Съдържание

Условие Часть 1. Бетонная коробка.Часть 2. Обогрев без утеплителя Часть 3. Утепление Решение

BelPhO 2017, Областен етап, 9,10,11 — Задача 9-3. 9 класс — 3. Обогрев дома

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены 18 страниц условий и 26 страниц архивного ключа. Сохранены девять отдельных целых заданий — по три для 9,10,11 класса, со всеми 66 печатными группами запросов, а не каталожными 75 частями. Общие утверждение и инструкции повторены в оригинале отдельно для каждого класса. Обложка утверждений для 2017 года датирована декабрем 2016 года. Баллы, время и отдельные критерии оценивания не напечатаны.

Решение звуковых волн 11-2 отсутствует. Ключ на стр. 20 ошибочно назван «Задача 11-2. Звуковые волны, эффект Доплера», но все его содержание на стр. 20–23 — полный ключ сфер 11-1. Оно связано именно со сферами, исходный ошибочный заголовок виден в примечании. Отдельные выданные бланки графиков 9-2 и построений 10-2 отсутствуют в полученных оригиналах; графики условий и расширенные построения ключа сохранены. График 9-2 напечатан до самой нижней границы исходной стр. 4, без добавления данных за границей оригинала.

У велокомпьютера часть отображаемых формул и промежуточных численных результатов отсутствует в самом PDF, что проверено по двум исходным рендерам. Такие места помечены в ключе, новые формулы не сочинены. У пружины отсутствуют результат после «Откуда» на стр. 16 и формула равномерной внешней силы на стр. 17; некоторые порядковые обозначения также не напечатаны. В условии Доплера пропущено обозначение скорости звука, а в условии автоколебаний — формула после «относительно небольшой скоростью».

Сохранены буквальные исходные несогласованности: номера 1.4–1.7 и 4.1/4.2, ошибочные ссылки в сосуде и номера 2.1/2.2 ключа; повтор 3.2 в автоколебаниях при последнем 3.3 ключа; повтор 2.4 и(5), C 0=108 Дж/К и Q 0=2,2·10³Дж при исходном c 0=1 кДж/(кг·К), c 0 вместо стоимости s 0, площадка 2 aH и 660 Вт при прежних 4 aH и 7200 Вт, подстановка 1·10⁹Дж вместо 11,6·10⁸Дж в доме; увеличение времени падения в√2 раза в тексте рядом сτ 1=τ/√2; незавершенное равенство(7) иρ 2 вместоρ 1 в сосуде; повторΔx 1 в сумме пружины и формуле(19), исходные номера и ссылка(25); τ вместоΔτ в рассуждениях, φ 2=−4° иφmax в формуле равновесия автоколебаний. Напечатанные значения и знаки не исправлены.

9 класс — 2. Велокомпьютер — примечания к оригиналу:

Формула(1) отсутствует в полученном оригинале: напечатаны только точка и номер.

Формула(4) отсутствует в оригинале.

Формула(5) отсутствует в оригинале.

Формула(7) отсутствует в оригинале.

Численная формула(8) отсутствует в оригинале.

На стр. 3 ключа после слов «достигая максимального значения» отсутствует обозначение этого значения.

Формула(10) отсутствует в оригинале.

Формула(11) отсутствует в оригинале.

На стр. 3 ключа не напечатано условие после фразы «График полученной зависимости (11) для».

Формула(12) отсутствует в оригинале.

На стр. 4 ключа в фразе «пересекает график функции … сверху вниз» отсутствует название второй функции.

После последнего знака равенства формулы(13) в оригинале нет выражения.

Формула(16) отсутствует в оригинале.

В формуле(17) сохранилась только буква $S$ и точка; остальное выражение отсутствует.

Формула(18) отсутствует в оригинале.

Левая часть формулы(20) отсутствует.

Формула(21) отсутствует в оригинале.

Формула(25) отсутствует в оригинале.

10 класс — 2. Утечка … центра масс — примечания к оригиналу:

После последнего знака равенства в формуле(7) нет выражения.

10 класс — 3. «Мягкая» пружина — примечания к оригиналу:

На стр. 16 ключа после «Откуда» в решении 1.2 отсутствует итоговый результат.

На стр. 17 ключа после фразы о равномерном движении внешняя сила не напечатана.

На стр. 17–18 ключа оставлены пропуски порядковых обозначений частей пружины.

11 класс — 1. Проводящие и диэлектрические сферы — примечания к оригиналу:

В полученном ключе на стр.20 напечатан заголовок «Задача 11-2. Звуковые волны, эффект Доплера». Ниже, однако, находится решение проводящих и диэлектрических сфер из задания 11-1: все шесть запросов,41 формула и шесть схем сфер. Этот исходный ошибочный заголовок сохранен в примечании; к задаче Доплера данное решение не относится.

11 класс — 2. Звуковые волны, эффект Доплера — примечания к оригиналу:

На стр. 15 условий после «скорость звука в среде» не напечатано обозначение.

11 класс — 3. Автоколебания — примечания к оригиналу:

На стр. 18 условий после «с относительно небольшой скоростью» не напечатана формула.

Продолжение той же части 3 отдельно сохраняет второй исходный запрос 3.2; он не перенумерован.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада 2017 года. (III этап). Теоретический тур. =2017=

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 9 класс

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. _________________Р.С.Сидоренко. «» декабря 2016 г.

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

9 класс.

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 10 класс

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс.

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 11 класс

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс.

Условие

Республика Беларусь тратит значительно количество энергии на обогрев помещений. Экономия ресурсов, затрачиваемых на отопление, является важной государственной проблемой. В данной задаче Вам необходимо рассмотреть некоторые возможности уменьшения расходов на поддержание комфортных температур в жилых помещениях.

При решении задачи Вам понадобится закон теплопроводности (сформулированный французским физиком Ш. Фурье). В упрощенной форме он формулируется следующим образом. Пусть одна сторона плоскопараллельной пластины толщиной $h$ поддерживается при постоянной температуре $t_1$ , а вторая при температуре $t_2$ . Тогда плотность потока теплоты $q$ через пластину пропорционален разности температур и обратно пропорционален толщине пластины

q=\lambda\frac{t_1-t_2}{h}.\qquad(1)

Коэффициент пропорциональности зависит только от материала пластины и называется теплопроводностью материала. Плотностью потока теплоты называется количество теплоты, которое перетекает через площадку единичной площади в единицу времени (чтобы избежать путаницы в данной задаче температуру будем обозначать $t$ , а время $\tau$ )

q=\frac{\Delta Q}{\Delta S\Delta\tau}.\qquad(2)

Справочные данные:

Материал	Плотность	Удельная теплоемкость	Теплопроводность
Воздух	$\rho_0=1{,}2\text{ кг/м}^3$	$c_0=1{,}0\text{ кДж/(кг}\cdot\text{К)}$	$\lambda_0=2{,}4\cdot10^{-2}\text{ Вт/(м}\cdot\text{К)}$
Бетон	$\rho_1=2{,}2\cdot10^3\text{ кг/м}^3$	$c_1=0{,}92\text{ кДж/(кг}\cdot\text{К)}$	$\lambda_1=1{,}2\text{ Вт/(м}\cdot\text{К)}$
Утеплитель (стекловата)		$\lambda_2=6{,}0\cdot10^{-2}\text{ Вт/(м}\cdot\text{К)}$

Примечание. Плотность, теплоемкость и теплопроводность воздуха зависят от температуры и давления. Однако, в данной задачей этими зависимостями следует пренебречь и использовать приведенные в таблице средние значения.

Оригинальный научный рисунок или таблица: все оси, подписи, стрелки, размеры, кривые, данные, пустые клетки и исходные границы.

Часть 1. Бетонная коробка.

Основу дома является бетонная коробка, внутренние размеры которой $a\times b\times H=6{,}0\times6{,}0\times2{,}5\text{ м}$ . Толщина стен, пола и потолка равна $h=20\text{ см}$ .

1.1 Рассчитайте массу бетона, из которого изготовлена коробка.

1.2 Рассчитайте теплоемкость коробки $C_1$ .

1.3 Оцените массу воздуха внутри дома и его теплоемкость $C_0$ .

Теплоемкостью тела $C$ (не путайте с удельной теплоемкостью вещества) называется количество теплоты, которое требуется, чтобы нагреть тело на $1^\circ$ .

Влиянием окон и дверей на потери теплоты можно пренебречь. Пол и потолок дома хорошо теплоизолированы (потолок поверх слоя бетоны, а пол снизу слоя бетона), поэтому потери теплоты проходят только через стены дома.

Часть 2. Обогрев без утеплителя

В данной части задачи рассматриваются возможности обогрева рассмотренного в Части 1. Для обогрева дома используется печь, работающая на дизельном топливе. Коэффициент полезного действия печи примем равным 70% (т.е. 30% выделяемой теплоты улетает «в трубу»). Максимальная полезная мощность печи равна $P_0=10\text{ кВт}$ .

2.1 Рассчитайте стоимость ( $s_0\text{ руб/Дж}$ ) 1 Джоуля теплоты, идущего на нагревание дома. Плотность дизельного топлива $\rho=860\text{ кг/м}^3$ , удельная теплота его сгорания $q=43\text{ МДж/кг}$ , цена 1 литра топлива 1,2 руб.

2.2 Пусть мощность теплоты идущей на обогрев комнаты равна $P$ , температура наружного воздуха $t_0$ . Получите формулу для установившейся температуры воздуха внутри дома $t_1$ .

Считайте, что температура поверхности стен внутри дома равна $t_1$ , а снаружи — $t_0$ . Для передачи теплоты от стен к наружному воздуху температура стены должна быть немного выше, чем температура воздуха. Однако эта разность обычно мала и ею можно пренебречь.

2.3 Пусть средняя температура наружного воздуха равна $t_0=0{,}0^\circ C$ . Какова должна быть мощность теплоты $P_1$ , идущей на обогрев, что бы температура воздуха внутри дома была равна $t_1=20^\circ C$ ? Рассчитайте стоимость дизельного топлива, которое потребуется на обогрев дома в течение суток.

2.4 Рассмотрим разогрев дома. Пусть начальная температура воздуха в доме и температура стен равна температуре наружного воздуха $t_0=0{,}0^\circ C$ . Печь разжигают. Рассчитайте: количество теплоты, которое пойдет на разогрев воздуха в комнате до температуры $t_1=20^\circ C$ ; количество теплоты, которое пойдет на нагревание стен, потолка и пола до достижения установившейся температуры; стоимость «разогрева» дома в рублях. Оцените время разогрева дома до установившейся температуры. Если мощность печи равна максимальной полезной мощности печи $P_0=10\text{ кВт}$ .

Часть 3. Утепление

Пусть теплота перетекает через некоторый слой вещества. На основании закона Фурье можно записать, что плотность потока теплоты через слой выражается формулой

q=\alpha\Delta t,\qquad(3)

где коэффициент $\alpha$ (назовем ее тепловой проводимостью) зависит от материала слоя и его толщины, $\Delta t$ — разность температур на границах слоя.

3.1 Рассчитайте численное значение коэффициента $\alpha$ для бетонной стены рассматриваемого дома.

3.2 Путь теплота протекает через два параллельных слоя, тепловые проводимости которых равны $\alpha_1$ и $\alpha_2$ . Покажите, что плотность потока теплоты через составной слой может быть записана в виде

q=\alpha(t_1-t_2)\qquad(4)

Выразите значение коэффициента $\alpha$ для составного слоя, через значения коэффициентов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ .

Для уменьшения расходов стены дома утепляют, покрывая их слоем утеплителя (стекловаты), толщиной $h_2=10\text{ см}$ .

3.3 Какова должна быть мощность теплоты $P_2$ , идущей на обогрев дома, чтобы поддерживать внутри постоянную температуру $t_1=20^\circ C$ при температуре наружного воздуха $t_0=0{,}0^\circ C$ .

3.4 Во сколько раз уменьшаться финансовые расходы на поддержание температуры в доме.

3.5 Оцените время и стоимость «разогрева» утепленного дома от $t_0=0{,}0^\circ C$ до установившейся температуры $t_1=20^\circ C$ , если включить печь на максимальную полезную мощность $P_0=10\text{ кВт}$ .

3.6 Допустим, что житель города наезжает в свой загородный дом (рассматриваемый в данной задаче) только на выходные дни. Дайте совет — что экономически выгоднее, разогревать дом по приезде в субботу, или поддерживать его установившуюся температуру в течение будних дней?

Решение

Задача 9-3. Обогрев дома.

1.1–1.2 Рассчитаем объем бетона (с правильным учетом углов дома):

Две стены: $V_1=2aHh$ ; еще две стены: $V_2=2(b+2h)Hh$ ; потолок и пол: $V_3=2(a+2h)(b+2h)h$ .

Подстановка численных значений и вычисления приводит к следующему результату (округление проведено с одной запасной цифрой)

V=V_1+V_2+V_3=28{,}8\text{ м}^3.

Масса бетона

m_1=\rho_1V=6{,}3\cdot10^4\text{ кг}.\qquad(1)

Его теплоемкость

C_1=c_1m_1=5{,}8\cdot10^7\text{ Дж/К}.\qquad(2)

2.4–1.4 Масса воздуха и его теплоемкость рассчитывается по формулам

m_0=abH\rho_0=108\text{ кг},\qquad(3)

C_0=c_0m_0=108\text{ Дж/К}.\qquad(4)

2.4 При сгорании 1 литра дизельного топлива выделяется количество теплоты

Q_0=\rho Vq=860\text{ кг/м}^3\cdot10^{-3}\text{ м}^3\cdot43\cdot10^6\text{ Дж/кг}=3{,}7\cdot10^7\text{ Дж}.

Из этого количества на обогрев дома пойдет $Q_1=\eta Q_0=2{,}6\cdot10^7\text{ Дж}$ . Стоимость этой теплоты равна 1,2 рубля, следовательно, стоимость одного джоуля теплоты равна

s_0=\frac{1{,}2\text{ руб}}{2{,}6\cdot10^7\text{ Дж}}=4{,}6\cdot10^{-8}\text{ руб/Дж}.\qquad(5)

Т.е. приближенно 5 микрокопеек.

2.4 В установившемся режиме, количество теплоты, поступающей от нагревателя равно, количеству теплоты, уходящей через стены, поэтому

P=\lambda_1\frac{t_1-t_0}hS=\frac{4aH}h\lambda_1(t_1-t_0).\qquad(5)

Где $S=4aH$ — площадь стен. Из этого соотношения следует

t_1=t_0+\frac h{4aH\lambda_1}P.\qquad(5)

2.3 Используя формулу(4), найдем

P_0=\lambda_1\frac{t_1-t_0}hS=\frac{4aH}h\lambda_1(t_1-t_0)=7{,}2\cdot10^3\text{ Вт}=7{,}2\text{ кВт}.\qquad(6)

Стоимость требуемого в течение суток топлива равна

S=s_0P_0\tau=4{,}6\cdot10^{-8}\text{ руб/Дж}\cdot7{,}2\cdot10^3\text{ Вт}\cdot(24\cdot3600)\text{ с}=29\text{ руб}.\qquad(7)

2.4 Рассмотрим разогрев дома. Пусть начальная температура воздуха в доме и температура стен равна температуре наружного воздуха $t_0=0{,}0^\circ C$ . Печь разжигают. Количество теплоты, которое пойдет на разогрев воздуха в комнате, равно

Q_0=C_0(t_1-t_0)=108\cdot20=2{,}2\cdot10^3\text{ Дж}.\qquad(8)

Для расчета количества теплоты, которое пойдет на нагревание стен до достижения установившейся температуры, следует учесть, что температура внутри стен линейно изменяется от $t_1=20^\circ C$ до $t_0=0{,}0^\circ C$ . Поэтому на разогрев стен потребуется количество теплоты равное

Q_{\text{ст}}=4aHh\rho_1c_1\frac{t_1}2=4\cdot6{,}0\cdot2{,}5\cdot0{,}20\cdot2{,}2\cdot10^3\cdot0{,}92\cdot10^3\cdot10=2{,}4\cdot10^8\text{ Дж}.

Потолок и пол должны полностью нагреться до температуры $t_1=20^\circ C$ . Требуемое на это количество теплоты равно

Q_{\text{п–п}}=2a^2h\rho_1c_1t_1=2\cdot6{,}0^2\cdot0{,}20\cdot2{,}2\cdot10^3\cdot0{,}92\cdot10^3\cdot20=5{,}8\cdot10^8\text{ Дж}.

Полное количество теплоты, которое потребуется на разогрев всего дома $Q_1=8{,}2\cdot10^8\text{ Дж}$ .(9) Стоимость этой теплоты

S=c_0Q_1=4{,}6\cdot10^{-8}\text{ руб/Дж}\cdot8{,}2\cdot10^8\text{ Дж}=38\text{ руб}.\qquad(10)

Время разогрева можно оценить по формуле

\tau=\frac{Q_1}{P_0}=\frac{8{,}2\cdot10^8\text{ Дж}}{10\cdot10^3\text{ Вт}}=8{,}2\cdot10^4\text{ с}=23\text{ часа}.\qquad(11)

3.1 Сравнивая формулы(1)и(3), находим, что $\lambda_1=1{,}2\text{ Вт/(м}\cdot\text{К)}$

\alpha_1=\frac{\lambda_1}{h_1}=\frac{1{,}2\text{ Вт/(м}\cdot\text{К)}}{0{,}20\text{ м}}=6{,}0\text{ Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.\qquad(12)

3.2 Обозначим температуру стыка слоев $t_x$ . Тогда плотности потоков теплоты через разные слои описываются формулами

q_1=\alpha_1(t_1-t_x),\quad q_2=\alpha_2(t_x-t_2).\qquad(13)

В установившемся режиме $q_1=q_2$ . Из этого условия находим температуру места соединения слоев

\alpha_1(t_1-t_x)=\alpha_2(t_x-t_2)\Rightarrow t_x=\frac{\alpha_1t_1+\alpha_2t_2}{\alpha_1+\alpha_2}.\qquad(14)

Плотность потока теплоты можно выразить через температуры границ составного слоя, как

q=q_2=q_1=\alpha_1(t_1-t_x)=\alpha_1\left(t_1-\frac{\alpha_1t_1+\alpha_2t_2}{\alpha_1+\alpha_2}\right)=\frac{\alpha_1\alpha_2}{\alpha_1+\alpha_2}(t_1-t_2).\qquad(15)

Тем самым доказана формула(4)условия задачи. Видно, что проводимость составного слоя равна

\alpha=\frac{\alpha_1\alpha_2}{\alpha_1+\alpha_2}.\qquad(16)

Не сложно доказать, что в общем случае произвольного числа слоев

\frac1\alpha=\frac1{\alpha_1}+\frac1{\alpha_2}+\frac1{\alpha_3}+\ldots

3.3–3.4 Рассчитаем тепловую проводимость слоя изоляции

\alpha_2=\frac{\lambda_2}{h_2}=\frac{6{,}0\cdot10^{-2}\text{ Вт/(м}\cdot\text{К)}}{0{,}10\text{ м}}=6{,}0\cdot10^{-1}\text{ Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.\qquad(17)

Тепловая проводимость стены с изоляцией в соответствии с формулой(16)оказывается равной

\alpha=\frac{\alpha_1\alpha_2}{\alpha_1+\alpha_2}=\frac{6{,}0\cdot0{,}60}{6{,}6}\text{ Вт/(м}^2\cdot\text{К)}=0{,}55\text{ Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.\qquad(18)

В этом случае условие стационарности температуры будет иметь вид

P=2aH\cdot\alpha(t_1-t_0).\qquad(19)

Подставляя численные значения, находим требуемую тепловую мощность

P_1=2aH\cdot\alpha(t_1-t_0)=2\cdot6{,}0\cdot2{,}5\cdot0{,}55\cdot20=660\text{ Вт},\qquad(20)

Что в $P_0/P_1=7200/660=11$ раз меньше, чем мощность обогрева дома без утеплителя.

3.5 По формуле(14)рассчитаем температуру внешней стороны бетонной стенки

t_x=\frac{\alpha_1t_1+\alpha_2t_2}{\alpha_1+\alpha_2}=\frac{6{,}0\cdot20}{6{,}6}=18^\circ.\qquad(21)

Фактически всю бетонную коробку необходимо нагреть на 20°. Поэтому количество теплоты, требуемое на это равно. Следовательно, на нагревание стен потребуется количество теплоты, равное

Q_2=C_1t_1=5{,}8\cdot10^7\text{ Дж/К}\cdot20\text{ К}=11{,}6\cdot10^8\text{ Дж},\qquad(22)

Стоимость этой теплоты $S_2=c_0Q_2=4{,}6\cdot10^{-8}\text{ руб/Дж}\cdot1\cdot10^9\text{ Дж}=53\text{ руб}$ , что больше, чем при нагреве стен без утеплителя. Время разогрева утепленного дома

\tau_2\approx\frac{Q_2}{P_0}=1{,}2\cdot10^5\text{ с}=32\text{ часа}.

3.6 На поддержание комнатной температуры утепленного дома в течение суток потребуется количество теплоты $Q=P_1\tau=660\cdot24\cdot3600=5{,}7\cdot10^7\text{ Дж}$ , стоимость которой $S=2{,}6\text{ руб}$ . Следовательно на поддержание постоянной температуры в течение 7 дней надо затратить 18 руб, что значительно меньше чем стоимость разогрева. Следовательно, поддерживать постоянную температуру выгоднее, чем каждую субботу разогревать дом, тем более, что в этом случае не придется сидеть в холодном доме всю субботу!

Оригинал в Архива: 3_etap_2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2017_theoretical_solutions.pdf