BelPhO 2016, Областен етап — Задача 11-1.3. 11 класс · Задание 1. Разминка. Как будет лучше? · Задача 1.3

1.3.

А) В случае А) очевидным является тот факт, что одним зеркалом необходимо отразить сразу оба луча, так как, распространяясь прямолинейно, ни один из них в щель не попадает. При построении отражения в плоском зеркале популярным является метод изображений, когда продолжения лучей мысленно по прямой продолжаются за зеркало, а потом, для построения их настоящего хода, симметрично геометрически отражаются от зеркальной плоскости. Можно заметить, что при таком построении расстояние между какими-либо двумя точками лучей не изменяются, отражаются оба луча в зеркале или нет. Таким образом, для того чтобы оба луча «сошлись» в щели, в точку $A$ необходимо отразить ту точку, где лучи и так сходятся на близкое (а лучше нулевое) расстояние – то есть точку их пересечения $C$ (рисунок 2).

Для того чтобы точка $A$ была изображением точки $C$ зеркало должно находится ровно посередине между указанными точками, а его плоскость должна быть перпендикулярна $AC$. Получив плоскость расположения зеркала, достаточно лишь изобразить его такого размера, чтобы лучи 1 и 2 попали на поверхность и отражались. Теперь лучи пересекутся прямо в точке $A$, то есть оба пройдут через щель.

Б) В случае Б) можно заметить, что диапазон $DE$, на котором лучи идут достаточно близко друг к другу, чтобы одновременно пройти через щель, меньше расстояния $AB$ между щелями (рисунок 4). Так как при отражениях в плоских зеркалах расстояния между точками не изменяется, получаем, что, отражая одновременно два луча, мы никаким образом не сможем их направить через обе щели.

С другой стороны, никто не запрещает отражать каждый луч своим зеркалом по отдельности. Действительно, для того чтобы любой луч прошел через обе щели, его достаточно направить по прямой $AB$. Для этого построим угол $FGB$, как показано на рисунке 3 и найдем его биссектрису. Маленькое зеркало должно располагаться в точке $G$ перпендикулярно полученной биссектрисе. Аналогичное построение можно сделать и для второго луча. Далее используя небольшой, но все же не нулевой размер щели, необходимо немного сместить одно или оба зеркала так, чтобы каждое отражало только один луч и не мешало прохождению второго (на рисунке 4 не отображено). Таким образом, оба луча примерно параллельно друг другу пройдут через обе щели $A$ и $B$.

Ироничный момент задачи состоит в том, что в пункте А) необходимо взять достаточно большое зеркало, чтобы на него попали сразу оба луча. В пункте Б) наоборот, стоит выбрать зеркала поменьше, чтобы они отразили только один луч и не мешали ничему остальному.