BelPhO 2016, Областен етап — Задача 10-1.3. 10 класс · Задание 1. Разминка · Задача 1.3 «Водяной куб»

Задача 1.3 «Водяной куб»

Непосредственно из рисунка, отражающего ход лучей, следует что

Поэтому на графике построим прямую, описываемую функцией $\beta=90^\circ-\alpha$. Также построим прямую, описываемую выражением $\beta=\alpha$.

1.3.1

Последовательность графического решения задачи следующая:

• от точки $A$ ($\alpha=80^\circ$) проводим вертикальную прямую до пересечения с графиком функции $\beta=f(\alpha)$ (точка $B$), ее ордината равна углу $\beta$ (по графику находим $\beta\approx48^\circ$);
• от точки $B$ проводим горизонтальную прямую до пересечения с прямой $\beta=90^\circ-\alpha$, (точка $C$), ее абсцисса равна углу $\gamma$ (по графику находим $\gamma\approx42^\circ$);
• от точки $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с прямой $\beta=\alpha$ (точка $D$), ее ордината также равна $\gamma$;
• наконец, от точки $D$ проводим горизонтальную прямую до пересечения с заданной функцией $\beta=f(\alpha)$ (точка $E$), ее абсцисса и есть искомый угол $\delta=f^{-1}(\gamma)$;

здесь $f^{-1}$ - обозначена обратная функция.

По графику находим $\delta\approx65^\circ$.

1.3.2 Аналогичная процедура для начального значения $\alpha=62^\circ$ приводит к значению $\delta\approx80^\circ$.

1.3.3 Из графика зависимости $\beta=f(\alpha)$ видно, что максимальное значение угла преломления равно $\beta_{\max}=49^\circ$. Для нахождения соответствующего значения угла падения $\alpha$ необходимо от «конечной точки $E$ (координатами $(90^\circ,49^\circ)$) проделать обратный путь $EDCBA$, который приводит к значению $\alpha_{\min}\approx60^\circ$. При меньших углах падения решения задачи не существует, это означает, что на второй грани луч полностью отразится. Таким образом, диапазон углов, при которых луч выйдет через вторую грань $60^\circ<\alpha<90^\circ$.