Съдържание

BelPhO 2017, Областен етап, 9,10,11 — Задача 11-1. 11 класс — 1. Проводящие и диэлектрические сферы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены 18 страниц условий и 26 страниц архивного ключа. Сохранены девять отдельных целых заданий — по три для 9,10,11 класса, со всеми 66 печатными группами запросов, а не каталожными 75 частями. Общие утверждение и инструкции повторены в оригинале отдельно для каждого класса. Обложка утверждений для 2017 года датирована декабрем 2016 года. Баллы, время и отдельные критерии оценивания не напечатаны.

Решение звуковых волн 11-2 отсутствует. Ключ на стр. 20 ошибочно назван «Задача 11-2. Звуковые волны, эффект Доплера», но все его содержание на стр. 20–23 — полный ключ сфер 11-1. Оно связано именно со сферами, исходный ошибочный заголовок виден в примечании. Отдельные выданные бланки графиков 9-2 и построений 10-2 отсутствуют в полученных оригиналах; графики условий и расширенные построения ключа сохранены. График 9-2 напечатан до самой нижней границы исходной стр. 4, без добавления данных за границей оригинала.

У велокомпьютера часть отображаемых формул и промежуточных численных результатов отсутствует в самом PDF, что проверено по двум исходным рендерам. Такие места помечены в ключе, новые формулы не сочинены. У пружины отсутствуют результат после «Откуда» на стр. 16 и формула равномерной внешней силы на стр. 17; некоторые порядковые обозначения также не напечатаны. В условии Доплера пропущено обозначение скорости звука, а в условии автоколебаний — формула после «относительно небольшой скоростью».

Сохранены буквальные исходные несогласованности: номера 1.4–1.7 и 4.1/4.2, ошибочные ссылки в сосуде и номера 2.1/2.2 ключа; повтор 3.2 в автоколебаниях при последнем 3.3 ключа; повтор 2.4 и(5), C 0=108 Дж/К и Q 0=2,2·10³Дж при исходном c 0=1 кДж/(кг·К), c 0 вместо стоимости s 0, площадка 2 aH и 660 Вт при прежних 4 aH и 7200 Вт, подстановка 1·10⁹Дж вместо 11,6·10⁸Дж в доме; увеличение времени падения в√2 раза в тексте рядом сτ 1=τ/√2; незавершенное равенство(7) иρ 2 вместоρ 1 в сосуде; повторΔx 1 в сумме пружины и формуле(19), исходные номера и ссылка(25); τ вместоΔτ в рассуждениях, φ 2=−4° иφmax в формуле равновесия автоколебаний. Напечатанные значения и знаки не исправлены.

9 класс — 2. Велокомпьютер — примечания к оригиналу:

Формула(1) отсутствует в полученном оригинале: напечатаны только точка и номер.

Формула(4) отсутствует в оригинале.

Формула(5) отсутствует в оригинале.

Формула(7) отсутствует в оригинале.

Численная формула(8) отсутствует в оригинале.

На стр. 3 ключа после слов «достигая максимального значения» отсутствует обозначение этого значения.

Формула(10) отсутствует в оригинале.

Формула(11) отсутствует в оригинале.

На стр. 3 ключа не напечатано условие после фразы «График полученной зависимости (11) для».

Формула(12) отсутствует в оригинале.

На стр. 4 ключа в фразе «пересекает график функции … сверху вниз» отсутствует название второй функции.

После последнего знака равенства формулы(13) в оригинале нет выражения.

Формула(16) отсутствует в оригинале.

В формуле(17) сохранилась только буква $S$ и точка; остальное выражение отсутствует.

Формула(18) отсутствует в оригинале.

Левая часть формулы(20) отсутствует.

Формула(21) отсутствует в оригинале.

Формула(25) отсутствует в оригинале.

10 класс — 2. Утечка … центра масс — примечания к оригиналу:

После последнего знака равенства в формуле(7) нет выражения.

10 класс — 3. «Мягкая» пружина — примечания к оригиналу:

На стр. 16 ключа после «Откуда» в решении 1.2 отсутствует итоговый результат.

На стр. 17 ключа после фразы о равномерном движении внешняя сила не напечатана.

На стр. 17–18 ключа оставлены пропуски порядковых обозначений частей пружины.

11 класс — 1. Проводящие и диэлектрические сферы — примечания к оригиналу:

В полученном ключе на стр.20 напечатан заголовок «Задача 11-2. Звуковые волны, эффект Доплера». Ниже, однако, находится решение проводящих и диэлектрических сфер из задания 11-1: все шесть запросов,41 формула и шесть схем сфер. Этот исходный ошибочный заголовок сохранен в примечании; к задаче Доплера данное решение не относится.

11 класс — 2. Звуковые волны, эффект Доплера — примечания к оригиналу:

На стр. 15 условий после «скорость звука в среде» не напечатано обозначение.

11 класс — 3. Автоколебания — примечания к оригиналу:

На стр. 18 условий после «с относительно небольшой скоростью» не напечатана формула.

Продолжение той же части 3 отдельно сохраняет второй исходный запрос 3.2; он не перенумерован.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада 2017 года. (III этап). Теоретический тур. =2017=

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 9 класс

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. _________________Р.С.Сидоренко. «» декабря 2016 г.

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

9 класс.

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 10 класс

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс.

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 11 класс

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс.

Условие

1.

Три концентрические сферы имеют радиусы $R_1=R,R_2=2R,R_3=4R$ и заряды $q_1=q,q_2=4q,q_3=-2q$ соответственно.

1.1 Определите потенциалы и напряжённости на внешних поверхностях данных сфер и в точке посередине между второй и третьей сферой считая от центра сфер.

1.2 Вторую и третью сферу соединяют проводником. Определите установившиеся заряды сфер $q'_1,q'_2,q'_3$ .

1.3 Вторую и третью сферу заземляют (соединительный проводник остаётся). Какой заряд пройдёт по заземляющему проводнику?

2.

Две тонкие проводящие концентрические сферы радиусами $R_1=R,R_2=3R$ имеют заряды $q_1=q,q_2=3q$ соответственно. Пространство между сферами заполнено диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$ .

2.1 Определите величину связных зарядов $q_{c1}$ и $q_{c2}$ на внутренней и внешней поверхностях диэлектрического слоя.

2.2 Определите потенциал электростатического поля на расстоянии $R,2R,3R$ от центра сфер.

2.3 Внутреннюю сферу заземлили. Определите величину связных зарядов $q'_{c1}$ и $q'_{c2}$ на внутренней и внешней поверхностях диэлектрического слоя в данном случае.

Примечание. В уравнениях используйте обозначение $k=\frac1{4\pi\varepsilon_0}$ . В п.2.3 не задумывайтесь над технической стороной вопроса: «Как заземлить внутреннюю сферу?». Просто примите как факт, что внутренняя сфера заземлена, а внешняя — нет. Заряд внешней сферы не изменяется и равен $3q$ .

Решение

Задача 11-2. Звуковые волны, эффект Доплера.

1.1 Потенциал на внешних поверхностях сфер определим по принципу суперпозиции потенциалов. Потенциал каждой из сфер будет определяться не только зарядом данной сферы, но и зарядами двух других сфер.

Оригинальный научный рисунок или таблица: все оси, подписи, стрелки, размеры, кривые, данные, пустые клетки и исходные границы.

Потенциал на внешней поверхности первой сферы:

\varphi_1=k\frac qR+k\frac{4q}{2R}-k\frac{2q}{4R}=\frac{10}4k\frac qR.\qquad(1)

Потенциал на внешней поверхности второй сферы:

\varphi_2=k\frac q{2R}+k\frac{4q}{2R}-k\frac{2q}{4R}=2k\frac qR.\qquad(2)

Потенциал на внешней поверхности третьей сферы:

\varphi_3=k\frac q{4R}+k\frac{4q}{4R}-k\frac{2q}{4R}=\frac34k\frac qR.\qquad(3)

Потенциал в точке А:

\varphi_A=k\frac q{3R}+k\frac{4q}{3R}-k\frac{2q}{4R}=\frac76k\frac qR.\qquad(4)

Напряженности электрических полей на внешних поверхностях сфер определим по принципу суперпозиции напряжённостей. Векторы напряжённостей электрических полей, создаваемых концентрическими сферами, будут направлены радиально к поверхностям сфер. Поэтому суммирование напряженностей полей производится алгебраически. Также учитываем, что напряжённость электрического поля внутри сферы равна нулю.

Напряжённость на внешней поверхности первой сферы:

E_1=k\frac q{R^2}.\qquad(5)

Напряжённость на внешней поверхности второй сферы:

E_2=k\frac q{4R^2}+k\frac{4q}{4R^2}=\frac54k\frac q{R^2}.\qquad(6)

Напряжённость на внешней поверхности третьей сферы:

E_3=k\frac q{16R^2}+k\frac{4q}{16R^2}-k\frac{2q}{16R^2}=\frac3{16}k\frac q{R^2}.\qquad(7)

Напряжённость в точке А:

E_A=k\frac q{9R^2}+k\frac{4q}{9R^2}=\frac59k\frac q{R^2}.\qquad(8)

Рисунок 2.

1.2 После соединения второй и третьей сфер проводником между ними происходит перераспределение зарядов таким образом, что потенциалы этих сфер становятся равными. Суммарный заряд этих двух сфер сохраняется.

\varphi'_2=\varphi'_3.\qquad(9)

q'_2+q'_3=q_2+q_3.\qquad(10)

q'_2+q'_3=2q.\qquad(11)

Заряд первой сферы не изменяется.

q'_1=q_1=q.\qquad(12)

Уравнение(9)запишем в виде:

k\frac q{2R}+k\frac{q'_2}{2R}+k\frac{q'_3}{4R}=k\frac q{4R}+k\frac{q'_2}{4R}+k\frac{q'_3}{4R}.\qquad(13)

Из(13)получим: $q'_2=-q$ .(14) Из(11)получим: $q'_3=3q$ .(15)

Рисунок 3.

1.3 После заземления второй и третьей сфер между ними и землёй происходит перераспределение зарядов таким образом, что потенциалы этих сфер становятся равными нулю.

\varphi''_2=\varphi''_3=0.\qquad(16)

Заряд первой сферы не изменяется.

q''_1=q_1=q.\qquad(17)

По заземляющему проводнику пройдёт заряд

\Delta q=q'_2+q'_3-q''_2-q''_3.\qquad(18)

Равенство потенциалов $\varphi''_2=\varphi''_3$ запишем в виде:

k\frac q{2R}+k\frac{q''_2}{2R}+k\frac{q''_3}{4R}=k\frac q{4R}+k\frac{q''_2}{4R}+k\frac{q''_3}{4R}.\qquad(19)

Из(19)получим: $q''_2=-q$ .(20) Учитывая, что $\varphi''_3=0$ получим: $q''_3=0$ .(21) Следовательно, по заземляющему проводнику пройдёт заряд $\Delta q=3q$ .(22).

Рисунок 4.

2.1 Диэлектрический слой «заменяем» двумя сферами радиусами $R$ и $3R$ , и зарядами $q_{c1}$ и $q_{c2}$ . На рисунке 4 данные сферы обозначены пунктиром. Напряжённость электрического поля на поверхности диэлектрического слоя вблизи внутренней сферы можно определить как

E_D=k\frac q{R^2}+k\frac{q_{c1}}{R^2},\qquad(23)

или как

E_D=k\frac q{\varepsilon R^2}.\qquad(24)

Приравнивая правые части(23)и(24)определим величину связных зарядов, образующихся на поверхности диэлектрического слоя вблизи внутренней сферы $q_{c1}$ .

k\frac q{R^2}+k\frac{q_{c1}}{R^2}=k\frac q{\varepsilon R^2}.\qquad(25)

q_{c1}=q\frac{1-\varepsilon}\varepsilon.\qquad(26)

Величину связных зарядов, образующихся на поверхности диэлектрического слоя вблизи внешней сферы $q_{c2}$ , определим используя закон сохранения электрического заряда. Диэлектрический слой, согласно условия задачи, электрически нейтрален. Поэтому

q_{c1}+q_{c2}=0.\qquad(27)

Подставляя в(27)значение $q_{c1}$ , получим:

q_{c2}=q\frac{\varepsilon-1}\varepsilon.\qquad(28)

Рисунок 5.

2.2 Потенциалы определяем по принципу суперпозиции потенциалов.

\varphi_R=k\frac{q_1}R+k\frac{q_{c1}}R+k\frac{q_{c2}}{3R}+k\frac{q_2}{3R}.\qquad(29)

\varphi_{2R}=k\frac{q_1}{2R}+k\frac{q_{c1}}{2R}+k\frac{q_{c2}}{3R}+k\frac{q_2}{3R}.\qquad(30)

\varphi_{3R}=k\frac{q_1}{3R}+k\frac{q_{c1}}{3R}+k\frac{q_{c2}}{3R}+k\frac{q_2}{3R}.\qquad(31)

Подставляя значения зарядов $q_1,q_2,q_{c1},q_{c2}$ , получим:

\varphi_R=k\frac qR+k\frac qR\frac{1-\varepsilon}\varepsilon+k\frac q{3R}\frac{\varepsilon-1}\varepsilon+k\frac{3q}{3R}=k\frac qR\frac{4\varepsilon+2}{3\varepsilon}.\qquad(32)

\varphi_{2R}=k\frac q{2R}+k\frac q{2R}\frac{1-\varepsilon}\varepsilon+k\frac q{3R}\frac{\varepsilon-1}\varepsilon+k\frac{3q}{3R}=k\frac qR\frac{8\varepsilon+1}{6\varepsilon}.\qquad(33)

\varphi_{3R}=k\frac q{3R}+k\frac q{3R}\frac{1-\varepsilon}\varepsilon+k\frac q{3R}\frac{\varepsilon-1}\varepsilon+k\frac{3q}{3R}=k\frac qR\frac43.\qquad(34)

Рисунок 6.

2.3 После заземления внутренней сферы между ней и землёй происходит перераспределение зарядов таким образом, что потенциал этой сферы становятся равными нулю.

\varphi''_1=0.\qquad(35)

Потенциал $\varphi''_1$ запишем, используя принцип суперпозиции потенциалов:

k\frac{q''_1}R+k\frac{q'_{c1}}R+k\frac{q'_{c2}}{3R}+k\frac{3q}{3R}=0.\qquad(36)

Для напряжённости электрического поля в точке D получим уравнение

k\frac{q''_1}{R^2}+k\frac{q'_{c1}}{R^2}=k\frac{q''_1}{\varepsilon R^2}.\qquad(37)

Так же примем во внимание, что диэлектрический слой остаётся электрически нейтральным, а следовательно

q'_{c1}+q'_{c2}=0.\qquad(38)

Решив систему уравнений(36),(37)и(38), получим:

q''_1=-q\frac{3\varepsilon}{\varepsilon+2},\qquad(39)

q'_{c1}=q\frac{3(\varepsilon-1)}{\varepsilon+2},\qquad(40)

q'_{c2}=-q\frac{3(\varepsilon-1)}{\varepsilon+2}.\qquad(41)

Оригинал в Архива: 3_etap_2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2017_theoretical_solutions.pdf