Съдържание

BelPhO 2015, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-3. 9 класс — 3. Равноускоренные колебания

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2015

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все14страниц условий и29страниц решений. Сохранены девять отдельных целых заданий: по три для9,10,11класса. Одинаковые названия «Вода из воздуха» относятся к разным опытам: сжатие в10классе и охлаждение в11классе. Основные52печатные группы запросов (51номерная и одно ненумерованное задание цепи) не подменены каталожным числом49. Сохранены обе связанные структуры резистора, все13запросов подъемника, в том числе повторные номера2.1.1–2.1.3 под заголовком2.2. Время, баллы и численные критерии оценивания не напечатаны.

Сохранены все исходные таблицы, пустая таблица колебаний, два полных метода их решения, расширенные расчеты и альтернативы цепи, подсказки, сноска и заряд/емкость резистора. ВАХ цепи присутствует настр.8 условий, хотя текст называет ее отдельным бланком. Отдельный график давления насыщенного пара от температуры, упомянутый в задаче11-3 и ключе10-1, в полученных двух оригиналах отсутствует; диаграммы p–V не заменяют его. Ключ цепи не дает явного ответа для напряжения наR1; текст конца ключа называетR2 при формулеI1. Непечатный официальный ответ не добавлен. Ключ лесосплава отдельно не отвечает на вариант тяги верхнего бруска.

Оставлены буквальные печатные несогласованности: непримированные x2n и одинаковые знаменатели(9) зеркал, повтор y1 для второго изображения; знаки/модули ускорений, повтор ymin для максимума, m2−m2 в энергии подъема, t0=4,0с, повтор Δt1 и формулы t3/t6 колебаний; M=1,8·10⁻² в условии10-1 против1,8·10⁻³ в подстановке ключа при9,03мг,211кДж, индексы pc/pD и меткаА3; противоположная ориентация x у резистора, отсутствиеS в(13), повторные номера и дополнение2.6; сопротивление3R2/2 в тексте цепи против2R2/3 на схеме, несогласованные прямая/график/численные ответы; пропускq в(3) подъемника,l вместоz в(17), ошибочная ссылка2.2, оценка площади0,25 против точного0,2, высота бутылкиl/2 против уровняводыl в ключе; |x|>0 в ключе зарядов, повторные номера и ссылка на ненапечатанную(8); M=1,8·10⁻³ в11-3 при37,3мг в ключе, фраза о пропорциональности объема и давления при изобарном охлаждении, множительAB в площади трапеции и меткаВ6. Эти исходные значения не исправлены.

Оригинальные утверждение и общие инструкции9класса

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. _________________Р.С.Сидоренко. «» марта2015г.

Республиканская физическая олимпиада2015год (Заключительный этап). Теоретический тур.9класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Условие

Два груза массами $m_1=1{,}00m$ и $m_2=0{,}99m$ соединены лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок. Систему удерживают неподвижно, когда верхняя поверхность груза $m_2$ находится на уровне А. На груз массой $m_2$ кладут перегрузок массой $m_3=0{,}020m$ и систему отпускают. После того как верхняя поверхность груза $m_2$ оказывается на уровне В, перегрузок снимают и вновь кладут когда груз $m_2$ снова оказывается на уровне А, и процесс повторяется так далее (перегрузок снимают на уровне В и кладут на уровне А). Расстояние между уровнями А и В $h=0{,}040$ м.

Оригинальный научный рисунок: все оси, подписи, формулы, стрелки, размеры, кривые, сетки и границы.

3.1 Определите модуль ускорения системы грузов $a_1$ при движении груза $m_2$ вниз между уровнями А и В.

3.2 Определите модуль ускорения системы грузов $a_2$ при движении груза $m_2$ вниз, когда он находится ниже уровня В.

3.3 Постройте график зависимости координаты верхней поверхности груза $m_2$ от времени $y(t)$ за промежуток времени от первого до пятого раза помещения перегрузка на груз $m_2$ на уровне А. Координаты (значения координаты $y$ и соответствующие времена их прохождения) характерных точек графика (прохождения уровней А и В, максимальное и минимальное отклонения) сведите в таблицу. За начало отсчёта по оси $y$ примите уровень А, ось $y$ направьте вверх. Расстояние от грузов до блока считать много больше чем $h$ . Ускорение свободного падения считайте равным $g=10$ м/с².

Таблица к п.3.3.

	$n=1:y$	$t$	$n=2:y$	$t$	$n=3:y$	$t$	$n=4:y$	$t$	$n=5:y$	$t$
$y_A$
$y_B$
$y_{\min}$
$y_B$
$y_A$
$y_{\max}$

Оригинальная пустая таблица для координат и времен пяти циклов.

3.4 Найдите функции, описывающие зависимости $y_{\max}(n)$ и $y_{\min}(n)$ координат максимума и минимума графика функции $y(t)$ от порядкового номера помещения $n$ перегрузка на груз $m_2$ .

Решение

Задача3. Равноускоренные колебания.

Хорошо известна задача о движении грузов на нити, переброшенной через блок.

Уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов (с учетом равенства модулей ускорений и равенства модулей сил натяжения нитей) имеют вид

\begin{aligned}m_2a&=m_2g-T,\\m_1a&=T-m_1g.\end{aligned}\qquad (1)

Из этой системы следует формула для ускорения грузов (положительное направление ускорения указано на рисунке)

a=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}g.\qquad (2)

Способ решения1. Чисто кинематический.

Последовательно рассмотрим все этапы движения системы, описанной в условии задачи. При движении вниз между уровнями А и В ускорение грузов в соответствии с полученной формулой(2) равно

a_1=\frac{m_2+m_3-m_1}{m_2+m_3+m_1}g=\frac{0{,}99+0{,}02-1{,}00}{0{,}99+0{,}02+1{,}00}\cdot10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\approx5{,}0\,\frac{\text{см}}{\text{с}^2}.\qquad (3)

Когда правый груз пройдет расстояние $h$ , его скорость находится из формулы

h=\frac{v_1^2-v_0^2}{2a}\Rightarrow v_1=\sqrt{v_0^2+2ah}.\qquad (4)

Если малый груз снят, то ускорение системы равно

a_2=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}g=\frac{0{,}99-1{,}00}{0{,}99+1{,}00}\cdot10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\approx-5{,}0\,\frac{\text{см}}{\text{с}^2}.\qquad (5)

Дальнейшее движение будет происходить с отрицательным ускорением, путь, который пройдет до остановки, и минимальная координата находится по формулам

\Delta y=\frac{v_1^2}{2a_2}\Rightarrow y_{\min}=-h-\frac{v_1^2}{2a_2}.\qquad (6)

Остальные формулы для расчета характерных точек находятся аналогично. Для удобства численных расчетов все формулы сведены в единую таблицу. В таблице модуль ускорения обозначен $a=5{,}0$ см/с², в строках скоростей и ускорений приведены их проекции на вертикальную ось $y$ .

Оригинальная кинематическая таблица: все шесть схем грузов, координаты, стрелки, уровни и формулы.

Таблица1. Кинематический расчет закона движения.

Этап	Параметр	Формула
Движение вниз между уровнями АВ	Начальная скорость	$v_0$
	Ускорение	$a_1=-a$
	Конечная скорость	$v_1=-\sqrt{v_0^2+2ah}$
	Конечная координата	$-h$
	Время движения	$\Delta t=\left\vert \frac{v_1-v_0}{a}\right\vert$
Движение вниз от уровня В до нижней точки	Начальная скорость	$v_1$
	Ускорение	$a_2=a$
	Конечная скорость	$0$
	Конечная координата	$y_{\min}=-h-\frac{v_1^2}{2a}$
	Время движения	$\Delta t=\left\vert \frac{v_1}{a}\right\vert$
Движение вверх от нижней точки до уровня В	Начальная скорость	$0$
	ускорение	$a_2=a$
	Конечная координата	$-h$
	Конечная скорость	$-v_1$
	Время движения	$\Delta t=\left\vert \frac{v_1}{a_2}\right\vert$
Движение вверх между уровнями АВ	Начальная скорость	$-v_1$
	Ускорение	$a_2=a$
	Конечная координата	$0$
	Конечная скорость	$v_2=\sqrt{v_1^2-2ah}$
	Время движения	$\Delta t=\left\vert \frac{v_2-v_1}{a}\right\vert$
Движение от вверх от уровня А до верхней точки	Начальная скорость	$v_2$
	Ускорение	$a_2=-a$
	Конечная скорость	$0$
	Конечная координата	$y_{\max}=\frac{v_2^2}{2a}$
	Время движения	$\Delta t=\left\vert \frac{v_2}{a}\right\vert$
Движение вниз от верхней точки до уровня А	Начальная скорость	$0$
	Ускорение	$a_2=-a$
	Конечная скорость	$-v_2$
	Конечная координата	$0$
	Время движения	$\Delta t=\left\vert \frac{v_2}{a}\right\vert$

Результаты необходимых численных расчетов приведены в таблице2. (координаты в см, время в с).

Таблица2. Расчет закона движения.

	$n=1:y$	$t$	$n=2:y$	$t$	$n=3:y$	$t$	$n=4:y$	$t$	$n=5:y$	$t$
$y_A$	0,0	0,00	0,0	7,90	0,0	18,08	0,0	30,50	0,0	44,83
$y_B$	-4,0	1,26	-4,0	8,30	-4,0	18,38	-4,0	30,75	-4,0	45,05
$y_{\min}$	-8,0	2,53	-16,0	10,49	-24,0	21,21	-32,0	34,10	-40,0	48,84
$y_B$	-4,0	3,79	-4,0	12,68	-4,0	24,03	-4,0	37,44	-4,0	52,64
$y_A$	0,0	4,32	0,0	13,02	0,0	24,30	0,0	37,67	0,0	52,84
$y_{\max}$	8,0	6,11	16,0	15,55	24,0	27,40	32,0	41,25	40,0	56,84

График рассчитанной зависимости показан на рисунке.

Проведенные расчеты показывают, зависимости минимального и максимального смещения от номера цикла имеют простой вид

\begin{aligned}y_{\min}&=-8{,}0n\ (\text{см}),\\y_{\min}&=+8{,}0n\ (\text{см}).\end{aligned}\qquad (7)

Способ решения2. «Энергетически-кинематический».

Полученные соотношения слишком просты, чтобы быть случайными — поэтому возможен второй, более «быстрый» способ решения, основанный не только на кинематических формулах. Заметим, что система получает дополнительную энергию при движении вниз с грузом $m_3$ . Рассмотрим изменение энергии системы между крайними точками, в которых скорости грузов равны нулю.

а) Опускание: груз $m_2$ движется от крайнего верхнего положения $y_{\max n}$ до следующего крайнего нижнего положения $y_{\min n+1}$ . На этом этапе груз $m_3$ опустился на высоту $h$ (от уровня А до уровня В). Начальные и конечные положения всех грузов показаны на рисунке. Поэтому уравнение закона сохранения энергии имеет вид

m_2y_{\max n}-m_1y_{\max n}=m_2y_{\min n+1}-m_1y_{\min n+1}-m_3h,

из которого следует (с учетом численных значений масс грузов):

y_{\min n+1}=y_{\max n}+\frac{m_3}{m_2-m_1}h=y_{\max n}-2h.

Б) Подъем: груз $m_2$ поднимается от крайнего нижнего положения $y_{\min n}$ до следующего крайнего верхнего положения $y_{\max n+1}$ . Учитывая, что груз $m_3$ кладут на уровне А, изобразим начальные и конечные положения грузов и запишем уравнение закона сохранения энергии в этом случае

m_2y_{\min n}-m_2y_{\min n}=(m_2+m_3)y_{\max n+1}-m_1y_{\max n+1},

из которого находим (опять с учетом масс грузов)

y_{\max n+1}=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_3-m_1}y_{\min n}=-y_{\min n}.

Полученные формулы сразу приводят к полученным ранее формулам(7). Далее традиционным способом находим ускорения грузов при движении с грузом $m_3$ ( $a_1=-a=-5{,}0$ см/с²) и без него ( $a_2=+a=5{,}0$ см/с²).

Далее отмечаем, что движение без дополнительного груза $m_3$ происходит на участках $-h\to y_{\min}\to-h\to0$ , а движение с дополнительным грузом на участках $0\to y_{\max}\to0\to-h$ . Так как модули ускорений на этих участках одинаковы и максимальные смещения также одинаковы, то графики законов движения (параболы) на этих участках тоже одинаковы, только перевернуты. Эти рассуждения позволяют заметно сократить расчеты, начиная каждый цикл с момента прохождения вниз уровня В. Сначала следует «подойти» к началу первого цикла: рассчитать время первого прохождения точки $y=-h$ по формуле $t_0=\sqrt{2h/a}=4{,}0$ с. После этого рассчитать максимальное смещение груза в цикле по формуле $Y=8n$ (см), а также три интервала времени прохождения соответствующих отрезков (они показаны на рисунке) по формулам

\begin{aligned}\Delta t_1&=\sqrt{\frac{Y-h}{2a}}=\sqrt{8n-4}=2\sqrt{2n-1},\\\Delta t_2&=\sqrt{\frac Y{2a}}=\sqrt{8n}=2\sqrt{2n},\\\Delta t_1&=\sqrt{\frac{Y+h}{2a}}=\sqrt{8n+4}=2\sqrt{2n+1}.\end{aligned}

После чего вычисления времен прохождения каждой характерной точки рассчитываются простым суммированием (для удобства схема расчета сведена в таблицу3.

Таблица3. Схема расчета времен характерных точек.

$n=\ \ ;\quad Y=8n=\ \ ;\quad\Delta t_1=2\sqrt{2n-1};\quad\Delta t_2=2\sqrt{2n};\quad\Delta t_3=2\sqrt{2n+1}$ .

$y$	$t$
-4	$t_0=$
$-Y$	$t_1=t_0+\Delta t_1$
-4	$t_2=t_1+\Delta t_1$
0	$t_3=t_1+\Delta t_2$
$+Y$	$t_4=t_3+\Delta t_2$
0	$t_5=t_4+\Delta t_2$
-4	$t_6=t_4+\Delta t_3$

Очевидно, что результаты расчетов по этой схеме приводят к тем же результатам.

Оригинал в Архива: 2015_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2015_theoretical_solutions.pdf