Съдържание

Условие Часть 1. Капли.Часть 2. Движение границы.Отговори Решение

BelPhO 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. Задача 10-2. Капельница

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2015

Заключительный этап Республиканской олимпиады по физике 2015 года (Экспериментальный тур)

Экспериментальный тур. 9 класс.

УТВЕРЖДАЮ
Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования
__________________Р.С. Сидоренко
«» марта 2015 г.

Республиканская физическая олимпиада 2015 год (Заключительный этап)

Экспериментальный тур

9 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Условие

Не сложно найти множество игрушек, в которых можно наблюдать движение капелек одной жидкости в другой, не смешивающейся с первой. Мы для вас сделали такую «игрушку» и рекомендуем исследовать ее некоторые характеристики.

Приборы и материалы: Две пробирки с единой шкалой, полностью заполненные двумя не смешивающимися жидкостями (вода и растворитель – «Уайт спирит»), штатив, секундомер с памятью 10 этапов.

Две соосные пробирки, соединённые пробкой, через которую проходят две трубки; в верхней пробирке поднимается капля, в нижней опускается капля; стрелка z отсчитывается вверх от края пробки до границы жидкостей.

Две пробирки соединены с помощью пробки, через которую проходят две одинаковых трубки. Пробирки заполнены двумя жидкостями, плотность воды больше, чем плотность растворителя. Во время всех измерений пробирки располагайте вертикально.
Если в верхней пробирке находится более тяжелая жидкость (вода), то через трубки начнется перетекание жидкостей, при этом в каждой пробирке на торцах трубок будут образовываться капли, которые, отрываясь от трубок, будут подниматься в верхней пробирке и опускаться в нижней. Также легко наблюдать границы жидкостей, как в верхней, так и в нижней пробирке. Координату верхней границы $z$ следует отсчитывать от края пробки.

Часть 1. Капли.

Размеры образующихся капель воды и растворителя могут быть разными.

1.1 С помощью секундомера с памятью этапов (можете использовать инструкцию по пользованию секундомером) зафиксируйте времена отрыва последовательно образующихся капель $t_1(k)$ растворителя в воде и $t_2(k)$ - воды в растворителе. Постройте графики полученных зависимостей.

1.2 Рассчитайте отношение объемов капель $\frac{V_1}{V_2}$ .

1.3 Рассчитайте отношение вязкостей воды и растворителя $\frac{\eta_1}{\eta_2}$ .

При движении капель на них действует сила вязкого трения, которая определяется формулой Стокса

F = 6\pi\eta R v \qquad (1)

где $R$ - радиус капли, $v$ - скорость ее движения, $\eta$ - вязкость среды, в которой движется капля.
Приведите формулы, которые Вы использовали для расчета этого отношения. Укажите, какие величины вам пришлось дополнительно измерить, приведите результаты этих измерений.

Часть 2. Движение границы.

2.1 Измерьте зависимость координаты верхней границы жидкостей от времени $z(t)$ . Постройте график полученной зависимости.

2.2 Дайте качественное объяснение вида полученной зависимости $z(t)$ .
Свои выводы обоснуйте формулами и расчетами.

Скорость перетекания жидкости (объем жидкости, протекающей в единицу времени $q$ ) через тонкую трубку пропорционален разности давлений на концах трубки $\Delta P$ , обратно пропорционален длине трубки $l$ и вязкости жидкости (закон Пуазейля)

q = \frac{\pi r^4}{8\eta l}\Delta P \qquad (2)

$r$ - радиус трубки.

Отговори

Решение

Часть 1. Капли.

1.1 Результаты измерений времен отрыва последовательно образующихся капель $t_1(k)$ растворителя в воде и $t_2(k)$ - воды в растворителе приведены в Таблице 1. Рядом приведены графики полученных зависимостей.

Таблица 1.

$k$	$t_1(k)$ , с	$t_2(k)$ , с
1	0,00	0,00
2	0,52	0,42
3	0,92	0,78
4	1,42	1,20
5	1,91	1,63
6	2,42	2,24
7	2,92	2,55
8	3,46	2,93
9	3,97	3,26
10	4,53	3,77

1.2 Из полученных зависимостей следует, что среднее время образования капли растворителя (поднимающегося вверх) равно $\tau_1 = 0{,}50\,\text{с}$ , а среднее время образования капли воды (опускающейся вниз) равно $\tau_2 = 0{,}42\,\text{с}$ . Так как объемы перетекающих жидкостей в единицу времени одинаковы, то отношение объемов капель равно отношению времен их образования

\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tau_1}{\tau_2} \approx 1{,}2 \qquad (1)

1.3 Отношение вязкостей жидкости можно найти по отношению скоростей их движения.
Для каждой капли при ее равномерном движении справедливо уравнение

6\pi\eta R v = \left|mg - F_A\right| = \frac{4}{3}\pi R^3(\rho_1 - \rho_2)g \qquad (2)

Из этого выражения следует, что отношение вязкостей может быть рассчитано по формуле

\frac{\eta_1}{\eta_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{2}{3}}\frac{v_2}{v_1} \qquad (3)

Таким образом, для определения отношения вязкостей необходимо измерить скорости движения капель. В результате измерений получены значения $v_1 \approx 13{,}6\,\frac{\text{см}}{\text{с}}$ , $v_2 \approx 9{,}8\,\frac{\text{см}}{\text{с}}$ .
Следовательно, отношение вязкостей жидкостей (растворителя к воде) равно

\frac{\eta_1}{\eta_2} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{2}{3}}\frac{v_2}{v_1} = (1{,}2)^{\frac{2}{3}}\frac{13{,}6}{9{,}8} \approx 1{,}6 \qquad (4)

Графики времён отрыва капель t_1 и t_2 (с) от номера капли k от 1 до 10: две возрастающие прямые с экспериментальными точками.

Часть 2. Движение границы.

2.1 Результаты измерения зависимости координаты границы $x$ от времени $t$ приведены в таблице 2.
Рядом приведен график закона движения границы $x(t)$
Таблица 2.

$x$ , см	$t$ , с
34	2,72
35	7,99
36	13,31
37	19,62
38	25,39
39	31,75
40	37,56
41	43,71
42	49,47
43	55,79

Полученные данные однозначно свидетельствуют, что граница движется равномерно, со скоростью примерно равной $v = 0{,}17\,\frac{\text{см}}{\text{с}}$ .
2.2 Полученные данные, на первый взгляд противоречат формуле Пуазейля, из которой следует, что скорость перетекания жидкости должна зависеть от разности давлений на концах трубки. Однако при движении жидкости формула для гидростатического давления оказывается не применимой, так как устанавливается новое распределение давлений, обеспечивающих равенство перетекающих потоков жидкости.
На рисунке приведены значения на разных уровнях внутри пробирки. Учтено, что разность давлений на концах трубок определяется формулой Пуазейля.

q = \frac{\pi r^4}{8\eta l}\Delta P \quad\Rightarrow\quad \Delta P = C\eta q \qquad (5)

Где $C$ - постоянная величина, зависящая только от геометрических размеров трубок.
Приравнивая два выражения для давления на нижнем срезе нижней трубки, получим

P_0 + \rho_1 gl - C\eta_1 q = P_0 + C\eta_2 q + \rho_2 gl,

Откуда следует формула для расхода жидкостей

q = \frac{\rho_1 - \rho_2}{c(\eta_1 - \eta_2)}gl \qquad (6).

Таким образом, показано, что расход жидкости и, следовательно, скорость движения границы постоянны и не зависят от давления в верхней части верхней пробирки.

График координаты границы x (см) от времени t (с): экспериментальные точки на прямой от 34 см при 2,7 с до 43 см при 55,8 с.

Схема распределения давлений в пробирках: верхняя жидкость ρ_1, η_1, нижняя ρ_2, η_2, две трубки длиной l; подписи давлений P_0, P_0 + ρ_1gl, P_0 + ρ_1gl − Cη_1q, P_0 + Cη_2q, P_0 + Cη_2q + ρ_2gl.

Оригинал в Архива: 2015_experimental_problems.pdf · официални решения: 2015_experimental_solutions.pdf