BelPhO 2015, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-2. 10 класс — 2. Пружинный газ

Задача 10-2 Пружинный газ

Часть А. Газ как пружина

Поскольку сосуд открыт, система находится в равновесии, а поршень может двигаться практически без трения, то давление газа изначально равно атмосферному $p_0=101\,\text{кПа}$.

А1.1. Предположим газ поршень сдвинули на некоторое малое расстояние $\Delta x$. Тогда объем газа станет равен $V_0+S\Delta x$. Так как стенки сосуда хорошо проводят тепло, то процесс изменения объема можно считать изотермическим, подчиняющемуся закону $pV=\text{const}$. Тогда $p_0V_0=p_1(V_0+S\Delta x)$, где $p_1$ — новое давление газа. Отсюда:

Рассмотрим силы, действующие на поршень. Это сила атмосферного давления снаружи, сила давления газа изнутри и сила, с которой деформируют газ. По третьему закону Ньютона последняя сила совпадает по модулю с той, что ощущает экспериментатор со стороны поршня, то есть с силой упругости. Отсюда:

В пределе малых деформаций сила упругости линейна по этой деформации, что говорит о выполнимости закона Гука. Полученный коэффициент при $\Delta x$ и есть жесткость такой «газовой пружины». Она равна:

А1.2. Поверхностное напряжение равно: $\sigma=\frac{F_{\text{упр}}}S=-\frac{p_0S\Delta x}{V_0}$. Относительное удлинение равно: $\varepsilon=\frac{\Delta x}l=\frac{S\Delta x}{V_0}$, где $l$ — начальная «длина» газа вдоль направления деформации. Отсюда получаем закон Гука в дифференциальной форме (по модулю):

Полученный коэффициент при деформации и есть модуль Юнга. Для «газовой пружины» он оказался равным атмосферному давлению:

А1.3. Для того, чтобы рассмотреть отклонение от закона Гука, необходимо вернуться к месту, где использовалось приближение в выражении для давления газа в пункте А1.1 и продлить разложение до квадратичного слагаемого. Тогда для силы упругости получаем выражение:

где за «переменную» жесткость можно считать: $k_1=\frac{p_0S^2}{V_0}\left(1-\frac{S\Delta x}{V_0}\right)$. Видно, что результат зависит от типа (знака) деформации: при «растянутом газе» (знак «плюс») с увеличением деформации жесткость будет уменьшаться, при «сжатом газе» (знак «минус») с увеличением деформации жесткость будет увеличиваться.

А2.1. В данном случае меняется не только давление и объем, но и температура газа. Пусть температура газа при небольшой деформации изменяется на $\Delta T$. Так как стенки сосуда и поршень теплоизолированы, то процесс будет адиабатическим и первое начало термодинамики можно записать в виде $0=A+\Delta U$, откуда:

где $\nu$ — химическое количество газа в сосуде. Будем считать процесс что деформированный газ оказывается в равновесном состоянии. Тогда можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояния:

Из последнего выражения с учетом предыдущих двух получаем:

Оставляя лишь слагаемые первого порядка малости по деформации, получаем:

Вновь записав силы, действующие на поршень, аналогично пункту А1.1, получим:

Снова видим, что закон Гука при малых деформациях выполняется и жесткость «газовой пружины» равна:

А2.2. Вводя напряженность и относительное удлинение аналогично пункту А1.2, получим:

Отсюда модуль Юнга равен:

А2.3. Удержав квадратичное слагаемое разложения в формуле для давления $p_1$, получим:

Отсюда «переменная жесткость» равна $k_2=\frac{p_0S^2}{V_0}\left(1-\frac{S\Delta x}{V_0}\right)$. Снова, как и в пункте А1.3, получаем, что при «растянутом газе» (знак «плюс») с увеличением деформации жесткость будет уменьшаться, при «сжатом газе» (знак «минус») с увеличением деформации жесткость будет увеличиваться.

Часть B. Газ против пружины.

B1. Прежде всего, найдем $p_1$ — давление газа после изохорного нагрева (не забываем, что температуры должны быть абсолютными, в Кельвинах).

Происходящий процесс неравновесный, мы не можем записать уравнение Менделеева-Клапейрона для любого промежуточного состояния газа, однако оно справедливо для начального и конечного равновесных состояний:

где $\Delta x$ — деформация газа и пружины, $p_2$ и $T_2$ — конечные давление и температура. Кроме того, можно записать баланс сил (2-й закон Ньютона) для поршня в конечном положении:

Наконец, процесс адиабатический. Газ совершает работу за счет внутренней энергии: $A=-\Delta U$. При этом, пренебрегая массой поршня, работа газа идет только на увеличение потенциальной энергии деформированной пружины. Получаем:

Объединяя приведенные равенства, можно получить квадратное уравнение относительно $\Delta x$:

Решать данное уравнение удобно, подставив численные значения коэффициентов. Отбрасывая отрицательный корень (газ расширяется), получаем: $\Delta x=1{,}37\,\text{см}$. Далее, из уравнений Менделеева-Клапейрона и второго закона Ньютона можно получить выражение для искомой температуры: