Съдържание

Условие Часть 1. Экспериментальная.1.2 Первая схема — подготовительная.1.3 Основная схема.Часть 2. Теоретическая.Решение

BelPhO 2016, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10-2. · Мостовая схема

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Республиканская физическая олимпиада 2016 год (III этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитаны все 11 страниц условий и 23 страницы архивного ключа: шесть целых задач, по две для 9, 10 и 11 классов, 52 исходных номерованных запроса, все методы, таблицы данных и графики. Баллы, время и критерии оценивания в этом комплекте не напечатаны. Исходные несогласованности и опечатки сохранены с отдельными примечаниями читателя. Авторство ключа организаторами по этим архивным PDF не установлено. Нижняя часть рисунка давления в ключе к первой задаче обрезана уже в родном PDF.

Титул исходного комплекта

Республиканская физическая олимпиада 2016 год. (III этап). Экспериментальный тур.

Примечание читателя к источнику: на декоративной обложке также напечатано «Top secret»; она полностью сохранена в родном PDF. В источнике нет времени, баллов, критериев или отдельного бланка ответа. Ключ представлен как архивный источник.

Условие

Расчет погрешностей в данной работе не требуется!

Приборы и оборудование: Источник питания 4,5 В, мультиметр, два одинаковых реостата с сопротивлениями $R=15\,\text{Ом}$ , постоянный резистор с сопротивлением $R_0\approx100\,\text{Ом}$ , соединительные провода.

Мостовые схемы часто используются при проведении прецизионных (очень точных) измерениях. В данном задании Вам предстоит исследовать работу таких схем. Отметим, что в общем случае расчет таких схем представляет собой достаточно сложную задачу, так как эти схемы не сводятся к комбинациям последовательных и параллельных соединений. Однако, в некоторых случаях разумные приближения позволяют находить распределение токов и напряжений на элементах такой цепи.

Реостат — переменный резистор с тремя выводами: сопротивление между крайними выводами 1-2 постоянно и равно сопротивлению реостата; средний вывод 3 (движка) является скользящим, его смещение позволяет изменять сопротивления между выводами 1-3 и 2-3 (см. рис. 1)

Полная родная схема реостата с выводами1,2,3 и стрелкой движка, Рис.1.

Часть 1. Экспериментальная.

1.1 Реостат.

1.1.1 Определите, какие клеммы выданных вам реостатов соответствуют выводам на схеме 1. Зарисуйте расположения клемм и подпишите соответствующие им выводы.

1.1.2 Измерьте сопротивление каждого реостата $R$ .

1.1.3 Установите движок одного из реостатов так, чтобы сопротивления между выводами 1-3 и 2-3 были равны $R_{12}=R_{23}=\frac12R$ . Опишите, как Вам это удалось сделать. В дальнейшем положение средней точки этого реостата не изменяйте.

1.2 Первая схема — подготовительная.

Соберите схему, показанную на рис. 2.

Рис.2: полный родной подготовительный контур, два R, R0, амперметр, источник, ключ и движки1,2.

1.2.1 Изменяя положение среднего вывода второго реостата измерьте в каких пределах изменяется сила тока в цепи. Запишите минимальное и максимальное значение измеренных сил токов, укажите, при каких положениях достигаются эти экстремальные значения сил токов.

1.3 Основная схема.

Соберите схему, показанную на рис. 3

На схеме буквой М обозначен мультиметр, который в данном случае используется в режиме измерения сопротивления, силы тока и напряжения.

Рис.3: полный родной мост с M,R0,R/2,Rx,R−Rx, движками1,2 и всеми соединениями.

1.3.1 Измерьте зависимости напряжения $U_V$ (когда мультиметр работает в режиме вольтметра), силы тока $I_A$ (когда вольтметр работает в режиме амперметра) от сопротивления $R_x$ .

Рекомендуем установить и измерить сопротивление $R_x$ (укажите, как Вы его измеряли), а затем провести измерения напряжения и силы тока, переключая режимы работы мультиметра.

1.3.2 Постройте график зависимостей силы тока $I_A$ и напряжения $U_V$ от сопротивления $R_x$ .

1.3.3 Постройте график зависимости силы тока $I_A$ от напряжения $U_V$ . Определите, выполняется ли для данной зависимости прямо пропорциональная зависимость. Качественно объясните полученный результат.

Часть 2. Теоретическая.

2.1 Рассчитайте теоретическую зависимость силы тока $I_A$ от сопротивления $R_x$ , постройте график этой зависимости на том же листе, что и экспериментальный график, построенный в п. 1.3.2 Качественно объясните возможные расхождения.

2.2 Рассчитайте теоретическую зависимость напряжения $U_V$ от сопротивления $R_x$ , постройте график этой зависимости на том же листе, что и экспериментальный график, построенный в п. 1.3.2 Качественно объясните возможные расхождения.

При расчетах используйте разумные приближения и результаты измерений полученных при измерениях в частях 1.1 и 1.2.

Примечание читателя к источнику: индексы $R_{12}=R_{23}$ после слов «выводами 1-3 и 2-3» и выражение «когда вольтметр работает в режиме амперметра» напечатаны именно так. Они сохранены.

Решение

Задача 10-1 «Мостовая схема»

1.1 Методика выполнения первой части этой задачи очевидна и не требует пояснений. Результаты измерений, естественно, зависят от выданного оборудования.

1.2 Отметим, что в этой части задачи сила тока изменяется в достаточно узком диапазоне, минимальное значение силы тока достигается при среднем положении вывода второго реостата, максимальной в крайних положениях.

Примечание читателя к источнику: ключ озаглавлен «10-1», а условие этой же мостовой задачи — «10-2». Сохранен именно соответствующий исходный блок ключа.

1.3 Основная схема.

Результаты требуемых измерений, а также результаты теоретических расчетов приведены в таблице. 1.

Таблица 1. Измерения: $R_x$ , Ом; $U$ , мВ; $I$ , мА. Теоретические расчеты: схема с вольтметром — $U_{\text{теор.}}$ ; схема с амперметром — $I_1$ , мА; $I_2$ , мА; $I_{\text{теор}}$ .

Примечание читателя к таблице: пустые промежуточные колонки исходной таблицы не содержат данных.

$R_x$ , Ом	$U$ , мВ	$I$ , мА	$U_{\text{теор.}}$	$I_1$ , мА	$I_2$ , мА	$I_{\text{теор}}$
0,1	-221,0	-28,5	-194,8	0,64	33,66	-33,02
0,6	-206,0	-27,6	-182,2	3,61	33,29	-29,68
1,3	-188,0	-24,3	-164,5	7,23	32,74	-25,51
2,0	-165,0	-18,7	-146,7	10,33	32,16	-21,83
2,6	-147,0	-16,6	-131,6	12,65	31,63	-18,98
3,3	-128,0	-15,4	-113,9	15,04	30,97	-15,92
4,0	-111,0	-12,8	-96,1	17,15	30,26	-13,10
4,7	-87,0	-9,5	-78,4	19,03	29,50	-10,47
5,0	-79,0	-8,0	-70,8	19,77	29,15	-9,38
5,8	-56,0	-5,4	-50,6	21,58	28,18	-6,60
6,5	-37,0	-3,5	-32,9	23,00	27,25	-4,25
7,4	-16,0	-1,7	-10,1	24,64	25,93	-1,30
7,8	0,0	0,0	0,0	25,30	25,30	0,00
8,4	14,0	1,5	15,2	26,24	24,29	1,95
8,7	25,0	2,6	22,8	26,68	23,75	2,93
9,5	47,0	4,0	43,0	27,79	22,21	5,58
9,9	59,0	5,2	53,1	28,30	21,37	6,94
10,8	84,0	9,1	75,9	29,38	19,28	10,10
11,3	94,0	10,4	88,6	29,94	17,98	11,95
12,0	116,0	13,4	106,3	30,67	15,98	14,69
12,7	136,0	16,1	124,0	31,35	13,71	17,63
13,5	157,0	17,5	144,2	32,07	10,73	21,34
14,0	173,0	20,1	156,9	32,50	8,61	23,88
14,8	200,0	25,1	177,1	33,14	4,71	28,43
15,4	215,0	28,1	192,3	33,59	1,27	32,32

Все измерения проведены при следующих значениях параметров электрической цепи:

Сопротивление первого («верхнего») резистора $R=16{,}1\,\text{Ом}$ ;

Сопротивление второго резистора $R=15{,}6\,\text{Ом}$ ;

Добавочное сопротивление $R_0=75\,\text{Ом}$ ;

Напряжение источника $U_0=4{,}2\,\text{В}$ .

Обсуждение результатов измерений и их теоретическое обоснование проведем параллельно.

Схема с вольтметром (измерение напряжения)

В этом случае можно пренебречь силой тока, протекающего через вольтметр, ввиду того, что его сопротивление (порядка 1 Мом) значительно больше сопротивлений остальных элементов цепи. В этом приближении теоретический расчет измеренного напряжения не представляет труда. Для упрощения расчетов пренебрежем незначительной разностью сопротивлений резисторов, также будем считать, что средняя точка «верхнего» резистора выставлена точно.

Полный исходный мост V с I0,I1,I2,IV≈0,R0,R/2,Rx,R−Rx и всеми ветвями/стрелками.

В рамках этих допущений сила тока в основной цепи описывается формулой

I_0=\frac{U_0}{R_0+\frac R2}.\qquad (1)

Этот ток делится на две равные части, проходящие по реостатам

I_1=I_2=\frac{I_0}2=\frac{U_0}{2R_0+R}.\qquad (2)

Тогда измеряемое напряжения может быть рассчитано по формуле

U_V=I_2R_x-I_1\frac R2=\frac{U_0}{2R_0+R}\left(R_x-\frac R2\right).\qquad (3)

На графике показаны результаты измерений и расчетов по формуле (3) данной зависимости.

Полный родной график напряжения от Rx, эксперимент/теория, отрицательные и положительные оси, сетка/точки/выноски.

Получено хорошее соответствие между результатами измерений и теоретической прямой. Незначительное расхождение может быть объяснено сделанными допущениями при выводе теоретической формулы.

Схема с амперметром (измерение силы тока)

В этой схеме следует пренебречь сопротивлением амперметра. Тогда мостовая часть схемы преобразуется в две пары параллельно соединенных резисторов.

Полный родной мост A с I0,I1,I2,IA,RA≈0,R/2,Rx,R−Rx и всеми стрелками.

При параллельном соединении силы токов разделяются обратно пропорционально сопротивлениям резисторов, поэтому силы токов через обе части «верхнего» резистора определяются по формулам (обратите внимание, здесь обозначения сил токов отличаются от предыдущей схемы):

I_1=I_0\frac{R_x}{\frac12R+R_x},\qquad I_2=I_0\frac{R-R_x}{\frac32R-R_x}.\qquad (4)

А сила тока через амперметр оказывается равной

I_A=I_1-I_2.\qquad (5)

В этих формулах $I_0$ — сила тока в основной цепи. При ее расчете можно принять во внимание, что сопротивление $R_0$ заметно больше сопротивления мостовой части, поэтому можно положить

I_0\approx\frac{U_0}{R_0}.\qquad (6)

Этот приближение также оправдано результатами измерений в п. 1.2. Формулы (4)-(6) позволяют провести расчет силы тока через амперметр.

Примечание. Не составляет особого труда привести и точное выражение для силы тока, однако, расчет по этой формуле только увеличивает время, не давая существенного выигрыша в точности.

I_0=\frac{U_0}{R_0+\frac{\frac R2R_x}{\frac R2+R_x}+\frac{\frac R2(R-R_x)}{\frac32R-R_x}}.

Полный родной график IA(Rx), эксперимент/теория, все точки/сетки/выноски/отрицательные оси.

На следующем рисунке приведены результаты измерений и расчета зависимости силы тока через амперметр от сопротивления $R_x$ . В этом случае также видно хорошее соответствие между результатами измерений и расчетов.

Отдельно выделим пункт 1.3.3. Не представляет труда построить требуемый график (оси подписаны и оцифрованы, нанесены все экспериментальные точки, проведена сглаживающая линия) зависимости силы тока $I_A$ от напряжения $U_V$ .

Полный родной график IA(U), все положительные/отрицательные оси, точки и сглаженная линия.

Можно даже сказать, что при небольших напряжения примерно выполняется прямо пропорциональная зависимость. Однако, делать какие-либо выводы на основании полученной зависимости не следует! Рассматриваются принципиально разные электрические цепи, с различными распределениями токов — искать связь между ними, приблизительно то же, что искать связь между напряжением в Москве и силой тока в Минске! Поэтому данный пункт следует рассматривать как шутку авторов данной задачи (может не слишком удачную).

Оригинал в Архива: 3_etap_2016_experimental_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2016_experimental_solutions.pdf