BelPhO 2015, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-3. 10 класс — 3. Просто цепь

Задача10-3. Просто цепь.

Первоначально цепь может показаться симметричной относительно горизонтальной линии, проходящей через центр рисунка, что позволило бы отбросить участок цепи $KE$ (рисунок1), поскольку ток через него не идет. Однако такое предположение неверно, поскольку элементы с несимметричной вольтамперной характеристикой — диоды — включены навстречу друг другу. Если напряжение приложено к диоду в обратном направлении, то, согласно вольтамперной характеристике, ток через него не идет. Так, ток не пойдет через нижний диод Д.

Действительно, если предположить, что через оба диода ток в соответствующем направлении все же идет, то получим, что потенциал в точках $C$ и $G$ больше потенциала в точке $E$. Но тогда токи в узел $K$ со всех сторон будут входить и никуда не выходить, чего быть не может. Таким образом, ток через нижний диод Д на самом деле не будет проходить и, соответственно, ток через нижний резистор $R_3$ равен нулю. Поскольку ток и напряжение резисторе связаны линейным соотношением, то напряжение на нижнем резисторе $R_3$ также равно нулю. В силу отсутствия тока для дальнейшего изучения цепи участок $GFE$ можно отбросить (рис.2).

Так как вольт-амперная характеристика для нелинейного элемента задана графически, то для нахождения тока $I_2$, проходящего через него, будем использовать графический метод. Для этого необходимо найти связь между напряжением на нелинейном элементе $U_{BH}$ и током через него $I_2$, определяемую всеми остальными элементами цепи.

Начнем рассмотрение с узла $C$. В нем разветвляется ток $I_3$, что позволяет записать следующее соотношение для токов: $I_3=I_4+I_5+I_6$. Все токи можно выразить через соответствующие напряжения с помощью закона Ома для участка цепи c резисторами:

Изучая вольтамперную характеристику диода при его прямом включении можно заметить, что в случае напряжения на элементе, меньшего $U_{\text{д}}=0{,}70$В, ток не пойдет. В противном случае через диод может проходить любой ток, при этом на элементе падение напряжения будет равно $U_{\text{д}}$. Будем считать, что через диод ток протекает. В случае неверного предположения мы получим явно некорректный результат в виде, например, обратного направления тока через оставшийся резистор $R_3$.

Получаем, что напряжение $U_{DE}$ можно выразить: $U_{DE}=U_{CK}-U_{\text{д}}$. Поскольку в итоге мы хотим получить связь напряжения и тока в нелинейном элементе, то будем пытаться выразить все имеющиеся напряжения через $U_{CG}=U_{BH}$. Для участка $KG$ с резистором $R_2$ можно записать $U_{KG}=I_7R_2$, что приводит к:

Отсюда можно выразить:

Тогда, возвращаясь назад к току $I_3$, получим:

Ток через источник разветвляется в узле $B$ следующим образом: $I_1=I_2+I_3$. С другой стороны, этот ток можно определить из закона Ома для полной цепи: $I_1=\varepsilon/(r+R)$.

Полное сопротивление всей цепи $R$ можно записать как сумму сопротивлений двух резисторов $R_1$, включенных последовательно с источником, и сопротивления оставшейся цепи, которое выразим через закон Ома: $R=2R_1+U_{BH}/I_1$.

Тогда из последних двух выражений можно получить выражение для тока:

Наконец, получаем выражение для тока через нелинейный элемент, учитывая равенство напряжений $U_{BH}=U_{CG}$:

Полученное выражение представляет собой зависимость силы тока $I_2$, протекающей через нелинейный элемент НЛ, от напряжения на нем $U_{BH}$. Подставив численные значения характеристик, получим: $I_2=0{,}094$А$-0{,}125$См$\cdot U_{BH}$.

Данная зависимость определяет прямую, которую можно провести на вольтамперной характеристике нелинейного элемента (рисунок3).

Координаты точки пересечения графиков как раз определяют ток и напряжение на нелинейном элементе. Получаем: $I_2\approx0{,}042$А, $U_{BH}\approx0{,}41$В. Тогда по формуле(1), полученной ранее, найдем напряжение на оставшемся резисторе $R_3$:

Полученный отрицательный результат говорит о том, что ток идет через резистор $R_3$ в направлении, обратном предполагаемому, чего быть не может. Получаем, что допущение о том, что через верхний диод Д ток идет, неверно. То есть напряжение на участке $CK$ меньше, чем $U_{\text{д}}$ (в этом можно убедиться, проведя расчеты по имеющимся формулам), что недостаточно для «открытия» диода. Таким образом, можно сделать вывод, что ток через оставшийся резистор $R_3$ не пойдет и, соответственно, напряжение на нем будет равно нулю.

Ответ: токи и напряжения на обоих резисторах $R_3$ равны нулю.

Примечания:

Задачу можно было решить и альтернативным способом, с самого начала предположив, что токи через оба диода не пойдут. Тогда, проведя необходимые вычисления данной электрической цепи, необходимо было бы показать, что напряжение на участке $CK$ меньше, чем $U_{\text{д}}$.

Наконец имеется еще один, самый короткий, способ решения. Руководствуясь значениями ЭДС источника, его внутреннего сопротивления и сопротивлений $R_1$, можно рассчитать, что максимально возможная сила тока в цепи составляет0,080А. Тогда, согласно вольт-амперной характеристике нелинейного элемента, максимальное напряжение на нем — 0,55В. Отсюда следует, что напряжение на диодах не сможет превысить достаточного $U_{\text{д}}=0{,}70$В, чтобы ток через них проходил. Отсюда сразу следует ответ данной задачи.

После того, как участки цепи с диодами оказались выключенными, осталось рассчитать силу тока через резисторы $R_1$. Три резистора $R_2$ можно заменить на резистор с сопротивлением $\frac32R_2$. Тогда рассматриваемая схема приобретет вид, показанный на рис.4.

Для расчета этой цепи можно воспользоваться уже использованным графическим методом, основанном на уравнениях(2)–(3). Та как участок цепи с диодами отключен, то в уравнении(3) следует положить $R_3\to\infty$, в результате чего получим

Здесь обозначено $U=U_{BH}$ — напряжение на нелинейном элементе. Подставляя численные значения, получим $I_2=0{,}080-0{,}155U$.

Построив график этой прямой на графике ВАХ нелинейного элемента, по координатам точки пересечения найдем силу тока $I_2\approx7$мА и напряжение $U=U_{BH}\approx0{,}14$В. Это же напряжение приложено и к параллельно подключенному резистору, поэтому силу тока через него $I_3=3U/(2R_2)\approx10$мА.

Искомая сила тока через резисторы $R_2$ равна сумме $I_1=I_2+I_3\approx17$мА.