Съдържание

BelPhO 2015, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-1. 10 класс — 1. Вода из воздуха

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2015

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все14страниц условий и29страниц решений. Сохранены девять отдельных целых заданий: по три для9,10,11класса. Одинаковые названия «Вода из воздуха» относятся к разным опытам: сжатие в10классе и охлаждение в11классе. Основные52печатные группы запросов (51номерная и одно ненумерованное задание цепи) не подменены каталожным числом49. Сохранены обе связанные структуры резистора, все13запросов подъемника, в том числе повторные номера2.1.1–2.1.3 под заголовком2.2. Время, баллы и численные критерии оценивания не напечатаны.

Сохранены все исходные таблицы, пустая таблица колебаний, два полных метода их решения, расширенные расчеты и альтернативы цепи, подсказки, сноска и заряд/емкость резистора. ВАХ цепи присутствует настр.8 условий, хотя текст называет ее отдельным бланком. Отдельный график давления насыщенного пара от температуры, упомянутый в задаче11-3 и ключе10-1, в полученных двух оригиналах отсутствует; диаграммы p–V не заменяют его. Ключ цепи не дает явного ответа для напряжения наR1; текст конца ключа называетR2 при формулеI1. Непечатный официальный ответ не добавлен. Ключ лесосплава отдельно не отвечает на вариант тяги верхнего бруска.

Оставлены буквальные печатные несогласованности: непримированные x2n и одинаковые знаменатели(9) зеркал, повтор y1 для второго изображения; знаки/модули ускорений, повтор ymin для максимума, m2−m2 в энергии подъема, t0=4,0с, повтор Δt1 и формулы t3/t6 колебаний; M=1,8·10⁻² в условии10-1 против1,8·10⁻³ в подстановке ключа при9,03мг,211кДж, индексы pc/pD и меткаА3; противоположная ориентация x у резистора, отсутствиеS в(13), повторные номера и дополнение2.6; сопротивление3R2/2 в тексте цепи против2R2/3 на схеме, несогласованные прямая/график/численные ответы; пропускq в(3) подъемника,l вместоz в(17), ошибочная ссылка2.2, оценка площади0,25 против точного0,2, высота бутылкиl/2 против уровняводыl в ключе; |x|>0 в ключе зарядов, повторные номера и ссылка на ненапечатанную(8); M=1,8·10⁻³ в11-3 при37,3мг в ключе, фраза о пропорциональности объема и давления при изобарном охлаждении, множительAB в площади трапеции и меткаВ6. Эти исходные значения не исправлены.

Оригинальные утверждение и общие инструкции9класса

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. _________________Р.С.Сидоренко. «» марта2015г.

Республиканская физическая олимпиада2015год (Заключительный этап). Теоретический тур.9класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Условие

В воздухе, окружающем нас, всегда содержится некоторое количество водяного пара. При некоторых условиях этот пар конденсируется, то есть превращается в воду. В природе такой эффект мы можем наблюдать в виде капель на листьях растений (росы) при том, что дождя перед этим не было. Отношение количества водяного пара в воздухе к предельному, когда он начнет конденсироваться, называют относительной влажностью воздуха, или просто влажностью ( $\varphi$ ).

В данной задаче на примере работы юного экспериментатора Феди вам предлагается рассмотреть возможность получения некоторого количества воды из воздуха при помощи различных физических процессов. Водяной пар и воздух в решении можете считать идеальными газами.

Наконец, напомним вам некоторые физические постоянные (никто не гарантирует, что все из них вам понадобятся):

Универсальная газовая постоянная $R=8{,}31$ Дж/(К·моль); постоянная Авогадро $N_A=6{,}02\cdot10^{23}$ моль⁻¹; постоянная Больцмана $k_B=1{,}38\cdot10^{-23}$ Дж/К; молярная масса воды $M=1{,}8\cdot10^{-2}$ кг/моль; удельная теплоемкость воды $c_{\text{в}}=4200$ Дж/(кг·°C); нормальное атмосферное давление $p_{\text{атм}}=1{,}01\cdot10^5$ Па; температура кипения воды (при $p_{\text{атм}}$ ) $T_{\text{кип}}=100^\circ$ С $=373$ К; ускорение свободного падения считайте равным $g=10$ м/с².

Молодой, но талантливый экспериментатор Федя, захотев получить воду прямо из воздуха, провел физический опыт. Федина установка представляет собой цилиндрический герметичный сосуд (рис.1) с поршнем малой массы, способным двигаться практически без трения. Стенки сосуда и поршень хорошо проводят тепло. В начальном положении в сосуд через отверстие поступает воздух из комнаты. Температура воздуха в комнате $t_1=20^\circ$ C, (давление насыщенного водяного пара при этой температуре равно $p_{\text{нас}}=2{,}35$ кПа) его относительная влажность $\varphi=77\%$ . Начальный объем сосуда с поршнем $V_1=5{,}0$ л.

Федя медленно уменьшает объем газа, оказывая давление на поршень. При этом успевает полностью проходить процесс теплообмена через стенки с окружающей средой. Максимальное избыточное давление, которое Федя может оказать на поршень при помощи своего оборудования, составляет $0{,}5p_{\text{атм}}$ . Федя рассчитал, что в процессе сжатия после некоторого положения поршня на стенках сосуда и на поршне начнут появляться мелкие капли влаги.

Оригинальный научный рисунок: все оси, подписи, формулы, стрелки, размеры, кривые, сетки и границы.

1.1 Определите, при каком объеме воздуха водяной пар в сосуде начнет конденсироваться.

Для получения максимально возможного количества воды Федя сжимал газ в сосуде до наименьшего объема, которого он мог достичь.

1.2 Определите, до какого минимального объема Федя может сжать воздух в сосуде.

В расчетах объем воды, образующейся в процессе конденсации, можете считать пренебрежимо малым по сравнению с объемом сосуда.

А3 Рассчитайте массу воды, образовавшейся в результате такого сжатия.

Предположим, что Федя разработал некоторый механизм, позволяющий собирать влагу из сосуда, не открывая его и не влияя на давление, объем или температуру газов.

1.4 Определите, за сколько таких «сжатий» можно будет собрать один стакан воды ( $m_c=200$ г).

1.5 Оцените количество работы, которую совершил Федя при сжатии.

Для повторения всего процесса Федя организовал работу по следующему циклу. После описанного сжатия и сбора образовавшейся влаги Федя медленно увеличивает размер сосуда до первоначального объема. При достижении объема $V_1$ открывается отверстие для доступа воздуха, окружающего сосуд. Выждав достаточное время, Федя снова начинает сжатие.

1.6 Схематически (без точных числовых значений) изобразите $p$ – $V$ диаграмму для водяного пара в описанном циклическом процессе. Укажите направление процесса на диаграмме.

1.7 Оцените полное количество работы, совершаемое Федей за один цикл.

Для определения «трудоемкости» процесса получения воды из воздуха Федя придумал следующую характеристику — удельную работу конденсации ( $\Theta$ ), равную работе, затраченной на образование1килограмма воды.

1.8 Оцените удельную работу конденсации для описанного цикла.

Решение

10класс. Задача10-1. Вода из воздуха.

1.1 Согласно определению относительной влажности начальное давление водяного пара в сосуде составляет $p_1=\varphi p_{\text{н}1}$ , где $p_{\text{н}1}$ — давление насыщенного водяного пара при комнатной температуре $T_1$ . Из графика на бланке можно определить: $p_{\text{н}1}\approx2{,}35$ кПа. Стоит отметить, что парциальное давление водяного пара в полном давлении воздуха в сосуде составляет лишь тысячные части, а поскольку, согласно числовым данным задачи, требуемая точность решения составляет две значащие цифры, в дальнейшем влиянием водяного пара на полное давление воздуха можно будет пренебречь.

При изотермическом сжатии сосуда давление газов в нем, в том числе и водяного пара, будет увеличиваться. По достижению давления $p_{\text{н}1}$ последний начнет конденсироваться. Используя выражение для квазитстационарного изотермического процесса с водяным паром, считая его идеальным газом, получим $\varphi p_{\text{н}1}V_1=p_{\text{н}1}V_{\text{в}}$ , где $V_{\text{в}}$ — объем газов в сосуде, при котором начнет появляться влага. Отсюда:

V_{\text{в}}=\varphi V_1=0{,}77\cdot5{,}0\text{л}=3{,}85\text{л}.

Требуемая точность вычислений, согласно данным в условии задачи, — две значащие цифры. Однако мы будем приводить три из них для того, чтобы полученные величины можно было использовать в дальнейших вычислениях, не опасаясь за нарастание погрешности округления. Повторимся, окончательный ответ получается путем округления всех полученных в решении величин до двух значащих цифр.

1.2 Максимальное давление газов в сосуде, оказываемое как Федей, так и атмосферой, составляет $1{,}5p_{\text{атм}}$ . Пренебрегая парциальным давлением водяного пара и объемом образовавшейся жидкости, запишем уравнение для изотермического процесса с воздухом в сосуде: $p_{\text{атм}}V_1=1{,}5p_{\text{атм}}V_2$ , откуда:

V_2=V_1/1{,}5=5{,}0\text{л}/1{,}5=3{,}33\text{л}.

Сравнивая результаты пунктов А1 и А2 видим, что Федина установка действительно позволяет конденсировать водяной пар.

1.3 Так как давление водяного пара не может быть больше насыщенного, при уменьшении объема после значения $V_{\text{в}}$ оно будет оставаться постоянным за счет уменьшения химического количества водяного пара в сосуде. Уменьшение произойдет на количество, соответствующее количеству образовавшейся воды. Химическое количество водяного пара в начальном и конечном состоянии можно определить из уравнения Менделеева-Клапейрона $pV=\nu RT$ , а массу воды найдем, зная ее молярную массу:

m_A=M(\nu_1-\nu_2)=M\left(\frac{\varphi p_{\text{н}1}V_1}{RT_1}-\frac{p_{\text{н}1}V_2}{RT_1}\right)=\frac{Mp_{\text{н}1}}{RT_1}(\varphi V_1-V_2)=\frac{Mp_{\text{н}1}}{RT_1}(V_{\text{в}}-V_2),

m_A=\frac{1{,}8\cdot10^{-3}\,\frac{\text{кг}}{\text{моль}}\cdot2{,}35\cdot10^3\,\text{Па}}{8{,}31\,\frac{\text{Дж}}{\text{К}\cdot\text{моль}}(273+20)\text{К}}(3{,}85\cdot10^{-3}\text{м}^3-3{,}33\cdot10^{-3}\text{м}^3)=9{,}03\cdot10^{-6}\text{кг}.

Таким образом, за одно сжатие Федя может получить всего9,03мг воды.

1.4 Стакан воды можно насобирать за $N_A=m_c/m_A=22148$ сжатий.

1.5 Несмотря на особенности изменения давления водяного пара при сжатии содержимого сосуда, основное количество работы, совершаемое Федей, определяется давлением всего воздуха, так как последнее гораздо больше. Ввиду того, что давление газов в сосуде изменяется в ходе изотермического процесса, для грубой оценки совершенной работы будем использовать среднее арифметическое значение: $p_{\text{ср}}=(p_{\text{атм}}+1{,}5p_{\text{атм}})/2=1{,}25p_{\text{атм}}$ . Тогда работа, совершенная Федей, равна работе газа, взятой со знаком «минус», и определяется выражением:

A_{\text{сж}}=-p_{\text{ср}}(V_2-V_1)=211\text{кДж}.

1.6 От начала процесса до точки конденсации водяного пара диаграмма соответствует изотермическому процессу и представляет собой участок гиперболы. Далее процесс конденсации происходит при постоянном давлении (насыщенного пара). Обратное расширение после сбора влаги снова протекает изотермически по участку другой гиперболы из-за нового химического количества пара до первоначального объема. Далее при постоянном объеме и открытом отверстии химическое количество пара возвращается к первоначальному (возвращается исходная влажность воздуха) и диаграмма замыкается. Схематичное изображение процесса представлено на рисунке1.

1.7 В ходе циклического процесса весь воздух в сосуде, пренебрегая парциальным давлением водяного пара, при сжатии и расширении проходит через одни те же состояния. Тогда работа, затраченное на сжатие и расширение всего воздуха по модулю совпадает и в сумме дает нуль. Следовательно, стоит присмотреться к работе, затраченной на процесс, произведенный непосредственно с водяным паром, даже если его парциальное давление незначительно (оно все же больше нуля). Последнюю можно рассчитать, как площадь, ограниченную построенной $p$ – $V$ диаграммой цикла.

Для грубой оценки этой работы «спрямим» криволинейные участки (рис.2). Для расчета площади достроим фигуру до треугольника $CED$ . Также нам понадобится давление в точке $D$ . Его можно найти, используя уравнение изотермы $BC$ : $p_{\text{н}1}V_2=p_cV_1$ . Отсюда: $p_D=p_{\text{н}1}V_2/V_1=1{,}57$ кПа. Работа Феди равна работе газа в ходе цикла, взятой со знаком минус. Учитывая тот факт, что цикл на диаграмме направлен против часовой стрелки, работа экспериментатора будет равна просто площади, ограниченной диаграммой $ABCD$ , которую можно рассчитать как разность площадей треугольников:

A_A=S_{ABCD}=S_{CED}-S_{BEA}=\tfrac12(CE\cdot DE-BE\cdot AE),

A_A=\tfrac12\left((V_1-V_2)(p_{\text{н}1}-p_D)-(V_1-V_{\text{в}})(p_{\text{н}1}-\varphi p_{\text{н}1})\right)=0{,}341\text{Дж}.

1.8 Согласно определению введенной удельной работы конденсации получаем: $\Theta_A=A_A/m_A=37{,}7$ кДж/кг.

Оригинал в Архива: 2015_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2015_theoretical_solutions.pdf