Съдържание

Условие Часть 1. Политропические процессы.Часть 2. «Разорванный» цикл.Решение

BelPhO 2016, Областен етап — Задача 10-3. 10 класс · Задание 3. Теплоёмкость процесса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Республиканская физическая олимпиада 2016 · III этап · Теоретический тур · 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал содержит девять заданий: по три для 9, 10 и 11 классов. Каждая разминка прямо объявляет три не связанные между собой задачи; эти девять самостоятельных задач и шесть остальных связанных заданий представлены пятнадцатью отдельными задачами. Общие указания к комплекту и общее примечание к разминке сохранены на первой задаче соответствующего класса и доступны по ссылкам. В тексте сохранены печатные обозначения, все вопросы, методы решений и четыре графических бланка. На обложке 11 класса указаны семь частей, связанных общей идеей; далее напечатаны три задания, а разминка прямо названа тремя несвязанными задачами. Название «Made in Chine», ошибочные ссылки и формулы официального ключа сохранены буквально. В частности, в ключе Ф-сопротивления напечатано I_AB I_AD; в ключе накачки используется V2; в ключе газировки V0=ν0RT; в ключе цикла индексы T3/P3; в ключе газа произведение (T̄/T0)(P/P0) и положительное расширение после теплового равновесия. Это текст исходного ключа. Имена авторов и балльная рубрика в данном оригинале не напечатаны.

Условие

В задаче рассматриваются равновесные процессы, проходящие с одним молем идеального газа. Поэтому все характеристики состояния газа и происходящих процессов являются «молярными» - молярный объем, молярные теплоемкости и т.д.

Математическая подсказка. Если аргумент функции $y=ax^m$ изменяется на малую величину $\Delta x$ , то изменение функции равно $\Delta y=amx^{m-1}\Delta x$ , при любом показателе степени.

Часть 1. Политропические процессы.

Теплоемкость является характеристикой процесса. Процессы, в ходе которых теплоемкость остается постоянной, называются политропическими. В общем случае уравнение политропического процесса имеет вид

PV^n=const,\qquad (1)

где $n$ - постоянное число (не обязательно целое), называемое показателем политропы.

3.1.1 Покажите, что теплоемкость идеального газа в произвольном процессе определяется уравнением

C=C_V+P\frac{\Delta V}{\Delta T},\qquad (2)

где $C_V$ - теплоемкость газа при изохорном процессе, $\Delta V$ изменение объема газа в рассматриваемом процессе при малом изменении температуры $\Delta T$ .

3.1.2 Покажите, что в процессах, описываемых уравнением (1) теплоемкость остается постоянной. Найдите теплоемкость одного моля идеального одноатомного газа в политропическом процессе (1), т.е. установите связь между молярной теплоемкостью $C$ и показателем политропы $n$ .

3.1.3 Укажите значения молярной теплоемкости $C$ и соответствующего ей показателя $n$ в известных процессах. Результаты представьте в следующей таблице.

№	Процесс	Молярная теплоемкость $C$	Показатель $n$
1	Изобарный
2	Изотермический
3	Изохорный
4	Адиабатный

Complete original blank scientific four-row process table, all printed headers, process labels and every border.

Часть 2. «Разорванный» цикл.

Один моль идеального одноатомного газа совершает циклический процесс, в котором теплоемкость зависит от температуры в соответствии с графиком, приведенном на рис. 1. Здесь $T_0=300\,K$ - температура газа в состоянии 1;

Complete original C/R versus T/T0 chart including both axes/arrows, all numeric labels, original 1/2/3 duplicated vertices and direction arrows.

$R=8{,}31\,\frac{Дж}{моль\cdot К}$ - универсальная газовая постоянная.

3.2.1 Изобразите этот цикл на диаграмме $\left(\frac{P}{P_0},\frac{V}{V_0}\right)$ , где $P_0,V_0$ - давление и объем газа в состоянии 1.

3.2.2 Рассчитайте работу газа за весь цикл.

3.2.3 Найдите термический КПД цикла.

3.2.4 Предложите простое устройство, в котором реализуется процесс 1-2.

Решение

Задание 3. Теплоемкость процесса.

Часть 1. Политропические процессы.

3.1.1 Теплоемкость системы определяется как отношение количества теплоты, полученной системой к изменению ее температуры

C=\frac{\delta Q}{\Delta T}.\qquad (1)

Используя уравнение первого закона термодинамики для идеального газа

\delta Q=\Delta U+\delta A=C_V\Delta T+P\Delta V,\qquad (2)

получим требуемое в условии соотношение

C=\frac{\delta Q}{\Delta T}=C_V+P\frac{\Delta V}{\Delta T}.\qquad (3)

3.1.2 Запишем уравнение процесса в виде

PV^n=B,\qquad (4)

где $B$ - некоторая постоянная. С помощью уравнения состояния идеального газа

PV=RT\qquad (5)

Выразим явную зависимость температуры газа от его объема

T=\frac BRV^{1-n}.\qquad (6)

Из вида этой зависимости с помощью математической подсказки находим

\Delta T=\frac BRV^{-n}(1-n)\Delta V\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta V}{\Delta T}=\frac{RV^n}{B(1-n)}.\qquad (7)

Подставляя в уравнение (3) выражения (7) и выражения для давления в данном процессе, следующее из (7), получим

C=C_V+P\frac{\Delta V}{\Delta T}=\frac32R+\frac R{1-n}.\qquad (8)

3.1.3 Уравнение изобарного процесса $P=const$ следует из общего уравнения политропического процесса $PV^n=const$ при $n=0$ . Из общей формулы (8) следует, что в этом процессе $C=\frac52R$ .

Уравнение изотермического процесса имеет вид $PV=const$ . Для этого процесса $n=1$ . Следовательно, в этом процессе $C\to\infty$

Для определения параметров изохорного процесса, запишем общее уравнение политропического процесса в виде

PV^n=const\quad\Rightarrow\quad P^{\frac1n}V=const,\qquad (9)

из которого следует, что в этом процессе $n\to\infty$ , поэтому $C=C_V=\frac32R$ .

Из определения адиабатного процесса, как процесса без теплообмена, следует, что в этом процессе $C=0$ . Тогда из формулы (8) следует

C=\frac32R+\frac R{1-n}=0\quad\Rightarrow\quad n=\frac53.\qquad (10)

Полученные значения сведены в таблице.

Таблица.

Entire original four-row filled scientific process table, all formula cells/headers/borders.

Часть 2. «Разорванный» цикл.

3.2.1 Из приведенного графика следует, что все участки приведенного цикла являются

Entire native C/R versus T/T0 repeated cycle chart, all duplicated state labels/ticks/direction arrows.

политропическими процессами. В процессах 2-3 и 3-1 легко узнать изохорный и изобарный процессы, соответственно.

В процессе 1-2 теплоемкость постоянна и равна $C=2R$ , поэтому показатель политропы в этом процессе равен

\frac32R+\frac R{1-n}=2R\quad\Rightarrow\quad n=-1.\qquad (11)

Следовательно, уравнение этого процесса имеет вид $PV^{-1}=const=B$ , или

P=BV,\qquad (12)

Т.е. в этом процессе давление прямо пропорционально объему!

Из графика следует, что температура в этом процессе возросла в 9 раз. Подставляя уравнение процесса (12) в уравнения состояния, получим

BV^2=RT.\qquad (13)

Отсюда следует, что в данном процессе объем и давление возрастают в три раза.

Это позволяет построить график процесса в требуемых координатах $\left(\frac P{P_0},\frac V{V_0}\right)$ (см. рисунок).

Entire native normalized P/P0,V/V0 cycle, states1/2/3, all arrows/grid/dashed extension and axis labels.

3.2.2 Работа, совершенная за цикл численно равна площади цикла в координатах $(P,V)$ . Поэтому в данном случае

A_\Sigma=\frac12(P_2-P_3)(V_3-V_1)=2P_0V_0\qquad (14)

Используя уравнения состояния, последнее выражение можно записать в виде, который дает возможность найти численное значение работы

A=2P_0V_0=2RT_0=5{,}0\,\mathrm{кДж}\qquad (15)

3.2.3 Очевидно, что в данном циклическом процессе газ получает теплоту только на участке 1-2. Согласно первому закону термодинамики это количество теплоты рассчитывается по формуле

Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}.\qquad (16)

Здесь изменение внутренней энергии

\Delta U_{12}=\frac32R(T_3-T_1)=12RT_0=12P_0V_0;\qquad (17)

А работа на этом участке равна площади трапеции под отрезком прямой 1-2:

A_{12}=\frac{P_1+P_3}2(V_3-V_1)=4P_0V_0.\qquad (18)

Таким образом, КПД цикла равен

\eta=\frac{A_\Sigma}{Q_{12}}=\frac{2P_0V_0}{12P_0V_0+4P_0V_0}=\frac18=12{,}5\%.\qquad (19)

3.2.4 Процесс, в котором давление возрастает пропорционально объему можно реализовать в сосуде с подвижным поршнем, если поршень прикреплен ко дну сосуда пружиной. Если пренебречь длиной пружины в недеформированном состоянии и внешним давлением, то процесс расширения газа будет описываться уравнением (12).

Entire native spring-loaded cylinder/piston and source vertical motion arrow.

Оригинал в Архива: 3_etap_2016_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2016_theoretical_solutions.pdf