepsilon_0^2c^2/8$ , тогда кинетическая энергия стержня возрастает со временем по закону (с учетом выражения для скорости звука)

E_\text{кин}=\frac1{16}\rho Sct\varepsilon_0^2c^2=\frac1{16}E\varepsilon_0^2Sct.\qquad(28)

¹ Отметим, что точное значение $\langle v^2\rangle=0{,}53v_{\max}^2$ .

Для «треугольного» распределения деформаций потенциальная энергия была посчитана ранее (формула 20в)), которая в данном случае дает выражение

W=\frac16\frac{F_0^2}{ES}ct=\frac16E\varepsilon_0^2Sct.\qquad(29)

Сравнение эти двух выражение приводит к выводу: во время распространений волны потенциальная энергия деформаций всегда превышает кинетическую энергию!

К моменту $\tau_0$ , когда волна достигает конца стержня, потенциальная энергия достигает своего максимального значения, а весь стержень приобретает скорость, рассчитанную по формуле (26). Далее, так как установилось равновесное распределение деформаций. стержень начинает двигаться как единое целое с постоянным ускорением $a=F_0/m$ . Чтобы кинетическая энергия стержня стала равной его потенциальной энергии его скорость должна достичь величины $v_1$ , которую можно найти из условия

\frac12mv_1^2=\frac16E\varepsilon_0^2Sl\Rightarrow\frac12\rho Slv_1^2=\frac16E\varepsilon_0^2Sl\Rightarrow v_1=\frac1{\sqrt3}\sqrt{\frac E\rho}\varepsilon_0=\frac1{\sqrt3}c\varepsilon_0.\qquad(30)

Так как к моменту $\tau_0$ скорость стержня определяется формулой (26), и стержень движется с ускорением

a=\frac{F_0}m=\frac{\varepsilon_0ES}{\rho Sl}=\frac{\varepsilon_0c^2}l.\qquad(31)

То время $\tau_1$ , которое потребуется, чтобы достичь нужной скорости, находится из уравнения

\frac1{\sqrt3}c\varepsilon_0-\frac12c\varepsilon_0=a\tau_1\Rightarrow\tau_1=\left(\frac1{\sqrt3}-\frac12\right)\frac lc\approx0{,}1\frac lc.\qquad(32)

Прибавляя время разгона $\tau_0$ , получим окончательную оценку искомого времени

\tau=1{,}1\frac lc.\qquad(33)

В заключение отметим, что результат зависит от используемой модели, однако можно считать, что оценка времени в общем виде имеет вид

\tau=A\frac lc.\qquad(34)

Где $A$ — безразмерный коэффициент незначительно превышающий 1.

Оригинал в Архива: 2014_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2014_theoretical_solutions.pdf