BelPhO 2015, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-3. 10 класс — 3. Терморезистор – терморегулятор

Задача 10-3 Терморезистор — терморегулятор.

1. В соответствии с приведенной формулой

Сопротивление терморезистора равно

2. Мощность выделяющейся теплоты при комнатной температуре рассчитывается по формуле

3. Для расчета коэффициента теплоотдачи следует использовать уравнение теплового баланса (количество теплоты, выделившейся при остывания воды, уходит в окружающую среду):

Так как температура изменяется незначительно (всего на $1°$) мощность теплопотерь можно считать постоянной. Тогда из уравнения (4) находим

4. При установившейся температуре, количество теплоты, выделяющейся на терморезисторе, равно количеству теплоты, уходящей в окружающую среду:

Установившаяся температура является корнем этого уравнения. Для качественного анализа решения этого уравнения следует построить графики зависимости от температуры:

• мощности теплоты, уходящей в окружающую среду $P_1=\beta(t-t_0)$, графиком которой является прямая, проходящая через точку $t=t_0$;
• мощности теплоты, выделяющейся на терморезисторе $P_1=U^2G(t)$, графиком которого является парабола.

При малых напряжениях парабола $P_2^{(1)}$ пересекает прямую в двух точках: $\bar t_1$ и $\bar t_2$. Легко показать, что первое значение температуры является устойчивым (при малом изменении температуры, она возвращается к исходному значению), а второе $\bar t_2$ — неустойчивым. Если напряжение источника превышает некоторое значение, то точек пересечения нет, т.е. уравнение (6) не имеет решений — график функции $P_2^{(2)}$.

5. Для количественного анализа возможных значений установившейся температуры перепишем уравнение (6) в виде:

Теперь на бланке №1 на графике зависимости проводимости от температуры $G(t)$ можно построить семейство прямых, проходящих через точку $t=t_0$, которые являются графиками функций $g(t)=\frac\beta{U^2}(t-t_0)$ при разных значениях напряжения на резисторе (рис.2)

При $U=0$ прямая вертикальна, при этом установившаяся температура, естественно, равна комнатной. При увеличении напряжения, наклон прямой уменьшается, при $U<U_{\text{кр.}}$ — имеется две точки пересечения с параболой, при напряжении равном некоторому критическому $U=U_{\text{кр.}}$ прямая является касательной к параболе. Координата точки касания и является максимально возможной стационарной установившейся температурой $\bar t_{\max}$. По графику можно приближенно определить $\bar t_{\max}\approx60°$. При $U>U_{\text{кр.}}$ теплового равновесия не существует — при этом нагрев воды будет постоянно увеличиваться, т.к. мощность выделяющейся теплоты всегда больше мощности тепловых потерь. Указанному критическому значению напряжения соответствует прямая, коэффициент которой (легко найти по графику) равен $\frac\beta{U^2}\approx4{,}5\cdot10^{-3}\,\text{См/К}$, следовательно, $U_{\text{кр.}}\approx\sqrt{\frac{1{,}4}{4{,}5\cdot10^{-3}}}\approx17\,\text{В}$.

6. Для точного расчета значения установившейся температуры необходимо решить уравнение (7), подставив выражение (1):

Это уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

В этом случае величина $z=\frac\beta{U^2}$ принимает значение

Отрицательный корень данного уравнения в данном случае физического смысла не имеет¹, поэтому критическое напряжение, при котором достигается максимальная установившаяся температура, рассчитывается следующим образом

Что немного отличается от значения ранее найденного приближенным графическим способом. При этом единственный корень уравнения (8) (максимальная установившаяся температура) равен:

Для построения графика зависимости установившейся температуры от приложенного напряжения нужно решать уравнение (8). Для упрощения расчетов можно рассчитать обратную зависимость $U(\bar t)$, которая следует из того же уравнения

Результаты расчетов приведены в таблице 1, график этой функции показан на рис.3

Таблица 1.

¹ С Точки зрения математики этому корню соответствует вторая касательная в параболе (рис.2) при этом температура воды должна быть меньше температуры окружающей среды.

Интересно отметить, что данную зависимость можно продолжить, увеличивая значения температур. При этом на графике появится ветвь неустойчивых решений уравнения (8) на рис.4 она указана пунктиром).

7-8. Обратимся еще раз к графику, позволяющему оценивать значения установившихся температур (рис.2). Проведем на нем прямую, соответствующую установившейся температуре $\bar t=50°$ (рис.5). Видно, что в этом случае помимо устойчивой температуры $\bar t_1=50°$ существует еще одна стационарная точка² (неустойчивая) $\bar t_2\approx75°$. По таблице (1) определяем, что этой прямой соответствует напряжение $U=15\,\text{В}$. Поэтому при превышении температуры $\bar t_2\approx75°$ выделяющаяся мощность теплоты постоянно будет превышать мощность тепловых потерь, поэтому воды будет нагреваться до температуры кипения.

Для оценки и расчета времен нагревания необходимо записать уравнение, описывающее изменение температуры воды с течением времени $\tau$:

Смысл которого очевиден: разность между выделившейся теплотой и теплотой, ушедшей в окружающую среду пошла на нагревание воды. Разность мощностей $(P_1-P_2)$ зависит от температуры, поэтому строгое решение этого уравнения достаточно сложное. Однако в каждом случае можно провести разумные оценки.

Так при нагревании воды на $1°$ от комнатной можно пренебречь тепловыми потерями, а мощность выделяющейся теплоты считать постоянной и равной $P_1=U^2G(t_0)=15^2(5{,}0\cdot10^{-5}\cdot20+6{,}1\cdot10^{-2})\approx14\,\text{Вт}$. Тогда время нагревания оказывается равным

² При необходимости точное значение этой температуры можно найти из уравнения (8). Проще всего, используя теорему Виета. Из уравнения (8) следует $\bar t_1+\bar t_2=\frac\beta{aU^2}=\frac{1{,}4}{5{,}0\cdot10^{-5}\cdot15^2}=124°$, откуда $\bar t_2=74°$.

При приближении к состоянию равновесия $t\to\bar t_1$ мощность, идущую на нагревание воду нельзя считать постоянной (так как она стремиться к нулю), поэтому в этом случае необходимо использовать иное приближение. Обозначим $\delta t=t-\bar t_1$ малое отклонение от стационарной температуры. Тогда

В этом выражении первое слагаемое обращается в нуль (так как $\bar t_1$ — стационарная точка), последним слагаемым можно пренебречь ввиду малости величины $(\delta t)^2$. Таким образом, уравнение теплового баланса (13) преобразуется к виду

В этом уравнении постоянный коэффициент равен $\gamma=\frac{(\beta-2U^2a)}{cm}\approx1{,}7\cdot10^{-3}\,\text{с}^{-1}$. Оценка характерного времени достижения равновесия проводится традиционным способом. Качественный график зависимости отклонения температуры $\delta t$ от времени имеет вид, показанный на рис.6. Считая, что скорость изменения температуры постоянна и равна $\gamma\delta t_0$ получаем оценку времени достижения теплового равновесия

При нагревании воды от $80°$ до $100°$ скорость

нагревания изменяется в пределах

Для оценки времени нагревания можно взять среднее значение скорости нагревания³, при этом получаем

Наконец, при кипении воды ее температура остается постоянной, поэтому рассматриваемые мощности также постоянны, причем

Следовательно, время выкипания будет равно

³ Возможны и другие способы оценивания. Например, взять скорость остывания при средней температуре $90°$: $\left(\frac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_{80°}\approx8\cdot10^{-3}\,\text{К/с}$. В этом случае оценка времени нагревания дает примерно 40 мин.