BelPhO 2017, Областен етап, 9,10,11 — Задача 9-2. 9 класс — 2. Велокомпьютер

Задача 9-2. Велокомпьютер

Часть 1. «Эволюция» средней скорости

1.1 Согласно определению средней скорости можем записать

$(1)$

Далее учтём условие малости промежутков $\Delta S\ll S$ и $\Delta t\ll t$ и примечание в условии задачи

С учётом последних равенств(1)можно переписать в виде

$(4)$

Как следует из(4), изменение (приращение) средней скорости велосипедиста можно записать как

$(5)$

Из(5)находим искомые выражения для коэффициентов А и В

Используя(6)найдём размерности полученных коэффициентов

$(7)$

1.2 Расчёт даёт отрицательное значение для изменения средней скорости велосипедиста на рассматриваемом малом участке дистанции (т.е. его средняя скорость при этом уменьшается)

$(8)$

1.3 Если значение средней скорости велосипедиста на некотором малом участке дистанции постоянно, то понятно, что его изменение (приращение) равно нулю. Тогда, согласно(5), имеем

Условие(9)можно сформулировать следующим образом: если средняя скорость ($S/t$) движения велосипедиста на данном малом участке дистанции не изменяется, то он «удачно» едет с мгновенной скоростью ($\Delta S/\Delta t=v(t)$), равной средней. Соответственно, если мгновенная скорость $v(t)$ больше средней), то средняя скорость будет расти, а если $v(t)$ меньше средней ($\Delta S/\Delta t<S/t$) — то убывать.

Часть 2. «Странная» гонка

2.1 Построим график зависимости мгновенной скорости $v(t)$ велосипедиста от времени в течение гонки (рис.1). Поскольку ускорение движения велосипедиста постоянно, то его мгновенная скорость линейно возрастает на первой половине дистанции (времени), достигая максимального значения на середине дистанции $S_1=0{,}50\text{ км}$ через промежуток времени $t_0=\sqrt{S/a}=45\text{ с}$, а далее — также линейно убывает. При этом, как следует из(9), даже на второй половине дистанции средняя скорость велосипедиста продолжает расти некоторое время $t$, несмотря на то, что мгновенная скорость уже убывает. Действительно, до тех пор, пока его мгновенная скорость $v(t)$ будет больше средней на всей дистанции приращение будет положительно.

2.2 На участке OD (см.рис.1), где средняя скорость равна половине мгновенной скорости, поскольку движение велосипедиста является равноускоренным. Следовательно, здесь

$(10)$

т.е. искомая зависимость представляет собой прямую, выходящую из начала координат. Далее ($t_0<t<2t_0$) мгновенная скорость начинает убывать, поэтому для нахождения средней скорости необходимо найти весь путь (площадь фигуры ODBC на рис.1) и разделить его на все время движения велосипедиста. При этом получим зависимость

$(11)$

График полученной зависимости(11)для , построенный по точкам (для удобства в безразмерных координатах $v^*=v/v_0$ и $\tau=t/t_0$) приведен на рисунке 2 (построение этого графика на отдельном бланке от школьников не требуется).

На участке от нуля до единицы график линейно растет до значения 0,5, затем испытывает максимум и к концу дистанции, вновь приходит к значению 0,5, поскольку велосипедист на всех этапах двигался только равноускоренно. Из графика также следует, что средняя скорость велосипедиста достигает максимума где-то на второй половине дистанции в окрестности точки $\tau\approx1{,}4$.

2.3 Если некоторая функция в данной точке испытывает максимум (или минимум), то в окрестностях этой точки её приращение (изменение) равно нулю. Это легко понять, прохаживаясь по вершине холма: при этом наша высота будет оставаться практически неизменной. Но если вблизи максимума функции её приращение равно нулю, то выполняется условие(9). Следовательно, в момент, когда средняя скорость велосипедиста достигает своего максимального значения, справедливо равенство

$(12)$

Иными словами, искомая максимальная средняя скорость велосипедиста должна быть равна его мгновенной скорости $v(t)$. Это значит, что график функции $v(t)$ пересекает график функции «сверху вниз» строго в точке её максимума, что и должно получиться при правильном построении двух графиков в одной системе координат (рис.3).

Пусть это произошло через промежуток времени $t$ после достижения максимума мгновенной скорости велосипедиста (см.Рис.1). Поскольку велосипедист уже начал замедляться, то его скорость в этот момент будет равна $v(t)=v_0-at$.

Соответственно, условие(12)можно переписать в виде

Из(13)получаем квадратное уравнение относительно $t$

которое имеет два корня. Поскольку промежуток времени $t$ движения велосипедиста положителен, то отрицательный корень уравнения следует отбросить как не имеющий физического смысла. Выбираем положительный корень для $t$

Подставляя полученное значение для $t$ в(13), находим максимальное значение средней скорости велосипедиста

$(16)$

и расстояние от места старта, на котором оно будет зафиксировано велокомпьютером

$S.\qquad(17)$

2.4 Расчёт даёт значения

$(18)$

Интересно, что уравнение(14)можно получить и более простым путем, если заметить, что выделенные на Рис.1 площади должны быть одинаковы, поскольку рассматриваемые фигуры $OABC$ и $ODBC$ равновелики. Тогда

С учётом того, что $t_0=\sqrt{S/a}$ и $v_0=\sqrt{aS}$, легко убеждаемся, что(20)совпадает с(14), т.е. для $t$ получаем тот же ответ(15). Подчеркнем, что любители дифференцировать могут также получить уравнение(14)достаточно «стандартным» путем, взяв производную от функции средней скорости

$(21)$

по времени $t$ и приравняв её нулю. Используя правило дифференцирования частного функций, в результате для определения $t$ получим уравнение

которое опять же приводит нас к(14). Как видим, все правильные способы решения, в отличие от неправильных, ведут к одному и тому же ответу.

Часть 3. Произвольный закон движения

Заметим, что условие(9)равенства средней и мгновенной скоростей велосипедиста имеет наглядный графический смысл и в координатах $x(t)$. Действительно, для примера вернемся к части 2 задачи и построим график зависимости $S(t)$ пути велосипедиста от времени. Для этого движения он будет представлять из себя две «сшитые» параболы с различными ориентациями ветвей. При этом мгновенная скорость велосипедиста $\Delta S/\Delta t=v(t)=\tan\alpha$ равна угловому коэффициенту касательной в данной точке. Соответственно, средняя скорость равна угловому коэффициенту прямой, соединяющей данную точку с началом координат.

Равенство этих угловых коэффициентов в точке экстремума средней скорости означает, что касательная к графику должна проходить через начало координат. Построив такую касательную, из графика найдем приближенное значение $t\approx1{,}4t_0$, что неплохо согласуется с(15). Используя такой же метод, найдем точку максимальной средней скорости для предложенного закона движения велосипедиста. Построим касательную к графику, проходящую через начало координат — в нашем случае она единственная и дает точку максимальной средней скорости велосипедиста на всей дистанции.

Построением (Рис.3)находим, что искомые значения с учетом погрешностей равны

Следовательно, искомое значение

$(25)$