BelPhO 2015, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-1. 10 класс — 1. Вниз по ступенькам

Задача 10-1 Вниз по ступенькам

Часть А. Абсолютное скольжение

1. Две ступеньки

А1.1. При движении шайбы горизонтальная составляющая ее скорости остается неизменной. Тогда $\upsilon_{\text{кр}}$ определяется из условия, чтобы шайба равномерно пролетела по горизонтали длину ступеньки в то время, как равноускорено упадет на ее высоту. Тогда:

А1.2. Так как горизонтальная составляющая скорости шайбы остается постоянной в ходе движения и расстояние до точки Ф в обоих случаях ($\upsilon_{\text{кр}+}$ и $\upsilon_{\text{кр}-}$) одно и то же, то, считая $\upsilon_{\text{кр}+}$ и $\upsilon_{\text{кр}-}$ приблизительно равными, время достижения цели будет одинаковым. Иначе говоря, время движения до точки Ф при примерно постоянной начальной скорости не зависит от того, было ли промежуточное соударение со ступенькой.

А1.3. В силу сохранения горизонтальной составляющей скорости шайбы кинетическая энергия шайбы в начале и движения и в точке Ф в обоих случаях совпадают. Таким образом, «теряется» лишь потенциальная энергия шайбы в поле тяжести, изменение которой в обоих случаях равно $U=2mgh$, где $m$ — масса шайбы. Потери механической энергии в случаях $\upsilon_{\text{кр}+}$ или $\upsilon_{\text{кр}-}$ одинаковы.

2. Бесконечная лестница.

А2.1. Так как в бесконечной лестнице движение на каждой следующей ступеньке будет повторять движение на предыдущей, достаточно рассмотреть лишь один пролет. Одну ступеньку шайба пролетит за время $t_1=\frac l{\upsilon_{\text{кр}-}}=\sqrt{\frac{2h}g}$. При этом по наклонной плоскости шайба преодолеет расстояние, равное диагонали одной ступеньки $s_1=\sqrt{l^2+h^2}$. Тогда скорость кажущегося движения равна:

Часть B. Трение скольжения

B1.1 Во время соударения на шайбу действуют следующие силы: сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз, сила реакции со стороны поверхности $\vec N$ — вертикально вверх и сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$ — горизонтально против направления движения. Вертикальная составляющая скорости перед соударением равна $\upsilon_y=\sqrt{2gh}$, после неупругого соударения — нулю. Тогда 2-й закон Ньютона в импульсной форме в проекции на ось, направленную вертикально вверх, выглядит следующим образом:

где $N_{\text{ср}}$ — средняя сила реакции за $\Delta t$ — время соударения. Так как время соударения очень мало, то для того, чтобы произведение в правой части равнялось $m\upsilon_y$, необходимо чтобы сила реакции $N_{\text{ср}}$ была достаточно велика (на силу тяжести такое требование наложить нельзя, так как она полностью определена массой шайбы). Тогда силой тяжести в разности в правой части можно пренебречь, откуда:

Так как в любой момент времени справедливо $F_{\text{тр}}=\mu N$, то аналогичное выражение выполняется и для средних по времени величин. Тогда 2-й закон Ньютона в импульсной форме в проекции на горизонтальную ось вдоль направления движения можно записать в виде:

Отсюда получаем:

B1.2 Для того чтобы $\upsilon_{\text{кр}}$ сохранила значение и смысл, указанный в пункте A1.1, будем считать, что это скорость в момент отрыва с верхней ступеньки. В случае $\upsilon_{\text{кр}-}$ потери механической энергии происходят на трех этапах: первое соударение со ступенькой, второе соударение с поверхностью, скольжение по поверхности до точки Ф.

При первом соударении потери можно найти, зная скорость после соударения, рассчитанную в пункте B1.1:

где $\upsilon_{1-}=\upsilon_{\text{кр}-}-\mu\sqrt{2gh}$. Подставляя выражение для $\upsilon_{\text{кр}}$, получаем:

Потери энергии во время второго соударения считаются аналогично:

где $\upsilon_{2-}=\upsilon_{1-}-\mu\sqrt{2gh}=\upsilon_{\text{кр}-}-2\mu\sqrt{2gh}$. Отсюда следует:

Во время «второго полета» шайба отлетит от ступеньки по горизонтали на расстояние $l_{1-}=\upsilon_{1-}\sqrt{\frac{2h}g}$. Если обозначить расстояние от края ступеньки до точки Ф за $s$, то в силу постоянства силы трения скольжения и отсутствия вертикального ускорения потери энергии на третьем этапе будут равны:

Таким образом, полные потери энергии в случае $\upsilon_{\text{кр}-}$ равны:

В случае $\upsilon_{\text{кр}+}$ потери энергии происходят на двух этапах: соударение с поверхностью и дальнейшее скольжение. Расчет производится по формулам, аналогичным приведенным выше. На первом этапе:

где $\upsilon_{1+}=\upsilon_{\text{кр}+}-\mu\sqrt{4gh}$ рассчитывается аналогично пункту B1.1. Отсюда:

Во время полета по горизонтали шайба пролетает расстояние $l_{1+}=\upsilon_{\text{кр}+}\sqrt{\frac{4h}g}$. Тогда потери энергии на втором этапе равны:

Полные потери энергии в случае $\upsilon_{\text{кр}+}$:

То есть потери энергии в обоих случаях одинаковы. Данный результат говорит о том, что зависимость потерь энергии от начальной скорости шайбы непрерывна, не испытывает скачка в точке $\upsilon_{\text{кр}}$.