Съдържание

BelPhO 2016, Областен етап — Задача 9-1.2. 9 класс · Задание 1. Разминка · Задача 1.2 «Локатор»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Республиканская физическая олимпиада 2016 · III этап · Теоретический тур · 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал содержит девять заданий: по три для 9, 10 и 11 классов. Каждая разминка прямо объявляет три не связанные между собой задачи; эти девять самостоятельных задач и шесть остальных связанных заданий представлены пятнадцатью отдельными задачами. Общие указания к комплекту и общее примечание к разминке сохранены на первой задаче соответствующего класса и доступны по ссылкам. В тексте сохранены печатные обозначения, все вопросы, методы решений и четыре графических бланка. На обложке 11 класса указаны семь частей, связанных общей идеей; далее напечатаны три задания, а разминка прямо названа тремя несвязанными задачами. Название «Made in Chine», ошибочные ссылки и формулы официального ключа сохранены буквально. В частности, в ключе Ф-сопротивления напечатано I_AB I_AD; в ключе накачки используется V2; в ключе газировки V0=ν0RT; в ключе цикла индексы T3/P3; в ключе газа произведение (T̄/T0)(P/P0) и положительное расширение после теплового равновесия. Это текст исходного ключа. Имена авторов и балльная рубрика в данном оригинале не напечатаны.

Условие

Задание 1. Разминка.

Это задание состоит из 3 не связанных между собой задач.

Полный комплект.

Задача 1.2 «Локатор»

Милицейский автомобиль преследует нарушителя на длинной прямой дороге. Скорость милицейского автомобиля равна $v_0$ , скорость автомобиля нарушителя равна $V$ . Для измерения скорости автомобиля нарушителя на машине инспектора установлен локатор, который посылает короткие электромагнитные импульсы (сигналы) с фиксированным интервалом времени $\tau$ . Затем он регистрирует отраженные от машины нарушителя импульсы. Определите время $\tau'$ между приходами двух последовательных отраженных импульсов, регистрируемых локатором. Скорость распространения электромагнитных импульсов равна $c$ и значительно больше скоростей автомобилей. Найдите зависимость времени между регистрируемыми импульсами $\tau'$ от скоростей автомобилей. Получите точную формулу, а затем упростите ее, считая, что $c\gg V,v_0$ .

Complete original car/radar diagram with both velocities, distance l0 and road/direction arrows.

Решение

Решения задач.

9 класс

Задание 1. Разминка.

Задача 1.2. «Локатор»

Проще и нагляднее решить данную задачу, построив схематический график законов движения машин и сигналов. Эти законы движения имеют вид:

Entire original x(t) police/offender/signal chart, all tau/t1/t2/t3/x1 equations and dashed reflected paths.

машины инспектора (считаем, что первый сигнал послан в момент времени $t=0$ ):

x=v_0t;\qquad (1)

машины нарушителя (считаем, что начальное расстояние между машинами равно $l_0$ ):

x=l_0+Vt;\qquad (2)

первого сигнала

x=ct.\qquad (3)

Сигнал догонит машину нарушителя в момент времени $t_1$ , удовлетворяющий уравнению

l_0+Vt_1=ct_1\quad\Rightarrow\quad t_1=\frac{l_0}{c-V}.\qquad (4)

в точке с координатой

x_1=ct_1=\frac{c}{c-V}l_0.\qquad (5)

Закон движения отраженного сигнала записывается в виде

x=x_1-c(t-t_1)=2x_1-ct=2\frac{c}{c-V}l_0-ct.\qquad (6)

Этот отраженный сигнал встретится с машиной ГАИ в момент времени $t_2$ , удовлетворяющий условию

2\frac{c}{c-V}l_0-ct_2=v_0t_2\quad\Rightarrow\quad t_2=2\frac{c}{(c-V)(c+v_0)}l_0.\qquad (7)

Второй сигнал послан в момент времени $\tau$ , когда расстояние между автомобилями стало равным $(l_0+(V-v_0)\tau)$ , поэтому он вернется к машине ГАИ в момент $t_3$ , который может быть найден с помощью формулы (7):

t_3=\tau+2\frac{c}{(c-V)(c+v_0)}(l_0+(V-v_0)\tau)=\tau+t_2+2\frac{c(V-v_0)}{(c-V)(c+v_0)}\tau.\qquad (8)

Таким образом, время между возвращения двух последовательных импульсов равно

\tau'=t_3-t_2=\tau+2\frac{c(V-v_0)}{(c-V)(c+v_0)}\tau.\qquad (9)

Учитывая то, что скорость сигнала значительно больше скорости автомобилей, формула (9) упрощается до

\tau'\approx\tau+2\frac{V-v_0}{c}\tau.\qquad (10)

Оригинал в Архива: 3_etap_2016_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2016_theoretical_solutions.pdf