Съдържание

BelPhO 2016, Областен етап — Задача 11-2. 11 класс · Задание 2. «Made in Chine»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Республиканская физическая олимпиада 2016 · III этап · Теоретический тур · 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал содержит девять заданий: по три для 9, 10 и 11 классов. Каждая разминка прямо объявляет три не связанные между собой задачи; эти девять самостоятельных задач и шесть остальных связанных заданий представлены пятнадцатью отдельными задачами. Общие указания к комплекту и общее примечание к разминке сохранены на первой задаче соответствующего класса и доступны по ссылкам. В тексте сохранены печатные обозначения, все вопросы, методы решений и четыре графических бланка. На обложке 11 класса указаны семь частей, связанных общей идеей; далее напечатаны три задания, а разминка прямо названа тремя несвязанными задачами. Название «Made in Chine», ошибочные ссылки и формулы официального ключа сохранены буквально. В частности, в ключе Ф-сопротивления напечатано I_AB I_AD; в ключе накачки используется V2; в ключе газировки V0=ν0RT; в ключе цикла индексы T3/P3; в ключе газа произведение (T̄/T0)(P/P0) и положительное расширение после теплового равновесия. Это текст исходного ключа. Имена авторов и балльная рубрика в данном оригинале не напечатаны.

Условие

Юный экспериментатор Федя с очень большой точностью знает сопротивления резисторов $R_1$ и $R_2$ , включенных в схему, как показано на рисунке, причем $R_2>R_1$ . Сопротивления подводящих проводов в схеме пренебрежимо малы. Неизвестное, но постоянное напряжение на клеммах $U$ Федя планирует рассчитать по закону Ома для участка цепи, измерив силу тока чувствительным амперметром, который экспериментатор считает идеальным. В какой точке цепи (A, B или C) Феде необходимо подключить измерительный прибор, чтобы рассчитанное им напряжение оказалось «наиболее правильным»?

Entire native U/R1/R2/A/B/C circuit including top terminal ends.

Решение

Задание 2. «Made in Chine».

Напряжение на клеммах $U$ , рассчитанное Федей по формулам, при высокой точности расчетов будет отличным от истинного по той причине, что амперметр также обладает некоторым сопротивлением $R_a$ . В случае подключения амперметра в точке $A$ цепи Федя будет рассчитывать напряжение по формуле:

Complete native ammeter/resistors circuit including U/A/B/C/R1/R2 and Figure2 caption.

U^A=I_a^A\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}

Где $I_a^A$ – сила тока через амперметр в случае $A$ . В то же время «настоящее» напряжение на клеммах равно:

U^{real}=I_a^A\left(R_a+\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\right)

В случае подключения амперметра в точке $B$ эти напряжения будут равны:

U^B=I_a^BR_1\qquad U^{real}=I_a^B(R_1+R_a)

В случае точки $C$ :

U^C=I_a^CR_2\qquad U^{real}=I_a^C(R_2+R_a)

Отличия напряжения, рассчитанного Федей от истинного в каждом случае равно:

\Delta U^A=I_a^AR_a=R_a\frac{U^{real}}{R_a+\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}=U^{real}R_a\frac{R_1+R_2}{R_1R_a+R_2R_a+R_1R_2}

\Delta U^B=I_a^BR_a=U^{real}R_a\frac1{R_1+R_a}

\Delta U^C=I_a^CR_a=U^{real}R_a\frac1{R_2+R_a}

Все выражения записаны через сопротивления и напряжение $U^{real}$ , так как эти величины одинаковы для всех трех подключений $A,B$ и $C$ . Можно отметить, что случаи $B$ и $C$ отличаются лишь заменой $R_1$ на $R_2$ , то есть результаты всех вычислений для одного из них будет легко перенести на другой. Поэтому, прежде всего, сравним погрешности Фединых расчетов в случаях $A$ и $B$ .

Наиболее точный результат даст то положение амперметра в цепи, для которого соответствующее $\Delta U$ будет меньше. Для того, чтобы сравнить ситуации $A$ и $B$ вычтем одно отклонение $\Delta U$ из другого:

\begin{aligned} \Delta U^A-\Delta U^B&=U^{real}R_a\left(\frac{R_1+R_2}{R_1R_a+R_2R_a+R_1R_2}-\frac1{R_1+R_a}\right)=\\ &=U^{real}R_a\frac{R_1^2+R_1R_a+R_1R_2+R_2R_a-R_1R_a-R_2R_a-R_1R_2}{(R_1R_a+R_2R_a+R_1R_2)(R_1+R_a)}=\\ &=U^{real}R_a\frac{R_1^2}{(R_1R_a+R_2R_a+R_1R_2)(R_1+R_a)}>0 \end{aligned}

Как видно, разница положительна, то есть $\Delta U^A>\Delta U^B$ . Аналогично можно получить $\Delta U^A>\Delta U^C$ . Наконец, сравнивая между собой $\Delta U^B$ и $\Delta U^C$ , замечаем, что они отличаются только знаменателем, причем знаменатель в $\Delta U^C$ больше, так как $R_2>R_1$ . Получаем, что минимальное отклонение рассчитанного напряжения от действительного $\Delta U$ , то есть «наиболее правильное» измерение, реализуется при подключении амперметра в точке $C$ .

Оригинал в Архива: 3_etap_2016_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2016_theoretical_solutions.pdf