Съдържание

BelPhO 2015, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-2. 11 класс — 2. Перераспределение зарядов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2015

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все14страниц условий и29страниц решений. Сохранены девять отдельных целых заданий: по три для9,10,11класса. Одинаковые названия «Вода из воздуха» относятся к разным опытам: сжатие в10классе и охлаждение в11классе. Основные52печатные группы запросов (51номерная и одно ненумерованное задание цепи) не подменены каталожным числом49. Сохранены обе связанные структуры резистора, все13запросов подъемника, в том числе повторные номера2.1.1–2.1.3 под заголовком2.2. Время, баллы и численные критерии оценивания не напечатаны.

Сохранены все исходные таблицы, пустая таблица колебаний, два полных метода их решения, расширенные расчеты и альтернативы цепи, подсказки, сноска и заряд/емкость резистора. ВАХ цепи присутствует настр.8 условий, хотя текст называет ее отдельным бланком. Отдельный график давления насыщенного пара от температуры, упомянутый в задаче11-3 и ключе10-1, в полученных двух оригиналах отсутствует; диаграммы p–V не заменяют его. Ключ цепи не дает явного ответа для напряжения наR1; текст конца ключа называетR2 при формулеI1. Непечатный официальный ответ не добавлен. Ключ лесосплава отдельно не отвечает на вариант тяги верхнего бруска.

Оставлены буквальные печатные несогласованности: непримированные x2n и одинаковые знаменатели(9) зеркал, повтор y1 для второго изображения; знаки/модули ускорений, повтор ymin для максимума, m2−m2 в энергии подъема, t0=4,0с, повтор Δt1 и формулы t3/t6 колебаний; M=1,8·10⁻² в условии10-1 против1,8·10⁻³ в подстановке ключа при9,03мг,211кДж, индексы pc/pD и меткаА3; противоположная ориентация x у резистора, отсутствиеS в(13), повторные номера и дополнение2.6; сопротивление3R2/2 в тексте цепи против2R2/3 на схеме, несогласованные прямая/график/численные ответы; пропускq в(3) подъемника,l вместоz в(17), ошибочная ссылка2.2, оценка площади0,25 против точного0,2, высота бутылкиl/2 против уровняводыl в ключе; |x|>0 в ключе зарядов, повторные номера и ссылка на ненапечатанную(8); M=1,8·10⁻³ в11-3 при37,3мг в ключе, фраза о пропорциональности объема и давления при изобарном охлаждении, множительAB в площади трапеции и меткаВ6. Эти исходные значения не исправлены.

Оригинальные утверждение и общие инструкции9класса

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. _________________Р.С.Сидоренко. «» марта2015г.

Республиканская физическая олимпиада2015год (Заключительный этап). Теоретический тур.9класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Условие

К сожалению, задачи с равномерно распределенными по объему электрическими зарядами являются искусственными, потому, что не известно, как реально создать такие системы. Поэтому рассмотрим более реальную систему и проанализируем динамику изменения распределения зарядов.

Зададим характеристики рассматриваемой пластины: пластина является слабо проводящей с удельным электрическим сопротивлением $\rho$ (не путайте с объемной плотностью зарядов!), концентрация свободных электронов (заряд электрона $e$ ) внутри этой пластины равна $\bar n$ .

1 Под действием электрического поля напряженности $E$ электроны внутри проводника движутся со средними скоростями $v=\beta E$ (1), где величина $\beta$ называется подвижностью электронов. Выразите подвижность электронов внутри данной пластины, через ее характеристики $\rho,\bar n$ .

Пусть внутри рассмотренной пластины возник тонкий слой толщиной $2z_0$ , в котором создана избыточная концентрация электронов $n_0$ (например, с помощью электронной пушки¹). С течением времени эта область избыточного заряда будет расплываться.

Оригинальный научный рисунок: все оси, подписи, формулы, стрелки, размеры, кривые, сетки и границы.

2 С какой скоростью будет двигаться граница области $z$ с избыточной концентрацией электронов?

3 Найдите зависимость избыточной концентрации электронов $n(x)$ от координаты $x$ в разные моменты времени. Постройте схематические графики этой зависимости для нескольких (наиболее характерных времен), укажите параметры этих зависимостей.

4 Нарисуйте схематический графики зависимости потенциала $\varphi(x)$ для тех же моментов времени, какие вы рассмотрели в п.3.

5 Оцените время, за которое все избыточные электроны окажутся на поверхности пластины.

¹ Конечно, проще «нанести» электроны на поверхность пластины, но (1) симметричные задачи проще решаются, суть рассматриваемых процессов при этом не изменяется!

Решение

Задача11-2. Перераспределение зарядов.

1 Рассмотрим величину плотности тока внутри пластины. С одной стороны она определяется законом Ома (в дифференциальной форме):

\vec j=\frac1\rho\vec E.\qquad (1)

С другой стороны плотность тока можно выразить через концентрацию свободных электронов и их среднюю скорость

\vec j=e\bar n\vec v.\qquad (2)

Сравнивая эти выражения, получим

\vec v=\frac1{e\bar n\rho}\vec E.\qquad (3)

Таким образом, подвижность электронов равна $\beta=1/(e\bar n\rho)$ (4).

Для дальнейшего решения задачи необходимо рассмотреть две стадии процесса: первая — область избыточной концентрации не достигла поверхности пластины; вторая — после того, как первые электроны достигли поверхности пластины.

2 Итак, пусть область избыточной концентрации распространилась на расстояние $z<h$ (рис.). Вне этой области $|x|>z$ напряженность поля остается неизменной и равной

E_0=\frac{n_0ez_0}{\varepsilon_0}.\qquad (5)

Действительно, она определяется зарядом, который находится на расстоянии от центра меньшим чем $x$ , то есть всеми избыточными электронами. Поэтому в этой области скорости всех свободных (собственных) электронов, следовательно, плотность тока будут одинаковыми во всех точках. Поэтому в этой области избыточных зарядов возникать не будет. Кроме того, заряды, накапливающиеся на сторонах пластины, не влияют на поле внутри нее, поэтому при описании движения избыточных электронов свободные электроны можно не принимать во внимание.

Предположим (и это является основой дальнейшего описания!), что в процессе перераспределения на избыточных электронов их концентрация $n$ одинакова во всех точках области $|x|<z$ (но изменяется с течением времени). Тогда, как было показано ранее, напряженность электрического поля будет зависеть от координаты по закону

E(x)=\frac{nex}{\varepsilon_0}.\qquad (5)

Аналогично будет изменяться и скорость электронов

v(x)=\beta E(x)=\frac1{e\bar n\rho}\frac{nex}{\varepsilon_0}=\frac n{\bar n}\frac1{\rho\varepsilon_0}x.\qquad (6)

Рассмотрим теперь тонкий слой толщиной $\Delta x$ , находящийся внутри рассматриваемой области. Изменение концентрации в этом слое описывается уравнением (смысл которого — разность между пришедшими и ушедшими электронами)

\Delta n=\frac{nv(x)-nv(x+\Delta x)}{\Delta x}\Delta t=-\frac{n^2}{\bar n}\frac1{\rho\varepsilon_0}\Delta t.\qquad (7)

Важно отметить, что во всех точках концентрация изменяется одинаково, поэтому если в начальный момент времени распределение избыточных электронов было однородным, то оно и будет оставаться однородным и далее! Что доказывает сделанное предположение!

Понятно, что скорость движения границы определяется скоростью электронов, которые расположены на этой границе, поэтому

v_Z=v(z)=\beta E(x)=\frac n{\bar n}\frac1{\rho\varepsilon_0}z=\frac{n_0z_0}{\bar n\rho\varepsilon_0}.\qquad (7)

Как следует из этого выражения, скорость движения границы не зависит от времени.

3 Таким образом, мы показали, что распределение избыточных электронов внутри области $|x|<z$ является однородным. Так как общее число избыточных электронов остается постоянным, то эта концентрация определяется очевидной формулой

n(t)=\frac{n_0z_0}{z(t)}=\frac{n_0z_0}{z_0+\frac{n_0z_0}{\bar n\rho\varepsilon_0}t}=\frac{n_0}{1+\frac{n_0}{\bar n\rho\varepsilon_0}t}.\qquad (9)

В области $|x|>0$ концентрация избыточных электронов равна нулю. Отметим, что функция(9) также является решением дифференциального уравнения(7).

Теперь обсудим поведение избыточных электронов после того, как граница области их расположения достигла краев пластины. Как уже было отмечено, заряды на сторонах пластины не влияют на поле внутри, поэтому изменение концентрации электронов будет определяться, по-прежнему, формулой(8). Однако, на этом этапе часть электронов окажется на сторонах пластины, так, что суммарное число избыточных электронов внутри пластины будет уменьшаться.

Графики зависимости распределения $n(x)$ представляют собой прямоугольники:1 — граница области избыточных электронов не достигла сторон пластины;2 — после того, часть избыточных электронов оказалась на границе.

4 Прежде всего, рассмотрим распределение модуля напряженности электрического поля. Вне области расположения избыточных зарядов напряженность поля постоянна и равна $E_0=n_0ez_0/\varepsilon_0$ . В области с равномерно распределенным зарядом напряженность поля линейно возрастает от нуля до $E_0$ . Следовательно, зависимость напряженности поля от координаты $x$ имеет вид

E=E_0\frac xz.\qquad (10)

График этой зависимости имеют вид показанный на рисунке (так как распределение зарядов симметрично относительно начала координат, то достаточно рассмотреть область $x>0$ ). Примем потенциал в центре пластины равным нулю. Учитывая связь между разностью потенциалов м напряженностью $\Delta\varphi=-E\Delta x$ , можем определить потенциал в произвольной точке, как площадь под графиком зависимости $|E(x)|$ — не забывайте, что электроны имеют отрицательный заряд. Следовательно, в области избыточных электронов $x<z$ потенциал возрастает квадратично

\varphi(x)=E_0\frac{x^2}{2z}.\qquad (11)

А вне этой области возрастает по линейному закону

\varphi(x)=E_0\frac z2+E_0(x-z)=E_0\left(x-\frac z2\right).\qquad (12)

«разбегания зарядов». Несколько иная картина будет в том случае, когда избыточные заряды начнут накапливаться на сторонах пластины. Напряженность поля внутри пластины будет нарастать медленнее, поэтому непосредственно у края напряженность будет меньше, чем $E_0$ . Затем благодаря накопившимся поверхностным зарядам, при переходе через край пластины испытывать скачок до значения $E_0$ . Зависимость потенциала от координаты в этой точке будет иметь излом.

5 Зависимость концентрации от времени определяется функцией(9), поэтому, строго говоря, время «разбегания» зарядов равно бесконечности. Однако, всегда можно ввести некое характерное время. Например. можно найти время в течение которого, концентрация убывает в2раза (своеобразный «период полураспада»). Полагая в формуле(9) $n=n_0/2$ , находим

T_{1/2}=\frac{\bar n\rho\varepsilon_0}{n_0}.\qquad (13)

Интересно отметить, что найденное время зависит от начальной концентрации избыточных электронов. Такой результат типичен, если распад не является линейным.

Оригинал в Архива: 2015_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2015_theoretical_solutions.pdf