Съдържание

Условие 1. Введение.Часть 2. Описание эффекта (пробирка в пробирке).2.2 Часть 3. Подъемник.Решение

BelPhO 2015, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-1. 11 класс — 1. Гидроатмосферный подъемник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2015

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все14страниц условий и29страниц решений. Сохранены девять отдельных целых заданий: по три для9,10,11класса. Одинаковые названия «Вода из воздуха» относятся к разным опытам: сжатие в10классе и охлаждение в11классе. Основные52печатные группы запросов (51номерная и одно ненумерованное задание цепи) не подменены каталожным числом49. Сохранены обе связанные структуры резистора, все13запросов подъемника, в том числе повторные номера2.1.1–2.1.3 под заголовком2.2. Время, баллы и численные критерии оценивания не напечатаны.

Сохранены все исходные таблицы, пустая таблица колебаний, два полных метода их решения, расширенные расчеты и альтернативы цепи, подсказки, сноска и заряд/емкость резистора. ВАХ цепи присутствует настр.8 условий, хотя текст называет ее отдельным бланком. Отдельный график давления насыщенного пара от температуры, упомянутый в задаче11-3 и ключе10-1, в полученных двух оригиналах отсутствует; диаграммы p–V не заменяют его. Ключ цепи не дает явного ответа для напряжения наR1; текст конца ключа называетR2 при формулеI1. Непечатный официальный ответ не добавлен. Ключ лесосплава отдельно не отвечает на вариант тяги верхнего бруска.

Оставлены буквальные печатные несогласованности: непримированные x2n и одинаковые знаменатели(9) зеркал, повтор y1 для второго изображения; знаки/модули ускорений, повтор ymin для максимума, m2−m2 в энергии подъема, t0=4,0с, повтор Δt1 и формулы t3/t6 колебаний; M=1,8·10⁻² в условии10-1 против1,8·10⁻³ в подстановке ключа при9,03мг,211кДж, индексы pc/pD и меткаА3; противоположная ориентация x у резистора, отсутствиеS в(13), повторные номера и дополнение2.6; сопротивление3R2/2 в тексте цепи против2R2/3 на схеме, несогласованные прямая/график/численные ответы; пропускq в(3) подъемника,l вместоz в(17), ошибочная ссылка2.2, оценка площади0,25 против точного0,2, высота бутылкиl/2 против уровняводыl в ключе; |x|>0 в ключе зарядов, повторные номера и ссылка на ненапечатанную(8); M=1,8·10⁻³ в11-3 при37,3мг в ключе, фраза о пропорциональности объема и давления при изобарном охлаждении, множительAB в площади трапеции и меткаВ6. Эти исходные значения не исправлены.

Оригинальные утверждение и общие инструкции9класса

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. _________________Р.С.Сидоренко. «» марта2015г.

Республиканская физическая олимпиада2015год (Заключительный этап). Теоретический тур.9класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Условие

1. Введение.

При движении жидкости существенную роль играют силы вязкого трения — силы, возникающие между слоями жидкости, движущимися с разными скоростями, а также силы, действующие между движущейся жидкостью и стенками сосуда.

Пусть жидкость движется по горизонтальной трубе, внутри которой находится неподвижный цилиндрический цилиндр, коаксиальный с трубой (играющий роль препятствия). Радиус цилиндра равен $R$ , длина $l$ , толщина зазора между боковой поверхностью цилиндра и стенками трубы равна $h$ (она значительно меньше радиуса цилиндра $h\ll R$ ).

Если разность давлений жидкости на торцах цилиндра равна $\Delta P$ , то расход жидкости $q$ (объем, протекающий в единицу времени) протекающий через зазор определяется формулой:

q=\frac{\pi Rh^3}{6\eta l}\Delta P.\qquad (1)

где $\eta$ — характеристика протекающей жидкости, которая называется вязкостью (в данной задаче рассматривается вода, ее вязкость $\eta$ и плотность $\rho$ считайте известными).

Пусть расход воды в описанной трубе с цилиндром постоянен и равен $q$ .

Оригинальный научный рисунок: все оси, подписи, формулы, стрелки, размеры, кривые, сетки и границы.

1.1 Найдите суммарную силу вязкого трения, действующую на воду в зазоре между цилиндром и трубой $F_{\text{вязк}}$ .

1.2 Найдите силу вязкого трения, действующую на боковую поверхность цилиндра $F_{\text{бок}}$ .

1.3 Найдете отношение силы вязкого трения, действующей на боковую поверхность цилиндра, к разности сил давления $F_0$ , действующих на торцы цилиндра $F_{\text{бок}}/F_0$ .

Часть 2. Описание эффекта (пробирка в пробирке).

Принцип работы рассматриваемого гидроподъемника может быть изучен на простом устройстве, состоящем из двух длинных пробирок. Каждую из них можно считать цилиндрической трубкой, закрытой с одного конца. Диаметры пробирок различаются мало, поэтому меньшая из них входит в большую и может скользить в ней. Обозначим радиус меньшей пробирки $R$ , ее масса $m$ . Толщина зазора между стенками пробирок (когда меньшая находится в большей) мала по сравнению с радиусами пробирок и равна $h$ .

2.1 Большую пробирку располагают вертикально и полностью заполняют водой. После этого в нее аккуратно опускаю меньшую пробирку, и она медленно начинает опускаться.

2.1.1 Найдите, на какую максимальную глубину $z_{\max}$ опустится меньшая пробирка.

2.1.2 Постройте схематический график зависимости скорости пробирки $v(z)$ от глубины погружения $z$ .

2.1.3 Оцените время погружения пробирки от начального положения $z=0$ до глубины $0{,}5z_{\max}$ .

Математическая подсказка. При движении тела в вязкой среде, на него действуют силы вязкого трения, зависящие от скорости движения тела. Наличие этих сил приводит к тому, что скорость тела изменяется достаточно медленно, поэтому в уравнении второго закона Ньютона $ma=F(x,v)$ , можно пренебречь слагаемым $ma$ . Такое приближение называется квазистационарным. Кстати, оно же используется при описании электрического тока на основании закона Ома.

2.2

Если большую пробирку заполнить водой, погрузить в нее меньшую пробирку и резко перевернуть систему вверх дном, то при некоторой высоте подъема меньшая пробирка начнет медленно подниматься вверх.

2.1.1 Найдите, при какой минимальной высоте подъема $z_{\min}$ меньшая пробирка начнет подниматься вверх.

2.1.2 Постройте схематический график зависимости скорости пробирки от высоты ее подъема $v(z)$ .

2.1.3 Оцените время подъема пробирки от высоты $1{,}5z_{\min}$ до высоты $2z_{\min}$ .

Часть 3. Подъемник.

На основании рассмотренного устройства сконструирован гидроатмосферный подъемник, схема которого показана на рисунке. Пробирка1 с двумя упорами2 (точно на середине пробирки) и3 (в ее нижней части) вставлена вертикально в горлышко бутылки4 полностью заполненной водой, диаметр горлышка5 которой незначительно превышает внешний диаметр бутылки. Бутылка соединена трубкой с краном7 с большим открытым сосудом-накопителем6 также заполненным водой. Пробирка может двигаться вертикально внутри бутылки, при ее любом положении (в том числе и на упорах) вода может просачиваться в зазоре между горлышком бутылки и пробиркой. В качестве координаты, определяющей положение пробирки $z$ , используется расстояние от горлышка бутылки до середины пробирки (упора2).

Длина пробирки $l$ , площадь ее поперечного сечения — $S$ . Пробирка начинает подниматься внутри бутылки, если она погружена в нее на одну четверть своей длины. В бутылку4 воздух не попадает, высота бутылки больше, чем $l/2$ . Плотность воды $\rho$ , ускорение свободного падения — $g$ .

Принцип работы устройства следующий.

1 Пробирка находится в крайнем нижнем положении. Кран закрывают, пробирка начинает подниматься вверх. При этом она подключается к некоторому внешнему устройству, над которым совершается полезная работа.

2 Когда пробирка достигает крайнего верхнего положения, кран открывают, и вода из сосуда накопителя очень быстро поступает в бутылку. Внешнее устройство отключается, пробирка быстро опускается вниз.

3.1 Определите массу пробирки.

3.2 Нарисуйте график рассмотренного циклического процесса: зависимость силы действующей на пробирку со стороны внешнего устройства $F$ от координаты пробирки $z$ . Считайте все процессы квазистационарными (т.е. считайте, что в любом положении пробирка находится в состоянии равновесия).

3.3 Рассчитайте, какую максимальную полезную работу может совершить подъемник за один цикл.

3.4 Найдите КПД устройства (определение КПД в этом случае сформулируйте самостоятельно).

Решение

11класс. Задача11-1. Гидроатмосферный подъемник.

1. Введение.

1.1 Так расход жидкости постоянен, то любая порция жидкости движется без ускорения, следовательно, сумма сил действующих на любую выбранную часть жидкости, равна нулю. Применяя эти рассуждения к жидкости в зазоре, можем утверждать, что разность сил давления (действующих на торцы жидкости) уравновешивается силами вязкого трения, действующими со стороны стенок:

\Delta P\cdot2\pi Rh=F_{\text{вязк}}.\qquad (1)

Разность давлений следует выразить через расход с помощью формулы(1), приведенной в условии задачи:

q=\frac{\pi Rh^3}{6\eta l}\Delta P\Rightarrow\Delta P=\frac{6\eta l}{\pi Rh^3}q.\qquad (2)

Подставляя это выражение в формулу(1), получим формулу для суммарной силы вязкого трения, действующей на воду в зазоре:

F_{\text{вязк}}=\Delta P\cdot2\pi Rh=\frac{6\eta l}{\pi Rh^3}q\cdot2\pi Rh=\frac{12\eta l}{h^2}.\qquad (3)

1.2 По третьему закону Ньютона сила, действующая со стороны стенок на воду равна по модулю силе, действующей со стороны воды на стенку. Так как площади боковой поверхности цилиндра и стенок трубы в зазоре практически равны (т.к. $h\ll R$ ), а сила вязкого трения пропорциональна площади соприкосновения, то сила вязкого трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, в два раза меньше силы, действующей на воду, поэтому

F_{\text{бок}}=\tfrac12\Delta P\cdot2\pi Rh=\pi Rh\Delta P=\frac{6\eta l}{h^2}q.\qquad (4)

1.3 Понятно, что разность сил давлений, действующих на торцы цилиндра, равна $F_0=\pi R^2\Delta P$ (5). Следовательно, их отношение равно

\frac{F_{\text{бок}}}{F_0}=\frac{\pi Rh\Delta P}{\pi R^2\Delta P}=\frac hR\ll1.\qquad (6)

Таким образом, в рассматриваемой ситуации илами вязкого трения можно пренебречь, по сравнению с разностью сил давления. Правда, эта разность сил давления зависит от расхода жидкости.

Часть2. Описание эффекта (пробирка в пробирке).

2.1 При опускании пробирки на нее действую силы тяжести $m\vec g$ и сила давления жидкости на дно пробирки $F=\pi R^2\Delta P$ . Как было показано ранее, в подобной ситуации можно пренебречь силой вязкого трения. Здесь ради укорочения формулой мы обозначили $\Delta P$ — разность между давлением жидкости на глубине $z$ и атмосферным давлением. Поэтому уравнение движения пробирки в квазистационарном приближении имеет вид

mg=\pi R^2\Delta P.\qquad (7)

Отметим, что для величины $\Delta P$ нельзя использовать формулу для гидростатического давления, так жидкость в зазоре движется. Поэтому для нахождения этого давления запишем уравнение второго закона Ньютона для жидкости в зазоре (опять в квазистационарном приближении):

\Delta P\cdot2\pi Rh=\rho(2\pi Rhz)g+F_{\text{вязк}}.\qquad (8)

Смысл которого очевиден: разность сил давления уравновешивается силами тяжести и вязкого трения, действующими на воду в зазоре. Для силы вязкого трения справедлива полученная ранее формула(3). С ее учетом, получим

\Delta P\cdot2\pi Rh=\rho(2\pi Rhz)g+\frac{12\eta z}{h^2}q\Rightarrow\Delta P=\rho gz+\frac{6\eta}{\pi Rh^3}zq.\qquad (9)

Расход воды, протекающей через зазор можно выразить через скорость движения пробирки (вся жидкость, вытесненная пробиркой, должна протечь через зазор): $q=\pi R^2v$ . Подставляя эти выражения в уравнение(7) получим

mg=\pi R^2\left(\rho gz+\frac{6\eta z}{\pi Rh^3}\pi R^2v\right)=\pi R^2\rho gz+\frac{6\pi\eta R^3}{h^3}zv.\qquad (10)

Движение пробирки прекратиться, когда скорость станет равной нулю, соответствующая максимальная глубина погружения определяется формулой:

z_{\max}=\frac m{\pi R^2\rho}.\qquad (11)

Зависимость скорости от координаты $z$ можно выразить из уравнения(10)

v=\frac{mg-\pi R^2\rho gz}{\frac{6\pi\eta R^3}{h^3}z}=\frac{\rho gh^3}{6\eta R}\frac{z_{\max}-z}{z}.\qquad (12)

Обозначим коэффициент в этой формуле (он имеет размерность скорости) $\rho gh^3/(6\eta R)=v_0$ , тогда зависимость(12) приобретает вид

v=v_0\frac{z_{\max}-z}{z}.\qquad (13)

График этой функции показан на рисунке. Для оценки времени движения в указанном диапазоне можно построить график обратной зависимости $v^{-1}(z)$ (см.рис.), тогда площадь под этим графиком численно равна времени движения, т.к. $\Delta t=\Delta z/v$ . Для оценки площади плавную кривую можно заменить отрезком прямой. На построенном графике в относительных единицах эта площадь равна0,25. Переход к обычным единицам приводит к результату

\tau\approx0{,}25\frac{z_{\max}}{v_0}\approx0{,}25\frac{6\eta Rm}{\pi R^2\rho^2gh^3}.\qquad (14)

Замечания.

Формула(11) может быть получена непосредственно из условия равновесия в пробирки (когда справедливы законы статики) — сила тяжести проверки уравновешивается силой Архимеда.
Точное значение времени движения может быть вычислено путем строгого интегрирования. Рассчитанное значение площади под кривой равно0,2. Иными словами допущенная погрешность составляет величину порядка20%.
Формально в рассмотренном квазистационарном приближении пробирка стартует с бесконечно большой скоростью. Это связано с тем, что в начальном положении пробирки отсутствует сила вязкого трения. Однако на конечный результат, это обстоятельство не играет существенной роли.

2.2 Описание движения пробирки в перевернутом положении проводится аналогично проведенному в п.2.2.

Уравнение движения пробирки имеет вид

mg=\pi R^2\Delta P.\qquad (15)

здесь $\Delta P$ — разность между атмосферным давлением и давлением воды на высоте $z$ (которое меньше атмосферного). Закон движение воды в зазоре

\rho(2\pi Rhz)g-\Delta P\cdot2\pi Rh=F_{\text{вязк}}.\qquad (16)

Для силы вязкого трения, по-прежнему, справедлива формула(3), поэтому разность давлений в этом случае оказывается равным

\rho(2\pi Rhz)g-\Delta P\cdot2\pi Rh=\frac{12\eta l}{h^2}q\Rightarrow\Delta P=\rho gz-\frac{6\eta R}{h^3}zv.\qquad (17)

А уравнение движения пробирки

mg=\pi R^2\rho gz-\frac{6\pi\eta R^3}{h^3}zv.\qquad (18)

Из этого уравнения следует, что минимальная высота подъема пробирки, при которой начнется ее движение вверх, равна

z_{\min}=\frac m{\pi R^2\rho},\qquad (19)

что совпадает с максимальной глубиной погружения, полученной ранее. Зависимость скорости подъема имеет вид

v=\frac{\rho gh^3}{6\eta R}\frac{z-z_{\min}}{z}.\qquad (20)

Отметим, что в данном случае формула имеет смысл при $z>z_{\min}$ .

Графики этой зависимости и обратной ей $v^{-1}(z)$ показаны на рисунках. Оценка времени движения в указанном диапазоне (проведенная по линейной аппроксимации зависимости $v^{-1}(z)$ ) равна

\tau\approx0{,}75\frac{z_{\max}}{v_0}\approx0{,}75\frac{6\eta Rm}{\pi R^2\rho^2gh^3}.\qquad (21)

3.1 Так как пробирка начинает подниматься при высоте ее погружения равной $l/4$ , то при этом положении сила Архимеда равна силе тяжести:

\rho gS\frac l4=mg\Rightarrow m=\tfrac14\rho Sl.\qquad (22)

3.2 Так как процесс подъема можно считать квазистационарным, то при любом положении пробирки она находится в равновесии, условие которого имеет вид (с учетом формулы(22)):

\rho gS\left(\frac l2+z\right)=mg+F\Rightarrow F=\rho gSl\left(\frac zl+\frac14\right).\qquad (23)

После того, как пробирка поднялась до максимальной высоты, внешнее устройство отключается, поэтому внешняя сила падает до $F=0$ . Так как вода наливается из резервуара быстро, то можно пренебречь просачиванием воды из бутылки за время ее опускания. Эти рассуждения позволяют построить график рассматриваемого циклического процесса:

$1\to2$ : подъем пробирки, описываемый уравнением(23);

$2\to3$ : отключение внешнего устройства;

$3\to4$ : опускание пробирки;

$4\to1$ : подключение внешнего устройства.

3.3 Из построенного графика следует, что работа совершенная подъемником равна $A=\frac14\rho gSl^2$ (24).

3.4 Подъемник совершает полезную работу за счет того, что вода выливается через зазор между пробиркой и горлышком бутылки. Объем вытекшей за цикл воды равен половине объема пробирки, т.е. $\frac12Sl$ . Чтобы подъемник работал необходимо, чтобы уровень воды в бутылке превышал длину пробирки $l$ . Поэтому минимальная высота, с которой должна выливаться вода также равна $l$ . Следовательно, изменение ее потенциальной энергии равно $\Delta U=\frac12\rho gSl^2$ . Разумно определить КПД как отношение полезной работы к затраченной энергии. В этом случае КПД оказывается равным $\eta=A/\Delta U=50\%$ .

Оригинал в Архива: 2015_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2015_theoretical_solutions.pdf