BelPhO 2016, Областен етап — Задача 11-1.1. 11 класс · Задание 1. Разминка. Как будет лучше? · Задача 1.1

1.1.

По какой бы траектории фермер не двигался, часть пути ему будет необходимо преодолеть по полю. Достичь какой-либо точки $D$ на поле из точки $A$ быстрее всего будет, конечно же, по прямой, так как в этом случае длина пути минимальна. Далее, если в какой-то момент времени фермер оказался на проселочной дороге, то дальше ему, очевидно, выгоднее идти домой в точку $C$ именно по ней, так как скорость движения фермера по дороге выше, чем по полю. Таким образом, оптимальная траектория фермера может быть только отрезком $AC$ по полю или состоять из отрезка $AE$ до некоторой точки $E$ на дороге и отрезка $EC$ по дороге (рисунок 1). Обе описанных траектории можно свести к движению по ломаной $AEC$, точка $E$ которой находится на дороге на некотором расстоянии $x$ от точки $B$. В предельном случае движения только по полю $x_{\max}=BC=2{,}0\,\mathrm{км}$.

Определим, при каком расстоянии $x$ время движения будет минимально. Для этого напишем выражение для этого времени:

Здесь мы ввели обозначения $d=AB=600\,\mathrm{м}$, $l=BC=2{,}0\,\mathrm{км}$. Для определения минимального времени посчитаем производную $t'(x)$ и приравняем ее к нулю:

Отсюда:

Математически равенство нулю не гарантирует то, что полученный результат является точкой минимума функции, а лишь указывает на наличие экстремума. Впрочем, минимум функции $t(x)$ должен явно существовать на участке $x>0$ из физических соображений, а формула (2) дает единственную возможную ситуацию расположения такого минимума.

Отметим, что этот же результат можно было получить, не используя аппарат вычисления производной. Для этого выражение (1) можно преобразовать к виду квадратного уравнения относительно переменной $x$. Такое уравнение не должно иметь корней для случая $t<t_{\min}$, так как «быстрее минимального времени» до дома добраться нельзя. Пограничный случай $t=t_{\min}$ тогда будет соответствовать ситуации, когда дискриминант описанного квадратного уравнения равен нулю. Выполнение этого требования путем математических преобразований приводит к тому же результату (2).

Таким образом, получаем ответ. Для наиболее быстрого пути домой фермеру необходимо двигаться вначале по полю по прямой к точке $E$, расположенной на дороге на расстоянии $x_0=612\,\mathrm{м}$ от точки $B$, а затем по проселочной дороге до дома в точке $C$. Другими словами, фермер должен двигаться по полю под углом $\alpha=\operatorname{arctg}\frac d{x_0}=44{,}4^\circ$ к дороге, а дальше продолжить движение к дому по ней.

Альтернативный способ: Согласно принципу Ферма в оптике, свет движется из начальной точки в конечную по пути, соответствующем минимальному времени движения. Данный принцип можно применить для решения данной задачи. Предположим, что дорога $BC$ – это граница раздела двух сред, в которых свет распространяется со скоростями $v_1$ и $v_2$ соответственно. Тогда показатели преломления этих сред $n_1=\frac c{v_1}$ и $n_2=\frac c{v_2}$. Мы будем пытаться определить траекторию луча, движущегося из точки $A$ в точку $C$, которая, согласно принципу Ферма, обеспечит минимальное время движения. Логично предполагая, что фермер хотя бы в самом конце пути к дому будет двигаться по проселочной дороге, получаем, что луч света часть пути должен распространяться вдоль границы двух сред. Такая ситуация реализуется при критическом угле падения на границу сред, при превышении которого в оптике происходит явление полного внутреннего отражения. Получаем, что для достижения минимального времени фермер, как и луч света, должен двигаться под углом $\beta_{\text{кр}}$ к прямой $AB$ (нормали к дороге), который можно рассчитать, используя выражение:

Отсюда $\beta_{\text{кр}}=45{,}6^\circ$ – угол между направлением движения фермера и нормалью или $\alpha=44{,}4^\circ$ – угол между направлением движения фермера по полю и дорогой.

Как видно, результаты альтернативных способов решения совпадают.