BelPhO 2016, Областен етап — Задача 11-1.2. 11 класс · Задание 1. Разминка. Как будет лучше? · Задача 1.2

1.2.

Максимальный КПД тепловой машины достигается при осуществлении рабочим телом цикла Карно. Для совершения машиной максимально возможной работы будем считать, что процесс состоит именно из таких циклов. При этом рабочее тело на каждом цикле будет забирать теплоту у нагревателя и отдавать холодильнику, то есть температура камней будет изменяться. Процесс с совершением работы уже не сможет происходить, когда температуры камней сравняются.

Пусть после очередного цикла температура горячего камня равна $T_{\text{гор}}$, а холодного – $T_{\text{хол}}$. В течение одного последующего цикла температура горячего камня изменится на $\Delta T_{\text{гор}}$, передав рабочему телу теплоту $Q_{\text{пол}}=-C\Delta T_{\text{гор}}$. (Знак «минус» учитывает тот факт, что $\Delta T_{\text{гор}}<0$ – камень охлаждается). Температура же холодного камня изменится на $\Delta T_{\text{хол}}$, получив от рабочего тела теплоту $Q_{\text{отд}}=C\Delta T_{\text{хол}}$. КПД данного цикла такой тепловой машины можно рассчитать следующим образом:

С другой стороны, если процесс осуществляется по циклу Карно:

где температуры выражены по шкале Кельвина. Сравнивая два выражения для КПД, получаем:

Согласно примечанию в условии задачи такая связь температур говорит о том, что в ходе всего процесса будет сохраняться их произведение: $T_{\text{гор}}\cdot T_{\text{хол}}=const$. Если обозначить конечную температуру обоих камней $T_\text{к}$, зная начальные их температуры, можно записать:

Отсюда $T_\text{к}=\sqrt{T_1T_2}=339{,}8\,K=66{,}8\,{}^\circ C$. Пренебрегая теплоемкостью рабочего тела – газа по сравнению с теплоемкостью камней, то есть пренебрегая изменением внутренней энергии газа за весь процесс, можем записать второе начало термодинамики и определить искомую максимально возможную работу: