Съдържание

Условие 0. Уравнение адиабаты 1. Цикл Отто 2. Цикл Дизеля 3. Сравнение циклов Отто и Дизеля Решение

BelPhO 2014, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-2. 10 класс — 2.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 34 страницы соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, 54 явно обозначенные группы запросов. Ненумерованный составной запрос о тени и раздел 0 об уравнении адиабаты сохранены целиком. Введение 1.2 к непрерывному диэлектрику и введение 2.2.1 к непрерывному резистору не превращены в дополнительные запросы. Сохранены все полные ключи, альтернативные выводы и модели, сноска, числовые таблицы, исходные формулы и графики. Полный пустой бланк к задаче 10-2 напечатан на странице 10 условий и включен. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. В исходной папке нет дополнительных теоретических приложений; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру и здесь не использованы.

Исходные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: ссылки и номера рисунков в задаче о нагреве и фотоэффекте расходятся с подписями; в задаче о стержне повторены номер формулы 2 и пункт 1.2.2 (второй пункт имеет † только для различения ссылок), а в формуле 15 ключа напечатано ε₀ вместо ε₁. В сравнении циклов раздел 3 содержит пункты 4.1/4.2, отношение давлений при вычислении T₃ напечатано p₂/p₂, а у результата 70,2 не напечатан знак процента. В ключе к «Установлению равновесия» повторены номера формул и перепутаны подписи графиков лодки/конденсатора и U₁/U₂. В «Краях» отдельные исходные символы B/x отображаются как Â/õ; отсутствующие глифы в K □ B и индексе силы параллельного диполя представлены □. Для диполя условие r≫L расходится с L≫r в ключе; напечатанные коэффициент 3/4 и отношение F⊥=F□/2 сохранены. Ключ сферической линзы нумерует ответы 4.1/4.2/4.3 иначе, чем условие, и последний комментарий дважды называет плосковыпуклую поверхность. Исходное «одно12тонный» в условии фотоэффекта сохранено, угол на схеме отложен от нормали, тогда как пункт 3.1 указывает угол к поверхности, и в ключе повторен индекс компоненты. В последней задаче рисунок диэлектрика обозначает ρ(x), а три запроса части 2 вновь имеют номера 1.2.1–1.2.3. Ключ сохраняет разные множители в формулах 7/8, повтор E₂s−E₂s, пропуск площади в формуле 20, повтор E₁ для двух половин резистора и лишний множитель E в конечной формуле поверхностного заряда. Явная итоговая формула сопротивления непрерывного резистора в ключе не напечатана; она не дописана. Остальные исходные обозначения и грамматические ошибки также сохранены. График касательной в ключе на странице 5 обрезан в самом исходнике справа после отметки 5 минут; сохранен полный полученный рисунок. Схема цепочки в ключе пространственно соседствует с текстом и формулами внутри своей прямоугольной области; сохранен полный исходный контекст, без частичных обрезков слов. В исходном рисунке тонких слоев на странице 32 ключа низ обозначения Δxᵢ обрезан самим встроенным изображением; полученное изображение сохранено полностью, без дорисовки.

Оригинальная общая обложка

А.И.Слободянюк, В.В.Барашков, Л.Г.Маркович, Н.В.Лаппо, К.Д.Сечко. Республиканская физическая олимпиада 2014 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Могилев. 2014.

Условие

Все современные двигатели внутреннего сгорания (ДВС) подразделяются на две основные группы:

1. Двигатели, в которых используется цикл с подводом тепла при постоянном объеме $v=\mathrm{const}$ (цикл Отто).
2. Двигатели, в которых используется цикл с подводом тепла при постоянном давлении $p=\mathrm{const}$ (цикл Дизеля).

Исследование работы реального поршневого двигателя является сложной теоретической и экспериментальной задачей. Поэтому вам предстоит рассмотреть их упрощенные модели.

Так как в термодинамике исследуются лишь идеальные обратимые циклы, то для исследования цикла ДВС примем следующие допущения: рабочее тело — идеальный газ с постоянной теплоемкостью; количество рабочего тела постоянно; между рабочим телом и источниками теплоты имеет место бесконечно малая разность температур; подвод теплоты к рабочему телу производится не за счет сжигания топлива, а от внешних источников теплоты. То же самое справедливо и для отвода теплоты.

0. Уравнение адиабаты

Для исследования термодинамических циклов Вам понадобиться уравнение адиабаты: $pV^k=\mathrm{const}$ , где $k=C_p/C_V$ — показатель адиабаты, $C_p,C_V$ — изобарная и изохорная теплоёмкости газа. Получите уравнение адиабаты в координатах $pT$ и $VT$ .

1. Цикл Отто

Рассмотрим идеальный термодинамический цикл ДВС с изохорным подводом теплоты. Цикл в $pv$ координатах представлен на рис. 1. Идеальный газ с начальными параметрами $p_1,V_1,T_1$ сжимается по адиабате 1–2. В изохорном процессе 2–3 рабочему телу от внешнего источника теплоты передается количество теплоты $q_1$ . В адиабатном процессе 3–4 рабочее тело расширяется до первоначального объема $V_4=V_1$ . В изохорном процессе 4–1 рабочее тело возвращается в исходное состояние с отводом от него теплоты $q_2$ в теплоприемник. Характеристиками цикла являются: $\varepsilon=V_1/V_2$ — степень сжатия; $\lambda=p_3/p_2$ — степень повышения давления.

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, линиями, осями, данными и обозначениями.

Рисунок 3. Идеальный термодинамический цикл ДВС с изохорным подводом теплоты

Определите:

1.1 Параметры $P,V,T$ в точках цикла 2, 3, 4 через параметры $p_1,V_1,T_1,\varepsilon,\lambda,k$ .

1.2 Термический КПД цикла, выразив его через параметры $\varepsilon,\lambda,k$ .

2. Цикл Дизеля

В таких двигателях топливо сгорает постепенно в процессе такта «рабочий ход», а также осуществляется раздельное сжатие топлива и воздуха. Воздух сжимается в цилиндре, а жидкое топливо распыляется сжатым воздухом от компрессора. Поэтому здесь можно достигать значительно более высоких степеней сжатия. Воздух при высоких давлениях имеет настолько высокую температуру, что подаваемое в цилиндр топливо самовоспламеняется без всяких специальных приспособлений. Раздельное сжатие позволяет применять высокие степени сжатия (до $\varepsilon=20$ ), исключая преждевременное самовоспламенение топлива. Постоянство давления при горении топлива обеспечивается соответствующей регулировкой топливной форсунки. Конструкция такого двигателя впервые была разработана немецким инженером Дизелем.

Рассмотрим идеальный цикл двигателя с подводом теплоты при постоянном давлении в $pv$ -диаграмме рис.3. Этот цикл осуществляется следующим образом. Газообразное рабочее тело с начальными параметрами $p_1,v_1,T_1$ сжимается по адиабате 1–2. В изобарном процессе 2–3 телу сообщается некоторое количество теплоты $q_1$ . В адиабатном процессе 3–4 происходит расширение рабочего тела до первоначального объема. В изохорном процессе 4–1 рабочее тело возвращается в первоначальное состояние с отводом в теплоприемник теплоты $q_2$ . Характеристиками цикла являются: $\varepsilon=V_1/V_2$ — степень сжатия; $\rho=V_3/V_2$ — степень предварительного расширения.

Рисунок 3. Идеальный термодинамический цикл ДВС с изобарным подводом теплоты

Определите:

2.1 Параметры $p,V,T$ в точках цикла 2, 3, 4 через параметры $p_1,V_1,T_1,\varepsilon,\rho,k$ .

2.2 Термический КПД цикла, выразив его через параметры $\varepsilon,\rho,k$ .

3. Сравнение циклов Отто и Дизеля

Сравните циклы Отто и Дизеля при одинаковых максимальных и минимальных температурах и давлениях, одинаковых полных объёмах цилиндров $V_1$ . Сравнение выполните, рассмотрев конкретный пример. Полный объём цилиндра для обоих циклов в относительных единицах примите равным $V_1/V_0=30$ . Показатель адиабаты $k=1{,}67$ . Степень сжатия для цикла Отто $\varepsilon_V=5$ .

4.1 На приготовленном для Вас бланке постройте графики данных циклов. (На данных бланках указаны изотермы для максимальной и минимальной температур в данных циклах).

Бланк к задаче 10-2.

4.2 Используя формулы, полученные Вами в пп. 1.2 и 2.2 рассчитайте термический КПД данных циклов.

Решение

Уравнение адиабаты

С учётом уравнения состояния идеального газа уравнение адиабаты может быть преобразовано к виду $T^k\cdot p^{(1-k)}=\mathrm{const}$ . Или к виду $T\cdot V^{(k-1)}=\mathrm{const}$ .

Цикл Отто

1.1 Найдем параметры рабочего тела во всех характерных точках цикла.

Точка 2

V_2=\frac{V_1}\varepsilon,\quad p_2=p_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^k=p_1\varepsilon^k,\quad\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{k-1}=\varepsilon^{k-1},

откуда получаем $T_2=T_1\varepsilon^{k-1}$ .

Точка 3.

V_3=V_2=\frac{V_1}\varepsilon,\quad p_3=p_2\lambda=p_1\varepsilon^k\lambda,\quad\frac{T_3}{T_2}=\frac{p_2}{p_2}=\lambda,

откуда получаем $T_3=T_2\lambda=T_1\varepsilon^{k-1}\lambda$ .

Точка 4.

V_4=V_1,\quad p_4=p_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^k=p_3\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^k=\frac{p_3}{\varepsilon^k}=p_1\lambda,

\frac{T_4}{T_3}=\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{k-1}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{k-1}=\frac1{\varepsilon^{k-1}},

откуда получаем $T_4=T_3/\varepsilon^{k-1}=T_1\varepsilon^{k-1}\lambda/\varepsilon^{k-1}=T_1\lambda$ .

1.2 Количество подведенной и отведенной теплоты определяются по формулам: $q_1=C_V(T_3-T_2)$ , $|q_2|=C_V(T_4-T_1)$ , или $q_1=U_3-U_2=\frac32(p_3V_3-p_2V_2)$ , $|q_2|=U_4-U_1=\frac32(p_4V_4-p_1V_1)$ .

Подставляя эти значения теплот в формулу для термического КПД, получим:

\eta_t=1-\frac{|q_2|}{q_1}=1-\frac{C_V(T_4-T_1)}{C_V(T_3-T_2)}=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}\quad\text{или}\quad\eta_t=1-\frac{p_4V_4-p_1V_1}{p_3V_3-p_2V_2}.

С учетом найденных значений параметров формула для КПД примет вид

\eta_t=1-\frac1{\varepsilon^{k-1}}.

Цикл Дизеля

2.1 Параметры рабочего тела в характерных точках цикла будут:

Точка 2

V_2=\frac{V_1}\varepsilon,\quad p_2=p_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^k=p_1\varepsilon^k,\quad\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{k-1}=\varepsilon^{k-1},

откуда получаем $T_2=T_1\varepsilon^{k-1}$ .

Точка 3

V_3=\rho V_2=\frac{\rho V_1}\varepsilon,\quad p_3=p_2=p_1\varepsilon^k,\quad\frac{T_3}{T_2}=\frac{V_3}{V_2}=\rho,

откуда получаем: $T_3=\rho T_2=T_1\rho\varepsilon^{k-1}$ .

Точка 4

V_4=V_1,\quad p_4=p_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^k=p_1\varepsilon^k\left(\frac{\rho V_1}{\varepsilon V_1}\right)^k=p_1\rho^k,

\frac{T_4}{T_3}=\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{k-1}=\left(\frac{V_3}{V_1}\right)^{k-1}.

Так как $V_3/V_1=\rho/\varepsilon$ , то $T_4=T_3(\rho/\varepsilon)^{k-1}=T_1\rho\varepsilon^{k-1}(\rho/\varepsilon)^{k-1}=T_1\rho^k$ .

2.2 Количество подведенной и отведенной теплоты определяются по формулам: $q_1=C_p(T_3-T_2)$ , $|q_2|=C_V(T_4-T_1)$ , или $q_1=U_3-U_2+A_{23}=\frac32(p_3V_3-p_2V_2)+p_3(V_3-V_2)$ , $|q_2|=U_4-U_1=\frac32(p_4V_4-p_1V_1)$ .

Термический КПД цикла в предположении постоянства теплоемкостей $C_p$ и $C_V$ и их отношения $k=C_p/C_V$ будет:

\eta_t=1-\frac{|q_2|}{q_1}=1-\frac{C_V(T_4-T_1)}{C_p(T_3-T_2)}=1-\frac{T_4-T_1}{k(T_3-T_2)}.

Подставляя полученные значения температур в формулу для термического КПД, получим

\eta_t=1-\frac{\rho^k-1}{k\varepsilon^{k-1}(\rho-1)}.

Сравнение циклов Отто и Дизеля

4.1 Определим параметры $P/P_0$ и $V/V_0$ для характерных точек обоих циклов.

Цикл Отто

$V_1/V_0=30{,}0$ — по условию, $P_1/P_0=1{,}00$ — по графику изотермы для $T_{\min}$ , так как в точке 1 температура и давление должны быть минимальны.

Так как степень сжатия для цикла Отто $\varepsilon_V=5{,}00$ , то $V_2/V_0=V_3/V_0=6{,}00$ . В точке 3 давление должно быть максимальным. В цикле Отто максимальному давлению соответствует максимальная температура. По графику изотермы для $T_{\max}$ находим $P_3/P_0=30{,}0$ .

Используя уравнение адиабаты, найдём $P_2/P_0$ и $P_4/P_0$ :

\frac{P_2}{P_0}\left(\frac{V_2}{V_0}\right)^k=\frac{P_1}{P_0}\left(\frac{V_1}{V_0}\right)^k,\quad\frac{P_2}{P_0}=\frac{P_1}{P_0}\varepsilon^k=1{,}00\cdot5{,}00^{1{,}67}=14{,}7,

\frac{P_4}{P_0}\left(\frac{V_4}{V_0}\right)^k=\frac{P_3}{P_0}\left(\frac{V_3}{V_0}\right)^k,\quad\frac{P_4}{P_0}=\frac{P_3}{P_0}\frac1{\varepsilon^k}=\frac{30{,}0}{5{,}00^{1{,}67}}=2{,}04,

\frac{V_4}{V_0}=\frac{V_1}{V_0}=30{,}0.

Наносим точки с найденными параметрами на диаграмму и соединяем в цикл Отто. Точку 2 данного цикла обозначим $2v$ . Целесообразно просчитать по несколько промежуточных точек на адиабатах 1–2 и 3–4 для более точного изображения этих процессов.

Цикл Дизеля.

Исходя из условия, следует, что параметры точек 1, 3 и 4 циклов Отто и Дизеля будут совпадать. Для цикла Дизеля $P_2/P_0=P_3/P_0=30{,}0$ . Параметры объёма в точке 2 цикла Дизеля определим, используя уравнение адиабаты. Адиабата 1–2 цикла Отто должна лежать на адиабате 1–2 цикла Дизеля.

\frac{P_2}{P_0}\left(\frac{V_2}{V_0}\right)^k=\frac{P_1}{P_0}\left(\frac{V_1}{V_0}\right)^k,\quad\frac{V_2}{V_0}=\frac{V_1}{V_0}\left(\frac{P_1}{P_0}\frac{P_0}{P_2}\right)^{1/k}=30{,}0\left(\frac1{30{,}0}\right)^{1/1{,}67}=3{,}91.

Наносим точку 2 цикла Дизеля на диаграмму и достраиваем данный цикл. Точку 2 цикла Дизеля обозначим $2_p$ .

4.2 Термический КПД цикла Отто:

\eta_{tv}=1-\frac1{\varepsilon^{k-1}}=1-\frac1{5{,}00^{1{,}67-1}}=66{,}0\%.

Для расчёта термического КПД цикла Дизеля необходимо определить степень сжатия $\varepsilon_p$ и степень предварительного расширения $\rho$ .

\varepsilon_p=\frac{V_1}{V_0}\frac{V_0}{V_{2p}}=\frac{30{,}0}{3{,}91}=7{,}67,\qquad\rho=\frac{V_3}{V_{2p}}=\frac{6{,}00}{3{,}91}=1{,}53,

\eta_{tp}=1-\frac{\rho^k-1}{k\varepsilon^{k-1}(\rho-1)}=1-\frac{1{,}53^{1{,}67}-1}{1{,}67\cdot7{,}67^{1{,}67-1}\cdot(1{,}53-1)}=70{,}2.

Оригинал в Архива: 2014_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2014_theoretical_solutions.pdf