Съдържание

BelPhO 2016, Областен етап — Задача 10-2. 10 класс · Задание 2. Средние скорости

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Республиканская физическая олимпиада 2016 · III этап · Теоретический тур · 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал содержит девять заданий: по три для 9, 10 и 11 классов. Каждая разминка прямо объявляет три не связанные между собой задачи; эти девять самостоятельных задач и шесть остальных связанных заданий представлены пятнадцатью отдельными задачами. Общие указания к комплекту и общее примечание к разминке сохранены на первой задаче соответствующего класса и доступны по ссылкам. В тексте сохранены печатные обозначения, все вопросы, методы решений и четыре графических бланка. На обложке 11 класса указаны семь частей, связанных общей идеей; далее напечатаны три задания, а разминка прямо названа тремя несвязанными задачами. Название «Made in Chine», ошибочные ссылки и формулы официального ключа сохранены буквально. В частности, в ключе Ф-сопротивления напечатано I_AB I_AD; в ключе накачки используется V2; в ключе газировки V0=ν0RT; в ключе цикла индексы T3/P3; в ключе газа произведение (T̄/T0)(P/P0) и положительное расширение после теплового равновесия. Это текст исходного ключа. Имена авторов и балльная рубрика в данном оригинале не напечатаны.

Условие

На рисунках приведены графики зависимостей модулей средних скоростей перемещений точки на ободе колеса от времени движения для трех видов движений. Средняя скорость определяется для промежутков времени от начала отсчета времени до текущего его значения.

2.1.

На рисунке 1 приведен график зависимости $\langle v_1(t)\rangle$ точки на ободе колеса в случае, когда колесо вращается вокруг закрепленной оси. Пользуясь графиком, определите:

Full original Figure1 chart border/title/axes/units/grid/numeric labels and entire source trace.

2.1.1 Период $T_1$ вращения колеса;

2.1.2 Формулу зависимости $\langle v_1(t)\rangle$ ;

2.1.3 Радиус $R$ колеса.

Подсказка из математики. Предельное значение отношения $\frac{\sin x}{x}$ при $x\to0$ равно 1. В общепринятой записи: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ .

2.2.

На рисунке 2 приведен график зависимости $\langle v_2(t)\rangle$ точки на ободе колеса в случае, когда колесо катится равномерно по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Радиус $R$ колеса не изменился. Пользуясь графиком, определите:

2.2.1 Период $T_2$ вращения колеса;

2.2.2 Модуль скорости $u$ поступательного движения колеса;

2.2.3 Формулу зависимости $\langle v_2(t)\rangle$ .

Full original Figure2 chart border/title/axes/units/grid/numeric labels and source trace.

2.3.

На рисунке 3 приведен график зависимости $\langle v_3(t)\rangle$ точки на ободе колеса в случае, когда колесо катится равноускоренно по горизонтальной поверхности без проскальзывания из состояния покоя. Радиус $R$ колеса не изменился. Пользуясь графиком, определите:

Full original Figure3 chart border/title/axes/units/grid/numeric labels and complete accelerating trace.

2.3.1 Модуль ускорения $a$ поступательного движения колеса.

2.3.2 Формулу зависимости $\langle v_3(t)\rangle$ .

Решение

Задание 2. Средние скорости.

2.1.

2.1.1. Модуль средней скорости: $\langle v\rangle=\frac{\Delta r}t$ . Когда точка проходит через первоначальное положение, $\Delta r=0\quad\Rightarrow\quad\langle v\rangle=0$ . Период вращения – это промежуток времени между двумя последовательными обращениями в ноль средней скорости. На рисунке это $T=0{,}5\,\mathrm{с}$ .

2.1.2. Рассмотрим поворот колеса на угол $\varphi=\frac{2\pi}Tt$ .

Модуль перемещения за это время (см. рисунок 4):

Entire native fixed-wheel Figure4 circle/angle/radius/displacement/rotation arrow/A/Aprime/O/caption.

\Delta r=2R\sin\frac\varphi2\quad\Rightarrow\quad\Delta r=2R\sin\frac{\pi t}T\quad\Rightarrow\quad\langle v\rangle=2\frac Rt\sin\frac{\pi t}T.\qquad (1)

2.1.3. Умножим числитель и знаменатель выражения для $\langle v\rangle$ на $\frac\pi T$ : $\langle v\rangle=\frac{\frac\pi T2R\sin\frac{\pi t}T}{\frac{\pi t}T}$ .

При $t\to0$ получим: $\langle v\rangle=\frac{2\pi R}T\quad\Rightarrow\quad R=\frac{\langle v\rangle T}{2\pi}$ . Из графика при $t=0$ $\langle v\rangle=1{,}25\,\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{1{,}25\cdot0{,}5}{2\pi}=0{,}1\,\mathrm{м}$ .

2.2.

2.2.1. Минимумы на графике соответствуют моментам касания точкой поверхности земли. Промежуток времени между двумя последовательными касаниями равен периоду вращения колеса. Из графика: $T=0{,}4\,\mathrm{с}$ .

2.2.2. Если колесо не проскальзывает на дороге, модуль линейной скорости вращения колеса равен модулю поступательного движения колеса, поэтому $u=\frac{2\pi R}T=1{,}6\,\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}$ .

2.2.3. Положение точки на ободе колеса может быть определено относительно неподвижной системы отсчета, связанной с поверхностью, и относительно колеса, которое является движущейся системой отсчета. Перемещения относительно этих систем отсчета связаны законом сложения перемещений: $\Delta\vec r=\Delta\vec r_0+\Delta\vec r'$ . Здесь $\Delta\vec r$ – перемещение точки относительно неподвижной поверхности; $\Delta\vec r'$ – перемещение точки относительно колеса; $\Delta\vec r_0$ – перемещение колеса относительно поверхности (см. рис. 5).

Full native colored rolling-wheel/cycloid Figure5, every vector/component/coordinate/arrow/caption and trace.

В проекциях на оси координат (см. рис. 5):

x=x_0-x',\quad x_0=ut,\quad x'=R\sin\varphi;\quad y=y',\quad y'=R-R\cos\varphi.

Угол $\varphi=\omega t$ , где $\omega=\frac{2\pi}T=\frac uR$ – угловая скорость вращения колеса. Окончательно:

\begin{cases}x=ut-R\sin\frac{ut}R,\\y=R\left(1-\cos\frac{ut}R\right),\end{cases}\quad \Delta r=\sqrt{x^2+y^2}\quad\Rightarrow\quad \Delta r=\sqrt{\left(ut-R\sin\frac{ut}R\right)^2+\left(R\left(1-\cos\frac{ut}R\right)\right)^2}\quad\Rightarrow

\langle v\rangle=\frac{\Delta r}t=\frac Rt\sqrt{\frac{ut}R\left(\frac{ut}R-2\sin\frac{ut}R\right)+2\left(1-\cos\frac{ut}R\right)}.\qquad (2)

График этой функции приведен на рисунке 2 в условии.

2.3.

2.3.1. Отсчитаем на рисунке второй минимум на графике, так как время этого минимума $t_2=1{,}5\,\mathrm{с}$ можно прочитать с достаточно высокой точностью. За время $t_2$ колесо совершило 2 полных оборота и прошло путь $s=2\cdot2\pi R=4\pi R$ . Это расстояние равно $\frac{at_2^2}2$ .

В результате: $4\pi R=\frac{at_2^2}2\quad\Rightarrow\quad a=\frac{8\pi R}{t_2^2}=\frac{8\pi\cdot0{,}1}{1{,}5^2}=1{,}12\,\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с^2}}$ .

2.3.2. В формуле (2) для равномерного движения колеса произведение $ut$ – это путь, пройденный колесом при равномерном движении. В данном случае его необходимо заменить на $\frac{at^2}2$ – путь при равноускоренном движении из состояния покоя. В результате:

\langle v\rangle=\frac{\Delta r}t=\frac Rt\sqrt{\frac{at^2}{2R}\left(\frac{at^2}{2R}-2\sin\frac{at^2}{2R}\right)+2\left(1-\cos\frac{at^2}{2R}\right)}.\qquad (3)

График этой функции приведен на рисунке 3 в условии.

Оригинал в Архива: 3_etap_2016_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2016_theoretical_solutions.pdf