Съдържание

Условие Часть 1. Чему равен нуль?Часть 2. Чему равна бесконечность?Часть 3. Что Вы поняли?Решение

BelPhO 2016, Областен етап, 9–11 клас — Задача 9-2. · Правду ли нам говорят?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Республиканская физическая олимпиада 2016 год (III этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитаны все 11 страниц условий и 23 страницы архивного ключа: шесть целых задач, по две для 9, 10 и 11 классов, 52 исходных номерованных запроса, все методы, таблицы данных и графики. Баллы, время и критерии оценивания в этом комплекте не напечатаны. Исходные несогласованности и опечатки сохранены с отдельными примечаниями читателя. Авторство ключа организаторами по этим архивным PDF не установлено. Нижняя часть рисунка давления в ключе к первой задаче обрезана уже в родном PDF.

Титул исходного комплекта

Республиканская физическая олимпиада 2016 год. (III этап). Экспериментальный тур.

Примечание читателя к источнику: на декоративной обложке также напечатано «Top secret»; она полностью сохранена в родном PDF. В источнике нет времени, баллов, критериев или отдельного бланка ответа. Ключ представлен как архивный источник.

Условие

Приборы и материалы: источник питания 4,5 В, амперметр стрелочный 2А, вольтметр стрелочный 6В, пять последовательно соединенных проволочных резисторов с неизвестным сопротивлением $R_1$ , пять последовательно соединенных резисторов с известным сопротивлением (сопротивление каждого примерно $R_2\approx10\,\text{кОм}$ , точное значение укажут организаторы), ключ, соединительные провода.

Часть 1. Чему равен нуль?

У идеального амперметра собственное сопротивление равно нулю. А у реального?

Для измерения сопротивлений амперметра и проволочного резистора $R_1$ соберите цепь, показанную на рис. 1. В данной цепи напряжение на источнике не остается постоянным, поэтому его необходимо измерять. Амперметр последовательно подключайте к точкам 0, 1, 2, …5.

Ключ замыкайте только во время проведения измерений!

Рис.1: полный родной контур, амперметр, вольтметр, источник, ключ, пять резисторов и точки0–5.

1.1 Измерьте зависимости напряжения на вольтметре $U_n$ и силы тока через амперметр $I_n$ от номера точки подключения $n$ .

1.2 Получите теоретическую зависимость силы тока $I_n$ от напряжения $U_n$ и номера точки подключения $n$ .

1.3 Укажите такую функцию $Z_n(U_n,I_n)$ от величин $U_n$ и $I_n$ , чтобы ее зависимость от номера точки подключения $n$ была линейной. Постройте график зависимости $Z_n(n)$ .

1.4 Используя полученный график, найдите сопротивление амперметра $R_A$ и сопротивление проволочного резистора $R_1$ . Оцените погрешности найденных значений.

Часть 2. Чему равна бесконечность?

У идеального вольтметра собственное сопротивление равно бесконечности. А у реального?

Для измерения сопротивления вольтметра $R_V$ соберите цепь, показанную на рис. 2. В данной цепи напряжение на источнике остается практически постоянным, поэтому измерять его постоянно нет необходимости. Вольтметр последовательно подключайте к точкам 0, 1, 2, …5.

Рис.2: полный родной контур с вольтметром, источник, ключ, пять резисторов, все выводы0–5.

2.1 Измерьте зависимость напряжения на вольтметре $U_n$ от номера точки подключения $n$ .

2.2 Получите теоретическую зависимость напряжения $U_n$ и номера точки подключения $n$ .

2.3 Укажите такую функцию $Z_n(U_n)$ от величины $U_n$ , чтобы ее зависимость от номера точки подключения $n$ была линейной. Постройте график зависимости $Z_n(n)$ .

2.4 Используя полученный график, найдите сопротивление вольтметра $R_V$ , оцените погрешность полученного значения.

Часть 3. Что Вы поняли?

Родная измененная схема рис.3 с параллельной ветвью и всеми выводами0–5, вольтметром/ключом/источником.

3.1 Видоизмените цепь, превратив ее в цепь, показанную на рис.3. Измерьте зависимость напряжения на вольтметре $U_n$ от номера точки подключения $n$ .

3.2 Получите теоретическую зависимость напряжения $U_n$ и номера точки подключения $n$ .

3.3 Постройте зависимость функции $Z_n(U_n)$ , введенной в п. 2.3, от номера точки подключения $n$ для данной цепи. На этом же графике постройте аналогичную теоретическую зависимость. Сравните полученные графики.

Решение

Часть 1. Чему равен нуль?

1.1 Результаты измерений зависимостей напряжения на вольтметре $U_n$ и силы тока через амперметр $I_n$ от номера точки подключения $n$ приведены в Таблице 1. Также в ней приведены и результаты расчетов, которые требуются в последующих пунктах этой части задания.

Таблица 1.

$n$	$I_n$ , А	$U_n$ , В	$U_n/I_n$ , Ом
0	0,45	1,55	3,444
1	0,25	2,45	9,800
2	0,20	2,70	13,500
3	0,15	2,95	19,667
4	0,11	3,09	28,091
5	0,10	3,20	32,000

1.2 Из закона Ома следует, что сила тока в цепи равна

I_n=\frac{U_n}{nR_1+R_A}.\qquad (1)

1.3 Из этой формулы следует, что отношение $Z_n=U_n/I_n$ линейно зависит от номера точки подключения.

\frac{U_n}{I_n}=nR_1+R_A.\qquad (2)

График данной зависимости показан на рисунке.

Из вида функции (2) следует, что коэффициент наклона графика равен сопротивлению $R_1$ , а его сдвиг сопротивлению амперметра $R_A$ . Из данного графика находим

R_A=3{,}2\,\text{Ом},\qquad R_1=5{,}8\,\text{Ом}.

Погрешности данных значений также могут быть оценены графически (либо другим способом). В любом случае они оказывается не менее $\Delta R\approx1{,}5\,\text{Ом}$ .

Родная схема измерения сопротивления амперметра, полный контур и все имеющиеся точки/обозначения.

Полный родной график Zn=Un/In,Ом от n, измеренные точки, прямая, все осевые подписи.

Часть 2. Чему равна бесконечность?

2.1 Результаты измерений зависимости напряжения на вольтметре $U_n$ от номера точки подключения $n$ приведены в Таблице 2.

Таблица 2.

$n$	$U_n$ , В	$U_n/U_0$
0	4,50	1,00
1	1,60	2,81
2	0,95	4,74
3	0,70	6,43
4	0,55	8,18
5	0,45	10,00

2.2 Для получения теоретической зависимости напряжения $U_n$ и номера точки подключения $n$ запишем закон Ома для данной цепи

I_n=\frac{U_0}{nR_2+R_V}.\qquad (3)

Из этой формулы следует, что измеряемое напряжение на вольтметре определяется формулой

U_V=R_V\frac{U_0}{nR_2+R_V}=\frac{U_0}{n\frac{R_2}{R_V}+1}.\qquad (4)

2.3 Из полученного выражение следует, что величина $Z_n=U_n/U_V$ линейно зависит от номера точки подключения:

\frac{U_n}{U_V}=n\frac{R_2}{R_V}+1.\qquad (5)

График этой функции показан на рисунке. Сдвиг прямой с высокой точностью равен 1, что подтверждает применимость формулы (5), коэффициент наклона прямой примерно равен $k=\Delta Z/\Delta n\approx1{,}8$ . Из формулы (5) следует, что этот коэффициент равен отношению $R_2/R_V$ . Это позволяет найти значение сопротивления вольтметра (в наших измерениях использовались резисторы $R_2=11\,\text{кОм}$ ):

\frac{R_2}{R_V}=k\quad\Rightarrow\quad R_V=\frac{R_2}{k}=6{,}1\,\text{кОм}.\qquad (6)

Примечание читателя к источнику: таблица 2 подписана $U_n/U_0$ , но ее численные значения и подпись графика соответствуют $U_0/U_n$ . В тексте и формуле (5) напечатано $U_n/U_V$ . Исходные подписи, формулы и данные сохранены. Отдельного численного значения погрешности $R_V$ в данном ключе нет.

Полная родная последовательная схема с вольтметром и всеми выводами0–5.

Полный родной график Zn=U0/Un от n, точки/прямая/сетка/стрелки осей.

Часть 3. Что Вы поняли?

3.1 Экспериментальная зависимость напряжения на вольтметре $U_n$ от номера точки подключения $n$ приведена в Таблице 3.

Таблица 3.

$n$	$U_n$ , В	$U_n/U_0$	$(U_n/U_0)$ Теор.
0	4,45	1,01	1,00
1	1,45	3,10	3,08
2	0,85	5,29	5,33
3	0,55	8,18	7,99
4	0,35	12,86	12,32
5	0,00

3.2 Для расчета теоретической зависимости запишем соотношения для токов и напряжений:

U_0=InR_2+U_V.\qquad (7)

Здесь $I$ — сила тока через источник, которая равна сумме сил токов через вольтметр и параллельную ему цепь

I=\frac{U_V}{R_V}+\frac{U_V}{(5-n)R_2}.\qquad (8)

Из этих уравнений следует, что измеряемое напряжение равно

U_V=\frac{U_0}{\frac5{5-n}+n\frac{R_2}{R_V}}.\qquad (9)

3.3 В соответствии с полученной формулой величина $Z_n=U_n/U_V$ описывается формулой

\frac{U_0}{U_V}=\frac5{5-n}+n\frac{R_2}{R_V}.\qquad (10)

Результаты расчетов этой величины (экспериментальной и теоретической) приведены в таблице 3. Графики полученных зависимостей показаны на следующем рисунке (кружки — экспериментальные значения, сплошная линия теоретическая зависимость). Видно хорошее соответствие между полученными данными. Незначительные отличия объясняются неизбежными погрешностями измерений.

Примечание читателя к источнику: таблица 3 также имеет обратные подписи $U_n/U_0$ при числах для $U_0/U_n$ ; в пояснении к пункту 3.3 напечатано $U_n/U_V$ , а в формуле (10) — $U_0/U_V$ . Пустые две ячейки при $n=5$ сохранены; значения не придуманы.

Полная родная параллельная схема, точки0–5, вольтметр, источник и ключ.

Полный родной нелинейный график с экспериментальными кружками, теоретической кривой и всеми подписями осей.

Оригинал в Архива: 3_etap_2016_experimental_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2016_experimental_solutions.pdf