Съдържание

Условие Часть 1. Лодка.Часть 2 Конденсатор.Решение

BelPhO 2014, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-3. 10 класс — 3. Установление равновесия.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 34 страницы соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, 54 явно обозначенные группы запросов. Ненумерованный составной запрос о тени и раздел 0 об уравнении адиабаты сохранены целиком. Введение 1.2 к непрерывному диэлектрику и введение 2.2.1 к непрерывному резистору не превращены в дополнительные запросы. Сохранены все полные ключи, альтернативные выводы и модели, сноска, числовые таблицы, исходные формулы и графики. Полный пустой бланк к задаче 10-2 напечатан на странице 10 условий и включен. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. В исходной папке нет дополнительных теоретических приложений; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру и здесь не использованы.

Исходные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: ссылки и номера рисунков в задаче о нагреве и фотоэффекте расходятся с подписями; в задаче о стержне повторены номер формулы 2 и пункт 1.2.2 (второй пункт имеет † только для различения ссылок), а в формуле 15 ключа напечатано ε₀ вместо ε₁. В сравнении циклов раздел 3 содержит пункты 4.1/4.2, отношение давлений при вычислении T₃ напечатано p₂/p₂, а у результата 70,2 не напечатан знак процента. В ключе к «Установлению равновесия» повторены номера формул и перепутаны подписи графиков лодки/конденсатора и U₁/U₂. В «Краях» отдельные исходные символы B/x отображаются как Â/õ; отсутствующие глифы в K □ B и индексе силы параллельного диполя представлены □. Для диполя условие r≫L расходится с L≫r в ключе; напечатанные коэффициент 3/4 и отношение F⊥=F□/2 сохранены. Ключ сферической линзы нумерует ответы 4.1/4.2/4.3 иначе, чем условие, и последний комментарий дважды называет плосковыпуклую поверхность. Исходное «одно12тонный» в условии фотоэффекта сохранено, угол на схеме отложен от нормали, тогда как пункт 3.1 указывает угол к поверхности, и в ключе повторен индекс компоненты. В последней задаче рисунок диэлектрика обозначает ρ(x), а три запроса части 2 вновь имеют номера 1.2.1–1.2.3. Ключ сохраняет разные множители в формулах 7/8, повтор E₂s−E₂s, пропуск площади в формуле 20, повтор E₁ для двух половин резистора и лишний множитель E в конечной формуле поверхностного заряда. Явная итоговая формула сопротивления непрерывного резистора в ключе не напечатана; она не дописана. Остальные исходные обозначения и грамматические ошибки также сохранены. График касательной в ключе на странице 5 обрезан в самом исходнике справа после отметки 5 минут; сохранен полный полученный рисунок. Схема цепочки в ключе пространственно соседствует с текстом и формулами внутри своей прямоугольной области; сохранен полный исходный контекст, без частичных обрезков слов. В исходном рисунке тонких слоев на странице 32 ключа низ обозначения Δxᵢ обрезан самим встроенным изображением; полученное изображение сохранено полностью, без дорисовки.

Оригинальная общая обложка

А.И.Слободянюк, В.В.Барашков, Л.Г.Маркович, Н.В.Лаппо, К.Д.Сечко. Республиканская физическая олимпиада 2014 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Могилев. 2014.

Условие

Математическое введение.

Пусть скорость изменения некоторой физической величины, описываемой функцией $X(t)$ , пропорциональна самой величине, то есть подчиняется уравнению

\frac{\Delta X}{\Delta t}=-aX,\qquad(\text{М1})

где $a$ — некоторая постоянная величина. Для однозначного определения функции $X(t)$ уравнение (1) необходимо дополнить начальным условием: значением функции $X_0$ (для определенности будем считать, что $X_0>0$ ) в момент времени $t_0=0$ .

Качественно решение этого уравнения описывается следующим образом (см рис): при $t=0$ значение функции задается начальным условием $X_0$ , затем функция начинает убывать, причем сначала скорость убывания равна $(\Delta X/\Delta t)_{t=0}=-aX_0$ , по мере уменьшения значения функции $X$ скорость ее убывания падает. Поэтому графиком этой функции будет монотонно убывающая кривая. Характерное время убывания функции оценивается как время, за которое функция стала бы равной нулю, если скорость ее убывания остается такой же, как в начальный момент времени

\tau=\frac{X_0}{|({\Delta X}/{\Delta t})_{t=0}|}=\frac1a.\qquad(\text{М2})

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, линиями, осями, данными и обозначениями.

Отметим также, что строгим решением уравнения (1) является функция

X=X_0e^{-at}.\qquad(\text{М3})

Часть 1. Лодка.

При движении моторной лодки массы $m$ на нее действует тормозящая сила, пропорциональная скорости

\vec F=-\beta\vec v,\qquad(1)

Где $\beta$ — известный параметр.

1.1 Лодка двигалась с постоянной скоростью $v_0$ . Мотор лодки выключают. Нарисуйте примерный график зависимости скорости лодки от времени. Найдите характерное время торможения. Определите. Какой путь пройдет лодка до остановки.

1.2 Лодка покоилась, после чего запускают мотор. Считая, что вращение винта приводит к действию постоянной силы $F_0$ , постройте примерный график зависимости скорости лодки от времени. Найдите характерное время разгона лодки.

Часть 2 Конденсатор.

2.1 Конденсатор включен в цепь, показанную на рисунке. Источник создает в цепи постоянное напряжение $U_0$ . Постройте примерные графики зависимости напряжения на конденсаторе и силы тока через резистор от времени при замыкании цепи. Найдите характерное время зарядки конденсатора.

2.2 Цепь изменили, добавив еще один резистор. Первоначально конденсатор не заряжен. Постройте примерные графики зависимостей напряжений на резисторах от времени при замыкании цепи. Найдите характерное время установления тока в этой цепи.

2.3 После полной зарядки конденсатора ключ размыкают. Найдите характерное время разрядки конденсатора в этом случае.

Решение

Часть 1. Лодка.

1.1 Уравнение движения лодки, следующее из 2 закона Ньютона имеет вид

ma=-\beta v,\qquad(1)

Которое очевидным образом приводится к виду уравнения (М1) из «математического введения»:

\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\frac\beta m v.\qquad(2)

Из этого уравнения следует, что зависимость скорости от времени имеет вид монотонно убывающий функции (экспоненты) с характерным временем торможения

\tau=\frac m\beta.\qquad(3)

График этой функции и метод нахождения характерного времени торможения показан на рисунке.

Для определения пути, пройденного лодкой, преобразуем уравнение (2):

\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\frac\beta m\frac{\Delta x}{\Delta t}\Rightarrow\Delta x=-\frac m\beta\Delta v.\qquad(4)

Так как скорость меняет от начального значения до нуля, то $\Delta v=-v_0$ , то полный путь пройденный лодкой оказывается равным

L=\frac m\beta v_0.\qquad(5)

Заметим, что формально этот конечный путь лодка пройдет за бесконечно большое время.

1.2 В этом случае лодка будет разгоняться с уменьшающимся ускорением. Уравнение движение имеет вид

ma=F_0-\beta v.\qquad(6)

Ускорение станет равным нулю, когда скорость лодки достигнет скорости установившегося движения, которую можно найти из уравнения (6), полагая $a=0$ :

\bar v=\frac{F_0}\beta.\qquad(7)

Перепишем уравнение (6) в виде

\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\frac\beta m\left(v-\frac{F_0}\beta\right).\qquad(6)

Если ввести новую переменную $X=v-\bar v$ , имеющую смысл отклонения модуля скорости от скорости установившегося движения, то уравнение (7) преобразуется к известному виду

\frac{\Delta X}{\Delta t}=-\frac\beta mX.\qquad(7)

Решение этого уравнения имеет вид монотонно возрастающей функции, стремящейся к предельному значению (установившейся скорости) с характерным временем разгона, определяемым формулой (3). График этой функции показан на рисунке.

Часть 2 Конденсатор.

2.1 На основании закона, для силы тока через резистор можно записать уравнение

U_0-U_C=IR.\qquad(8)

Сила тока в цепи равна скорости изменения заряда на конденсаторе, поэтому ее можно выразить через напряжение на конденсаторе

I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=C\frac{\Delta U_C}{\Delta t}.\qquad(9)

С учетом этого соотношения уравнение (8) преобразуется к знакомому виду:

RC\frac{\Delta U_C}{\Delta t}=U_0-U_C\Rightarrow\frac{\Delta U_C}{\Delta t}=-\frac1{RC}(U_C-U_0).\qquad(10)

Это уравнение, с точностью до обозначений совпадает с уравнением разгона лодки (6), поэтому оно будет иметь такое же решение. Из анализа этого уравнения следует, что характерное время зарядки конденсатора в данной цепи определяется формулой

\tau=RC.\qquad(11)

Для определения зависимости силы тока от времени выразим, скорость ее изменения из уравнения (8). После очевидных подстановок получим уравнение

\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac1R\frac{\Delta(U_0-U_C)}{\Delta t}=-\frac1R\frac{\Delta U_C}{\Delta t}=-\frac1{RC}\frac{\Delta q}{\Delta t}=-\frac1{RC}I,\qquad(12)

Которое совпадает с уравнением торможения лодки, с характерным временем также описываем формулой (11). График зависимостей силы тока и напряжения на конденсаторе от времени показаны на рисунке.

2.2 Для описания протекания токов в цепи получим уравнения для напряжения на конденсаторе $U_1$ (равное напряжению на резисторе $R_1$ ). Для этого запишем выражение для силы тока на резисторе $R_2$ :

I_2=\frac{U_0-U_1}{R_2}.\qquad(13)

С другой стороны эта сила тока равна сумме сил токов через резистор $R_1$ и через конденсатор

I_2=I_1+I_C,\qquad(14)

которые в свою очередь могут быть выражены через напряжение $U_1$ :

I_1=\frac{U_1}{R_1},\quad I_C=\frac{\Delta q}{\Delta t}=C\frac{\Delta U_1}{\Delta t}.\qquad(15)

Из этих выражений следует уравнение, описывающее изменение напряжения на конденсаторе

\frac{U_0-U_1}{R_2}=\frac{U_1}{R_1}+C\frac{\Delta U_1}{\Delta t}.\qquad(16)

В очередной раз мы получили уравнение, в котором скорость изменения некоторой величины (в данном случае $U_1$ ) линейно зависит от этой величины. Приведем его к стандартному виду:

\frac{\Delta U_1}{\Delta t}=-U_1\frac1C\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)+\frac{U_0}{R_2C},\qquad\frac{\Delta U_1}{\Delta t}=-\frac1\tau(U_1-\bar U_1).\qquad(17)

где обозначено $\tau=C R_1R_2/(R_1+R_2)$ — характерное время установления тока в цепи, или время зарядки конденсатора. $\bar U_1=U_0R_1/(R_1+R_2)$ — стационарное значение напряжения $U_1$ . В начальный момент конденсатор не заряжен, поэтому напряжение на нем равно нулю; ток протекающий через резистор $R_2$ начинает заряжать конденсатор. После того, как конденсатор зарядится до предельного значения (когда выровняются силы токов через резисторы), напряжение на конденсаторе перестанет изменяться. Интересно отметить, что время зарядки также может быть записано, как $RC$ , но только в качестве $R$ следует брать сопротивление двух резисторов, соединенных параллельно!

Напряжение на резисторе $R_2$ может быть рассчитано по простой формуле

U_2=U_0-U_1.\qquad(18)

Графики зависимостей напряжений от времени приведены на рисунке. Показано два случая: а) $R_2=2R_1$ , б) $R_1=2R_2$ .

2.3 При отключении источника конденсатор будет разряжаться только через резистор $R_1$ . Поэтому характерное время разрядки будет равно $\tau_2=R_1C$ .

Оригинал в Архива: 2014_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2014_theoretical_solutions.pdf