Съдържание

Условие Часть 1. Теоретическая Часть 2. Экспериментальная Решение

BelPhO 2016, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10-1. · Трение в неподвижном блоке

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Республиканская физическая олимпиада 2016 год (III этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитаны все 11 страниц условий и 23 страницы архивного ключа: шесть целых задач, по две для 9, 10 и 11 классов, 52 исходных номерованных запроса, все методы, таблицы данных и графики. Баллы, время и критерии оценивания в этом комплекте не напечатаны. Исходные несогласованности и опечатки сохранены с отдельными примечаниями читателя. Авторство ключа организаторами по этим архивным PDF не установлено. Нижняя часть рисунка давления в ключе к первой задаче обрезана уже в родном PDF.

Титул исходного комплекта

Республиканская физическая олимпиада 2016 год. (III этап). Экспериментальный тур.

Примечание читателя к источнику: на декоративной обложке также напечатано «Top secret»; она полностью сохранена в родном PDF. В источнике нет времени, баллов, критериев или отдельного бланка ответа. Ключ представлен как архивный источник.

Условие

Оборудование: штатив с лапкой (высота стержня штатива должна быть не менее 80 см), неподвижный блок, грузы по 100г — 6шт, груз 50г — 1шт (все грузы должны быть с крючками с двух сторон), штангенциркуль, линейка (20–30см), динамометр с пределом измерения 2,5Н, динамометр с пределом измерения 5,0 Н, динамометр с пределом измерения 10,0Н, нить х/б длиной 1,0–1,5 м.

В данной задаче Вам необходимо исследовать зависимость силы, прилагаемой к нити при равномерном поднятии или опускании груза с помощью неподвижного блока, от силы тяжести груза.

Часть 1. Теоретическая

Через неподвижный блок перекинута нить. К одному концу нити прикреплён груз, массой $m$ , к другому концу нити с помощью динамометра прикладывают силу $F$ . Радиус колеса блока — $R$ . Радиус оси блока — $r$ .

$R/r=\beta$ — линейный параметр. Коэффициент трения между колесом и осью блока — $\mu$ .

Нить считайте невесомой и нерастяжимой. Массой колеса блока пренебречь.

1.1 Получите зависимость силы, прикладываемой к динамометру, от силы тяжести груза при равномерном поднятии груза $F_1(mg)$ . Укажите вид данной зависимости.

1.2 Получите зависимость силы, прикладываемой к динамометру, от силы тяжести груза при равномерном опускании груза $F_2(mg)$ . Укажите вид данной зависимости.

Часть 2. Экспериментальная

2.1 Исследуйте экспериментально зависимость $F_1(mg)$ .

2.2 Исследуйте экспериментально зависимость $F_2(mg)$ .

2.3 По экспериментальным данным п.2.1 определите коэффициент трения $\mu_1$ .

2.4 По экспериментальным данным п.2.2 определите коэффициент трения $\mu_2$ .

2.5 Определите относительную и абсолютную погрешность коэффициента трения $\mu_1$ .

2.6 Определите относительную и абсолютную погрешность коэффициента трения $\mu_2$ .

2.7 Объясните полученные значения погрешностей.

Решение

Часть 1. Теоретическая

Для общности описания силы натяжения нити, переброшенной через блок, обозначим $F_1$ и $F_2$ . Причем сила $F_1$ направлена в сторону движения блока (см. рис.). На рисунке обозначена точка касания колеса блока с осью — точка $A$ . Именно к ней приложены сила нормальной реакции $\vec N$ и сила трения $\vec F_{\text{тр.}}$ . Будем считать, что сила трения связана с силой нормальной реакции уравнением (закон Кулона — Амонтона):

F_{\text{тр.}}=\mu N.\qquad (1)

Положение точки касания можно найти из условия равновесия вдоль горизонтальной оси:

N\sin\alpha=F_{\text{тр.}}\cos\alpha.\qquad (2)

С учетом закона (1), из уравнения (2) следует

\operatorname{tg}\alpha=\mu.\qquad (3)

Условие равновесия вдоль вертикальной оси имеет вид:

Условия равномерности движения имеют вид:

F_1+F_2=N\cos\alpha+F_{\text{тр.}}\sin\alpha.\qquad (4)

Подставляя выражения для силы трения (1) и коэффициента трения (3), получим

F_1+F_2=N(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)=N(\cos\alpha+\operatorname{tg}\alpha\cdot\sin\alpha)=\frac N{\cos\alpha}.\qquad (5)

Наконец, запишем условия равновесия моментов сил, действующих на колесо блока

(F_1-F_2)R=F_{\text{тр.}}r.\qquad (6)

В это уравнение также следует подставить ранее найденные соотношения (сила реакции выражается из уравнения (5)), в результате получаем:

(F_1-F_2)R=F_{\text{тр.}}\cdot r=\mu N\cdot r=(F_1+F_2)\cos\alpha\cdot r\cdot\operatorname{tg}\alpha=(F_1+F_2)r\sin\alpha.\qquad (7)

Последнее соотношение запишем в виде

(F_1-F_2)=\gamma(F_1+F_2).\qquad (8)

Здесь обозначено $\gamma=\sin\alpha/\beta$ , $\beta=R/r$ .

Запишем также явное выражение для силы $F_1$ , следующее из формулы (8):

F_1=\frac{1+\gamma}{1-\gamma}F_2.\qquad (9)

Полный родной блок: N,Fтр,F1,F2,A,α,r,R, точка контакта, стрелка вращения.

Дополнение.

Приведем также очень краткое, но нетрадиционное теоретическое решение этой задачи. В его основе лежит понимание смысла закона для силы трения и коэффициента трения. Сила взаимодействия движущегося тела с поверхностью, по которой происходит движение, $\vec F$ разлагается на две составляющих: нормальную $\vec N$ (сила нормальной реакции) и касательную $\vec F_{\text{тр.}}$ , которая является силой трения. Тангенс угла $\alpha$ , под которым направлена суммарная сила $\vec F$ к нормали, является коэффициентом трения $\operatorname{tg}\alpha=\mu$ .

Обратимся к рис. 1. Суммарная сила взаимодействия колеса блока с осью должна быть направлена вертикально, поэтому точка касания $A$ лежит на прямой отклоненной от вертикали на угол $\alpha$ , тангенс которого равен коэффициенту трения. При равномерном движении сумма моментов сил, действующих на колесо блока равна нулю, относительно любой точки. Запишем это условие относительно точки касания $A$ :

F_1(R-r\sin\alpha)=F_2(R+r\sin\alpha).

Из этого уравнения сразу следует

F_1=F_2\frac{1+\frac rR\sin\alpha}{1+\frac rR\sin\alpha},

что эквивалентно уравнению (9).

Теперь можно записать соотношения, которые подлежат экспериментальной проверке.

1. Подъем груза.

В этом случае силой $F_1$ является измеряемая динамометром сила $F$ , а силой $F_2$ — сила тяжести грузов $F_2=mg$ . Поэтому соотношение (9) имеет вид

F=\frac{1+\gamma}{1-\gamma}mg.\qquad (10)

2. Опускание груза.

В этом случае силы $F_1$ и $F_2$ меняются местами: $F_1=mg$ , $F_2=F$ . Следовательно, соотношение (9) принимает вид

mg=\frac{1+\gamma}{1-\gamma}F,

Из которого следует:

F=\frac{1-\gamma}{1+\gamma}mg.\qquad (11)

Кроме того, отметим, что параметр $\gamma=\sin\alpha/\beta$ может быть определен с помощью выражения (8). Для этого следует построить и проанализировать зависимость разности сил от их суммы. В этой зависимости коэффициент наклона равен искомому параметру.

Примечание читателя к источнику: в ненумерованной дроби дополнения действительно напечатан знак «+» и в числителе, и в знаменателе, несмотря на предыдущее уравнение моментов и заявление об эквивалентности (9). Исходная дробь сохранена; в формуле (9) напечатаны $1+\gamma$ и $1-\gamma$ .

Полный родной рисунок разложения силы F на N,Fтр с α,V и всеми стрелками.

Полный родной рисунок подъема, вращение, F1=F и F2=mg, блок и груз.

Полный родной рисунок опускания, вращение, F2=F и F1=mg, блок и груз.

Часть 2. Экспериментальная

В таблице 1 приведены результаты измерений и необходимых расчетов.

Таблица 1.

$mg$ , Н	подъем $F_1$ , Н	опускание $F_2$ , Н	подъем $(F_1+mg)$ , Н	подъем $(F_2-mg)$ , Н	опускание $(F_2+mg)$ , Н	опускание $(mg-F_2)$ , Н
0,95	1,00	0,80	1,95	0,05	1,75	0,15
1,95	2,05	1,70	4,00	0,10	3,65	0,25
2,45	2,55	2,20	5,00	0,10	4,65	0,25
3,00	3,15	2,60	6,15	0,15	5,60	0,40
3,50	3,70	3,20	7,20	0,20	6,70	0,30
4,00	4,20	3,40	8,20	0,20	7,40	0,60
4,50	4,80	3,90	9,30	0,30	8,40	0,60
4,90	5,20	4,20	10,10	0,30	9,10	0,70
5,40	5,70	4,60	11,10	0,30	10,00	0,80
5,90	6,40	5,00	12,30	0,50	10,90	0,90
6,40	6,90	5,60	13,30	0,50	12,00	0,80

Ниже приведены графики, иллюстрирующие полученные экспериментальные данные.

На графике 1 приведены зависимости силы, прикладываемой к нити, от массы подвешенного груза: 1 — при подъеме груза, 2 — при его опускании. По коэффициентам наклона этих графиков можно рассчитать значение параметра $\gamma$ , а затем на основании его определения $\gamma=\sin\alpha/\beta$ , $\beta=R/r$ , найти коэффициент трения $\mu=\operatorname{tg}\alpha$ . Для этого следует воспользоваться формулой

\mu=\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\beta\gamma}{\sqrt{1-(\beta\gamma)^2}}.\qquad (12)

Очевидно, что основная погрешность расчета коэффициента трения определяется погрешностью параметра $\gamma$ , поэтому может быть рассчитана по формуле

\Delta\mu=\left|\frac{d\mu}{d\gamma}\right|\Delta\gamma=\frac\beta{\left(1-(\beta\gamma)^2\right)^{3/2}}\Delta\gamma.\qquad (13)

Замечание. Все погрешности косвенных измерений также могут быть рассчитаны методом границ!

Прямые измерения диаметров колеса блока и его оси приводят к значениям $D=41{,}7\,\text{мм}$ и $d=5{,}0\,\text{мм}$ , следовательно, их отношение равно

\beta=\frac Dd=8{,}34.\qquad (14)

Дальнейшие расчеты для обеих зависимостей аналогичны, поэтому проведем из параллельно в Таблице 2.

Таблица 2. Расчет коэффициента трения

Номер шага	Действие	Подъем	Опускание
1	Формула для коэффициента наклона	$k_1=(1+\gamma)/(1-\gamma)$	$k_2=(1-\gamma)/(1+\gamma)$
2	Формулы для расчета параметра γ	$\gamma=(k_1-1)/(k_1+1)$	$\gamma=(1-k_2)/(k_2+1)$
3	Формула для расчета погрешности параметра γ	$\Delta\gamma=\lvert d\gamma/dk_1\rvert\Delta k_1=((k_1+1)-(k_1-1))\Delta k_1/(k_1+1)^2=2\Delta k_1/(k_1+1)^2$	$\Delta\gamma=\lvert d\gamma/dk_2\rvert\Delta k_2=2\Delta k_2/(k_2+1)^2$
4	Значение коэффициента наклона, рассчитанное по МНК	$k_1=1{,}084\pm0{,}018$	$k_1=0{,}85\pm0{,}03$
5	Относительная погрешность коэффициента наклона	$\varepsilon_{k1}\approx1{,}7\%$	$\varepsilon_{k2}\approx3{,}5\%$
6	Значение параметра γ	$\gamma=0{,}040\pm0{,}008$	$\gamma=0{,}079\pm0{,}017$
7	Относительная погрешность параметра γ	$\varepsilon_{\gamma1}\approx20\%$	$\varepsilon_{\gamma2}\approx22\%$
8	Значение коэффициента трения μ	$\mu_1=0{,}36\pm0{,}08$	$\mu_2=0{,}88\pm0{,}34$
9	Относительная μ	$\varepsilon_{\mu1}\approx22\%$	$\varepsilon_{\mu2}\approx39\%$

Первое, что следует отметить — существенное значимое различие в рассчитанных значениях коэффициентов трения, которое не может быть объяснено погрешностями измерений! Выяснение причин этого парадоксального вывода является серьезным поводом для дальнейших исследований (возможно, на одной из последующих олимпиад!).

Второе — неожиданное, на первый взгляд, возрастание относительной погрешности в цепочке расчетов $k\to\gamma\to\mu$ . Этот результат имеет разумное объяснение. Фактически в основе расчета лежит отклонение коэффициента наклона от единицы $|k-1|$ , а эта величина сравнима с погрешностью измерения коэффициента наклона $k$ , поэтому относительная погрешность величины $|k-1|$ значительно больше чем относительная погрешность самого коэффициента наклона.

Альтернативным способом обработки результатов измерения является использование формулы (8). Эти зависимости показаны на графике 2. Как видно, разброс экспериментальных точек здесь намного значительнее, поэтому и погрешности расчетов коэффициентов наклона должны быть больше. Правда, в этом методе коэффициенты наклона непосредственно равны параметру $\gamma$ и последующий пересчет не требуется. Действительно, расчеты по МНК дают следующие результаты:

При подъеме грузов: $\gamma_1=0{,}041\pm0{,}008$ ;
При опускании: $\gamma_2=0{,}079\pm0{,}017$ .

Как и следовало ожидать, полученные значения (и их погрешности) совпадают с результатами предыдущих длительных расчетов (см. строку 6 в таблице 2). Таким образом, для уменьшения погрешности следует точнее измерять, а не искать иные методы расчета, хотя следует отметить, что второй способ гораздо короче!

Примечание читателя к источнику: в таблице 1 заголовок разности для подъема напечатан $(F_2-mg)$ , хотя соседний столбец использует $F_1$ ; в строке 4 таблицы 2 для опускания напечатано $k_1$ . Эти обозначения и все численные результаты оставлены как в оригинале.

Полный родной график1 силы F против mg, обе линии/серии1,2 и все осевые стрелки.

Полный родной график2 разности/суммы сил с двумя сериями, подписью F−mg и всеми точками/стрелками.

Оригинал в Архива: 3_etap_2016_experimental_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2016_experimental_solutions.pdf