Съдържание

Условие 1. Край соленоида 2. Край стола 3. «Край» электрического диполя 4. Край сферической линзы Решение

BelPhO 2014, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-1. 11 класс — 1.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 34 страницы соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, 54 явно обозначенные группы запросов. Ненумерованный составной запрос о тени и раздел 0 об уравнении адиабаты сохранены целиком. Введение 1.2 к непрерывному диэлектрику и введение 2.2.1 к непрерывному резистору не превращены в дополнительные запросы. Сохранены все полные ключи, альтернативные выводы и модели, сноска, числовые таблицы, исходные формулы и графики. Полный пустой бланк к задаче 10-2 напечатан на странице 10 условий и включен. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. В исходной папке нет дополнительных теоретических приложений; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру и здесь не использованы.

Исходные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: ссылки и номера рисунков в задаче о нагреве и фотоэффекте расходятся с подписями; в задаче о стержне повторены номер формулы 2 и пункт 1.2.2 (второй пункт имеет † только для различения ссылок), а в формуле 15 ключа напечатано ε₀ вместо ε₁. В сравнении циклов раздел 3 содержит пункты 4.1/4.2, отношение давлений при вычислении T₃ напечатано p₂/p₂, а у результата 70,2 не напечатан знак процента. В ключе к «Установлению равновесия» повторены номера формул и перепутаны подписи графиков лодки/конденсатора и U₁/U₂. В «Краях» отдельные исходные символы B/x отображаются как Â/õ; отсутствующие глифы в K □ B и индексе силы параллельного диполя представлены □. Для диполя условие r≫L расходится с L≫r в ключе; напечатанные коэффициент 3/4 и отношение F⊥=F□/2 сохранены. Ключ сферической линзы нумерует ответы 4.1/4.2/4.3 иначе, чем условие, и последний комментарий дважды называет плосковыпуклую поверхность. Исходное «одно12тонный» в условии фотоэффекта сохранено, угол на схеме отложен от нормали, тогда как пункт 3.1 указывает угол к поверхности, и в ключе повторен индекс компоненты. В последней задаче рисунок диэлектрика обозначает ρ(x), а три запроса части 2 вновь имеют номера 1.2.1–1.2.3. Ключ сохраняет разные множители в формулах 7/8, повтор E₂s−E₂s, пропуск площади в формуле 20, повтор E₁ для двух половин резистора и лишний множитель E в конечной формуле поверхностного заряда. Явная итоговая формула сопротивления непрерывного резистора в ключе не напечатана; она не дописана. Остальные исходные обозначения и грамматические ошибки также сохранены. График касательной в ключе на странице 5 обрезан в самом исходнике справа после отметки 5 минут; сохранен полный полученный рисунок. Схема цепочки в ключе пространственно соседствует с текстом и формулами внутри своей прямоугольной области; сохранен полный исходный контекст, без частичных обрезков слов. В исходном рисунке тонких слоев на странице 32 ключа низ обозначения Δxᵢ обрезан самим встроенным изображением; полученное изображение сохранено полностью, без дорисовки.

Оригинальная общая обложка

А.И.Слободянюк, В.В.Барашков, Л.Г.Маркович, Н.В.Лаппо, К.Д.Сечко. Республиканская физическая олимпиада 2014 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Могилев. 2014.

Условие

1. Край соленоида

В цилиндрической катушке длины $L$ и радиуса $r$ с числом витков $N$ индукция магнитного поля в любой точке с координатой $x$ на оси катушки определяется по формуле

B_x=\frac{\mu_0IN}{2L}(\cos\beta_1+\cos\beta_2),

где $I$ — сила тока в катушке, $\beta_1,\beta_2$ — углы под которыми видны края катушки из точки, в которой рассчитывается индукция поля.

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, линиями, осями, данными и обозначениями.

1.1 Определите индукцию магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида $\hat A_\infty$ .

1.2 Определите максимальное $B_{x(\max)}$ и минимальное $B_{x(\min)}$ значение индукции магнитного поля соленоида конечной длины $L$ ( $L\gg r$ ).

Рекомендуем использовать формулу приближения: $(1+\tilde o)^n\approx1+n\cdot x$ .

1.3 Изобразите примерную картину силовых линий магнитного поля бесконечного соленоида и соленоида конечной длины $L$ ( $L\gg r$ ) при одинаковых значениях $I,N/L,r$ .

2. Край стола

Гибкая цепочка длины $L$ и массы $m$ лежит на горизонтальной поверхности стола. Край стола представляет собой полуокружность радиуса $R$ ( $R\ll L$ ). Коэффициент трения цепочки о стол равен $\mu=2/\pi$ .

2.1 Определите минимальную длину цепочки, свисающую с края стола, при которой цепочка начинает соскальзывать без учета взаимодействия цепочки с краем стола.

2.2 При протягивании цепочки по закруглению сила натяжения цепочки изменяется по закону: $F_2=F_1e^{\mu\beta}$ . Определите минимальную длину цепочки, свисающую с края стола, при которой цепочка начинает соскальзывать с учетом взаимодействия цепочки с краем стола.

3. «Край» электрического диполя

Система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов $+q$ и $-q$ , расстояние между которыми $L$ , называется электрическим диполем. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

Определите силу взаимодействия диполя с бесконечной проводящей плоскостью:

3.1 ось диполя перпендикулярна плоскости;

3.2 ось диполя параллельна плоскости.

Примечание:

$r$ — расстояние от центра диполя до проводящей плоскости, $r\gg L$ .
Рекомендуем использовать формулу приближения: $(1+\tilde o)^n\approx1+n\cdot x$ .

4. Край сферической линзы

Широкий пучок монохроматических параллельных лучей падает из вакуума перпендикулярно на плосковыпуклую и плосковогнутую сферическую поверхность с показателем преломления $n$ .

4.1 Определите максимальную сферическую аберрацию $\Delta F=|F-F_1|$ вдоль главной оптической оси для двух поверхностей.

4.2 Предложите способы устранения сферической аберрации для сферической поверхности раздела двух сред с разными показателями преломления.

Примечание:

$F$ — параксиальный фокус (фокус для узкого пучка лучей вблизи оси.
$F_1$ — краевой фокус (фокус для крайних лучей пучка)

Решение

Край соленоида

1.1 Для бесконечного соленоиду

B_\infty=\frac{\mu_0IN}{2L}(\cos0°+\cos0°)=\frac{\mu_0IN}L.

1.2 Для индукции в произвольной точке внутри соленоида

B_x=\frac{\mu_0IN}{2L}\left(\frac x{\sqrt{x^2+r^2}}+\frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2+r^2}}\right).

На рисунке показан график этой функции (от учеников его построение не требуется). Видно, что при увеличении отношения длины к радиусу соленоида влияние его краев на поле уменьшается. Можно сказать, что краевые эффекты распространяются на глубину порядка диаметра соленоида. Индукция магнитного поля на краю соленоида равна:

B_0=B_L=\frac{\mu_0IN}{2L}\frac L{\sqrt{L^2+r^2}}=\frac{\mu_0IN}{2L\sqrt{1+r^2/L^2}}\approx\frac{\mu_0IN}{2L}\left(1-\frac12\frac{r^2}{L^2}\right)\approx\frac{\mu_0IN}{2L}=\frac12B_\infty.

Индукция магнитного поля в центре соленоида ( $\tilde o=L/2$ ) равна:

\hat A_{L/2}=\frac{\mu_0IN}{2L}\cdot2\frac{L/2}{\sqrt{L^2/4+r^2}}=\frac{\mu_0IN}{L\sqrt{1+4r^2/L^2}}\approx\frac{\mu_0IN}L\left(1-\frac12\frac{4r^2}{L^2}\right)\approx\frac{\mu_0IN}L=B_\infty.

Индукция магнитного поля $B_x$ вдоль оси соленоида конечной длины $L\gg r$ принимает максимальное значения в центре соленоида $\hat A_{L/2}=\mu_0IN/L=B_\infty=B_{x(\max)}$ и минимальное значения на краях соленоида $B_0=B_L=\mu_0IN/(2L)=B_\infty/2=B_{x(\min)}$ .

1.3 Если смотреть справа на соленоид, то направление тока совпадает с направлением вращения буравчика по часовой стрелке. Количество силовых линий магнитного поля $K$ пропорционально модулю вектора магнитной индукции $B$ ( $K\Box B$ ). В центре соленоида $K_1=13$ , на краю соленоида $K_2=7$ .

При конечной длине соленоида начинают сказываться краевые эффекты: поле внутри соленоида перестает быть однородным, меняется радиальная и осевая $B_x$ составляющие магнитного поля.

Край стола

2.1 Из условия равновесия цепочки,

\frac mLx_1g=\mu\frac mL(L-x_1)g,

следует, что максимально возможная длина свисающей части цепочки равна

x_1=\frac L{1/\mu+1}=\frac L{2{,}57}\approx0{,}39L.

2.2 Так как $R\ll L$ , то массой цепочки на изгибе стола можно пренебречь:

\Delta m=\frac mLR\frac\pi2\approx0.

Полная исходная схема цепочки с окружающим пояснением и уравнениями, пересекающими ее прямоугольную область.

Тогда условие равновесия с учетом силы трения приобретет вид

\frac mLx_2g=\mu\frac mL(L-x_2)g\cdot2{,}7^{\mu\beta},\quad\text{где }\beta=\frac\pi2.

Подстановка численных значений дает результат

x_2=\frac L{1/(\mu2{,}7^{\mu\beta})+1}=\frac L{\pi/(2\cdot2{,}7)+1}=\frac L{1{,}582}\approx0{,}63L.

Учет действия края стола на цепочку увеличивает значение $x$ более чем в полтора раза! $\tilde o_2/\tilde o_1\approx1{,}63$ .

«Край» электрического диполя

3.1 Для определения силы взаимодействия диполя с проводящей плоскостью воспользуемся методом электростатических изображений.

\vec F_\perp=\vec F_{13}+\vec F_{24}+\vec F_{14}+\vec F_{23}.

F_\perp=kq^2\left(-\frac1{4r^2}-\frac1{4r^2}+\frac1{4(r+L/2)^2}+\frac1{4(r-L/2)^2}\right)=\frac{kq^2}4\left(-\frac2{r^2}+\frac{2r^2+L^2/2}{r^4(1-L^2/(4r^2))^2}\right).

Учтем формулу приближения: $(1-L^2/(4r^2))^{-2}\approx1-(-2)L^2/(4r^2)=1+L^2/(2r^2)$ .

F_\perp=\frac{kq^2}4\left(-\frac2{r^2}+\frac{(2r^2+L^2/2)(1+L^2/(2r^2))}{r^4}\right)\approx\frac{3kq^2L^2}{8r^4}.

Учтено, что $L^4/(2r^2)\approx0$ , т. к. $L\gg r$ . $\vec F_{14}$ .

3.2 Из симметрии задачи следует, что

F_{14}=F_{23}=k\frac{q^2}{L^2+4r^2},\qquad F_{13}=F_{24}=k\frac{q^2}{4r^2}.

Сила взаимодействия диполя с проводящей плоскостью при параллельной ориентацией равна: $F_\Box=2F_{13}-2F_{14}\cos\alpha$ .

F_\Box=2kq^2\left(\frac1{4r^2}-\frac1{L^2+4r^2}\frac{2r}{\sqrt{L^2+4r^2}}\right)=2kq^2\left(\frac1{4r^2}-\frac{2r}{8r^3(1+L^2/(4r^2))^{3/2}}\right).

По формуле приближения $(1+L^2/(4r^2))^{-3/2}\approx1-\frac32L^2/(4r^2)$ ,

F_\Box=2kq^2\left(\frac1{4r^2}-\frac1{4r^2}\left(1-\frac32\frac{L^2}{4r^2}\right)\right)=\frac{3kq^2L^2}{4r^4},\qquad F_\perp=\frac12F_\Box.

Край сферической линзы

4.1 Расстояние крайнего фокуса от центра сферической поверхности $OF_1$ для плосковыпуклой поверхности определим из условия полного внутреннего отражения.

\sin\alpha_0=\frac1n,\qquad OF_1=\frac R{\cos\alpha_0}=\frac R{\sqrt{1-1/n^2}}=\frac{Rn}{\sqrt{n^2-1}}.

Расстояние параксиального фокуса от центра сферической поверхности $OF$ для плосковыпуклой поверхности определим для очень узкого пучка лучей.

Для малых углов можно считать $\sin\theta\approx\operatorname{tg}\theta\approx\theta$ ,

n\alpha=\beta\ (1),\quad\frac hR=\alpha\ (2),\quad\frac h{OF-R}=\gamma\ (3),\quad\beta=\alpha+\gamma\ (4).

Решая систему уравнений (1)–(4), получаем: $OF=Rn/(n-1)$ ,

\Delta F=Rn\left(\frac1{n-1}-\frac1{\sqrt{n^2-1}}\right).

4.2 Расстояние крайнего фокуса от центра сферической поверхности $OF_1$ для плосковогнутой поверхности определим из условия полного внутреннего отражения.

\sin\alpha_0=\frac1n,\qquad OF_1=\frac R{\operatorname{tg}\alpha_0}=\frac R{\sqrt{n^2-1}}.

Расстояние параксиального фокуса от центра сферической поверхности $OF$ для плосковогнутой поверхности определим для очень узкого пучка лучей.

Для малых углов можно считать $\sin\theta\approx\operatorname{tg}\theta\approx\theta$ ,

n\alpha=\beta\ (1),\quad\frac hR=\alpha\ (2),\quad\frac h{OF-R}=\gamma\ (3),\quad\beta=\alpha+\gamma\ (4).

Решая систему уравнений (1)–(4), получаем: $OF=Rn/(n-1)$ ,

\Delta F'=R\left(\frac n{n-1}-\frac1{\sqrt{n^2-1}}\right).

4.3 Можно предложить несколько способов уменьшения сферической аберрации сферической поверхности линзы:

A) С увеличением показателя преломления материала линзы уменьшается $\Delta F$ .

\Delta F=Rn\left(\frac1{n-1}-\frac1{\sqrt{n^2-1}}\right),\quad\Delta F'=R\left(\frac n{n-1}-\frac1{\sqrt{n^2-1}}\right).

n	$\Delta F$	$\Delta F^*$
1,5	2R	2,41R
2	0,85R	1,42R

B) Уменьшение ширины пучка света приближает значение краевого фокуса к параксиальному, что приводит к уменьшению значения $\Delta F'$ . Ширину пучка света можно регулировать диафрагмой.

C) Можно заметить, что плосковыпуклая сферическая поверхность смещает краевой фокус по ходу лучей, а плосковыпуклая поверхность смещает краевой фокус против хода лучей!

Оригинал в Архива: 2014_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2014_theoretical_solutions.pdf